Exercício Resolvido de Oscilações Harmônicas
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Um bloco de massa m é ligado a uma mola de constante elástica k e a um amortecedor de
constante de amortecimento b. O bloco é deslocado de sua posição de equilíbrio O até um ponto
x0 e liberado a partir do repouso. Determine:
a) A equação diferencial do movimento;
b) A solução da equação para o sistema no caso de amortecimento subcrítico e a frequência angular das oscilações.
a) A equação diferencial do movimento;
b) A solução da equação para o sistema no caso de amortecimento subcrítico e a frequência angular das oscilações.
Dados do problema:
- Massa do corpo: m;
- Constante elástica da mola: k;
- Constante de amortecimento: b;
- Posição inicial (t = 0): x0;
- Velocidade inicial (t = 0): v0 = 0.
Esquema do problema:
Adotamos um sistema de referência com sentido positivo para a direita. O bloco é deslocado até a posição
x0 e liberado com velocidade inicial igual a zero. Quando solto a força elástica da
mola atuará no sentido de restabelecer o posição de equilíbrio (Figura 1). Com isto escrevemos as
Condições Iniciais do problema
\[
\begin{align}
& x(0)=x_{0}\\[10pt]
& v_{0}=\frac{dx(0)}{dt}=0
\end{align}
\]
Solução
a) Aplicando a 2.ª Lei de Newton (Figura 1)
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{F=m\frac{d^{2}x}{dt^{2}}} \tag{I}
\end{gather}
\]
as forças que atuam no bloco são a força elástica da mola
\( {\vec{F}}_{E} \)
e a força de amortecimento
\( {\vec{F}}_{R} \)
dadas, em módulo, por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{F_{E}=-kx} \tag{II-a}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{F_{R}=-bv=-b\frac{dx}{dt}} \tag{II-b}
\end{gather}
\]
o sinal de negativo na força elástica indica que ela atua contra o sentido do deslocamento do bloco
(atua no sentido de restabelecer o equilíbrio), na força de amortecimento indica que ela atua
contra o sentido da velocidade (atua no sentido de frear o movimento). Substituindo as expressões
(II-a) e (II-b) na expressão (I)
\[
\begin{gather}
-kx-b\frac{dx}{dt}=m\frac{d^{2}x}{dt^{2}}\\[5pt]
m\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+b\frac{dx}{dt}+kx=0
\end{gather}
\]
esta é uma Equação Diferencial Ordinária Homogênea de 2.ª Ordem. Dividindo toda a equação pela
massa m
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+\frac{b}{m}\frac{dx}{dt}+\frac{k}{m}x=0}
\end{gather}
\]
b) Na equação do item anterior vamos fazer as seguintes definições
\[
\begin{gather}
2\gamma \equiv \frac{b}{m} \tag{III-a}\\[10pt]
\omega_{0}^{2}\equiv\frac{k}{m} \tag{III-b}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+2\gamma \frac{dx}{dt}+\omega_{0}^{2}x=0
\end{gather}
\]
Solução de \( \displaystyle \frac{d^{2}x}{dt^{2}}+2\gamma \frac{dx}{dt}+\omega_{0}^{2}x=0 \)
A solução deste tipo de equação é encontrada fazendo-se as substituições
A frequência angular ω é dada por
A solução deste tipo de equação é encontrada fazendo-se as substituições
\[
\begin{align}
& x=\operatorname{e}^{\lambda t}\\[10pt]
& \frac{dx}{dt}=\lambda \operatorname{e}^{\lambda t}\\[10pt]
& \frac{d^{2}x}{dt^{2}}=\lambda ^{2}\operatorname{e}^{\lambda t}
\end{align}
\]
substituindo estes valores na equação diferencial
\[
\begin{gather}
\lambda ^{2}\operatorname{e}^{\lambda t}+2\gamma \lambda\operatorname{e}^{\lambda t}+\omega_{0}^{2}\operatorname{e}^{\lambda t}=0\\[5pt]
\operatorname{e}^{\lambda t}\left(\lambda ^{2}+2\gamma \lambda+\omega_{0}^{2}\right)=0\\[5pt]
\lambda ^{2}+2\gamma \lambda +\omega_{0}^{2}=\frac{0}{\operatorname{e}^{\lambda t}}\\[5pt]
\lambda ^{2}+2\gamma\lambda +\omega_{0}^{2}=0
\end{gather}
\]
esta é a Equação Característica que tem como solução
\[
\begin{gather}
\Delta =b^{2}-4ac=\left(2\gamma \right)^{2}-4.1.\omega_{0}^{2}=4\gamma^{2}-4\omega_{0}^{2}=4\left(\gamma^{2}-\omega_{0}^{2}\right)\\[10pt]
\lambda_{1}=\frac{-b+\sqrt{\Delta\;}}{2a}=\frac{-2\gamma +\sqrt{4\left(\gamma^{2}-\omega_{0}^{2}\right)\;}}{2.1}=-{\frac{2\gamma}{2}}+\frac{2\sqrt{\gamma^{2}-\omega_{0}^{2}\;}}{2}=-\gamma +\sqrt{\gamma^{2}-\omega_{0}^{2}\;}\\[5pt]
\lambda_{2}=\frac{-b-\sqrt{\Delta\;}}{2a}=\frac{-2\gamma -\sqrt{4\left(\gamma^{2}-\omega_{0}^{2}\right)\;}}{2.1}=-{\frac{2\gamma}{2}}-\frac{2\sqrt{\gamma^{2}-\omega_{0}^{2}\;}}{2}=-\gamma -\sqrt{\gamma^{2}-\omega_{0}^{2}\;}
\end{gather}
\]
Para que o sistema oscile com amortecimento subcrítico devemos ter
ω02>γ2, o termo na raiz quadrada será
\[
\begin{gather}
\sqrt{-1.\left(\omega_{0}^{2}-\gamma^{2}\right)\;}=\sqrt{-1}.\sqrt{\left(\omega_{0}^{2}-\gamma^{2}\right)\;}=\,\mathsf{i}\sqrt{\left(\omega_{0}^{2}-\gamma^{2}\right)\;}
\end{gather}
\]
onde \( \,\mathsf{i}=\sqrt{-1\;} \).A frequência angular ω é dada por
\[
\begin{gather}
\omega =\sqrt{\omega_{0}^{2}-\gamma^{2}\;}
\end{gather}
\]
Usando as definições feitas em (III-a) e (III-b) para ω02 e γ
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{\omega =\sqrt{\frac{k}{m}-\left(\frac{b}{2m}\right)^{2}\;}}
\end{gather}
\]
A solução da equação diferencial será
Derivando a expressão (IV) em relação ao tempo
Substituindo o valor de φ na expressão (VII)
\[
\begin{gather}
x=C_{1}\operatorname{e}^{\lambda_{1}t}+C_{2}\operatorname{e}^{\lambda_{2}t}\\[5pt]
x=C_{1}\operatorname{e}^{\left(-\gamma +\mathsf{i}\sqrt{\omega_{0}^{2}-\gamma^{2}\;}\right)t}+C_{2}\operatorname{e}^{\left(-\gamma-\mathsf{i}\sqrt{\omega_{0}^{2}-\gamma^{2}\;}\right)t}\\[5pt]
x=C_{1}\operatorname{e}^{\left(-\gamma t+\mathsf{i}\sqrt{\omega_{0}^{2}-\gamma^{2}\;}t\right)}+C_{2}\operatorname{e}^{\left(-\gamma t-\mathsf{i}\sqrt{\omega_{0}^{2}-\gamma^{2}\;}t\right)}\\[5pt]
x=C_{1}\operatorname{e}^{-\gamma t}\operatorname{e}^{\mathsf{i}\omega \;t}+C_{2}\operatorname{e}^{-\gamma t}\operatorname{e}^{-\mathsf{i}\omega t}\\[5pt]
x=\operatorname{e}^{-\gamma t}\left(C_{1}\operatorname{e}^{\mathsf{i}\omega t}+C_{2}\operatorname{e}^{-\mathsf{i}\omega t}\right)
\end{gather}
\]
onde C1 e C2 são constantes de integração, usando a
Fórmula de Euler \( \operatorname{e}^{\mathsf{i}\theta }=\cos \theta +\mathsf{i}\operatorname{sen}\theta \)
\[
\begin{gather}
x=\operatorname{e}^{-\gamma t}\left[C_{1}\left(\cos \omega t+\mathsf{i}\operatorname{sen}\omega t\right)+C_{2}\left(\cos \omega t-\mathsf{i}\operatorname{sen}\omega t\right)\right]\\[5pt]
x=\operatorname{e}^{-\gamma t}\left(C_{1}\cos \omega t+\mathsf{i}C_{1}\operatorname{sen}\omega t+C_{2}\cos \omega t-\mathsf{i}C_{2}\operatorname{sen}\omega t\right)\\[5pt]
x=\operatorname{e}^{-\gamma t}\left[\left(C_{1}+C_{2}\right)\cos \omega t+\mathsf{i}\left(C_{1}-C_{2}\right)\operatorname{sen}\omega t\right]
\end{gather}
\]
definindo duas novas constantes α e β em termos de C1 e
C2
\[
\begin{gather}
\alpha \equiv C_{1}+C_{2}\\[5pt]
\text{e}\\[5pt]
\beta \equiv \mathsf{i}(C_{1}-C_{2})
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
x=\operatorname{e}^{-\gamma t}\left(\alpha \cos \omega t+\beta\operatorname{sen}\omega t\right)
\end{gather}
\]
multiplicando e dividindo esta expressão por \( \sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}\;} \)
\[
\begin{gather}
x=\operatorname{e}^{-\gamma t}\left(\alpha \cos \omega t+\beta \operatorname{sen}\omega t\right)\frac{\sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}\;}}{\sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}\;}}\\[5pt]
x=\sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}\;}\operatorname{e}^{-\gamma t}\left(\frac{\alpha}{\sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}\;}}\cos \omega t+\frac{\beta}{\sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}\;}}\operatorname{sen}\omega t\right)
\end{gather}
\]
fazendo as seguintes definições
\[
\begin{gather}
A\equiv \sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}\;} \\[5pt]
\cos \varphi \equiv \frac{\alpha }{\sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}\;}}\\[5pt]
\operatorname{sen}\varphi \equiv \frac{\beta }{\sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}\;}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
x=A\operatorname{e}^{-\gamma t}\left(\cos \varphi \cos \omega t+\operatorname{sen}\varphi \operatorname{sen}\omega t\right)
\end{gather}
\]
Lembrando da identidade trigonométrica
\( \cos (a-b)=\cos a\cos b+\operatorname{sen}a\operatorname{sen}b \)
\[ \cos (a-b)=\cos a\cos b+\operatorname{sen}a\operatorname{sen}b \]
\[
\begin{gather}
{x(t)=A\operatorname{e}^{-\gamma t}\cos \left(\omega t-\varphi \right)} \tag{IV}
\end{gather}
\]
onde A e φ são constantes determinadas pelas Condições Iniciais.
Derivando a expressão (IV) em relação ao tempo
\[
\begin{gather}
x=\underbrace{A\operatorname{e}^{-\gamma t}}_{u}\underbrace{\cos (\omega t-\varphi)}_{v}
\end{gather}
\]
usando a Regra do Produto para derivada de funções
\[
\begin{gather}
(uv)'=u'v+uv'
\end{gather}
\]
onde
\( u=A\operatorname{e}^{-\gamma t} \)
e
\( v=\cos (\omega t-\varphi) \), a função v é uma função composta, usando a
Regra da Cadeia
\[
\begin{gather}
\frac{dv[w(t)]}{dt}=\frac{dv}{dw}\frac{dw}{dt}
\end{gather}
\]
com
\( v=\cos w \)
e
\( w=\omega t-\varphi \)
\[
\begin{gather}
\frac{dx}{dt}=\frac{du}{dt}v+u\frac{dv}{dt}\\[5pt]
\frac{dx}{dt}=\frac{du}{dt}v+u\frac{dv}{dw}\frac{dw}{dt}\\[5pt]
\frac{dx}{dt}=\frac{d\left(A\operatorname{e}^{-\gamma t}\right)}{dt}\left[\cos{\left(\omega t-\varphi\right)}\right]+\left(A\operatorname{e}^{-\gamma t}\right)\frac{d(\cos w)}{dw}\frac{d\left(\omega t-\varphi \right)}{dt}\\[5pt]
\frac{dx}{dt}=-\gamma A\operatorname{e}^{-\gamma t}\cos{\left(\omega t-\varphi\right)}+\left(A\operatorname{e}^{-\gamma t}\right)(-\operatorname{sen} w)(\omega)\\[5pt]
\frac{dx}{dt}=-\gamma A\operatorname{e}^{-\gamma t}\cos{\left(\omega t-\varphi\right)}-\omega A\operatorname{e}^{-\gamma t}\operatorname{sen}\left(\omega t-\varphi \right)\\[5pt]
\frac{dx}{dt}=-A\operatorname{e}^{-\gamma t}\left[\gamma \cos{\left(\omega t-\varphi\right)}-\omega\operatorname{sen}\left(\omega t-\varphi \right)\right] \tag{V}
\end{gather}
\]
Substituindo as Condições Iniciais nas expressões (IV) e (V)
\[
\begin{gather}
x(0)=x_{0}=A\operatorname{e}^{-\gamma .0}\cos (\omega.0-\varphi)\\[5pt]
x_{0}=A\cos (-\varphi)
\end{gather}
\]
como o cosseno é uma função par temos
\( \cos \varphi =\cos (-\varphi) \)
\[
\begin{gather}
x_{0}=A\cos \varphi \\[5pt]
A=\frac{x_{0}}{\cos \varphi} \tag{VI}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\frac{dx(0)}{dt}=0=-A\operatorname{e}^{-\gamma.0}\left[\gamma \cos (\omega .0-\varphi)+\omega\operatorname{sen}(\omega .0-\varphi)\right]\\[5pt]
0=-A\left[\gamma \cos(-\varphi)+\omega \operatorname{sen}(-\varphi)\right]\\[5pt]
0=-A\gamma\cos (-\varphi)+A\omega \operatorname{sen}(-\varphi)
\end{gather}
\]
como o cosseno é uma função par e seno é uma função ímpar
\( \operatorname{sen}\varphi =-\operatorname{sen}(-\varphi) \)
\[
\begin{gather}
0=-A\gamma \cos \varphi -A\omega \operatorname{sen}\varphi \tag{VII}
\end{gather}
\]
substituindo a expressão (VI) na expressão (VII)
\[
\begin{gather}
0=-{\frac{x_{0}}{\cancel{\cos \varphi}}}\gamma \cancel{\cos \varphi}-\frac{x_{0}}{\cos \varphi}\omega \operatorname{sen}\varphi\\[5pt]
0=-\gamma x_{0}-\omega x_{0}\operatorname{tg}\varphi\\[5pt]
\omega_{0}\operatorname{tg}\varphi =-\gamma x_{0}\\[5pt]
\operatorname{tg}\varphi=-{\frac{\gamma}{\omega}}\\[5pt]
\varphi=\operatorname{arctg}\left(-{\frac{\gamma}{\omega}}\right)
\end{gather}
\]
como o arcotangente é uma função ímpar temos
\( \operatorname{arctg}(-x)=-\operatorname{arctg}(x) \).Substituindo o valor de φ na expressão (VII)
\[
\begin{gather}
A=\frac{x_{0}}{\cos\left[-\operatorname{arctg}\left(\frac{\gamma}{\omega}\right)\right]}\\[5pt]
A=\frac{x_{0}}{\cos\left[\operatorname{arctg}\left(\frac{\gamma}{\omega}\right)\right]}
\end{gather}
\]
Lembrando das relações trigonométricas
\[
\begin{gather}
\cos \left(\operatorname{arctg}x\right)=\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1\;}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
A=\frac{x_{0}}{\frac{1}{\sqrt{\left(\frac{\gamma}{\omega}\right)^{2}+1\;}}}\\[5pt]
A=\frac{x_{0}}{\frac{1}{\sqrt{\frac{\gamma^{2}}{\omega^{2}}+1\;}}}\\[5pt]
A=\frac{x_{0}}{\frac{1}{\sqrt{\frac{\gamma^{2}+\left(\sqrt{\omega_{0}^{2}-\gamma^{2}\;} \right)^{2}}{\omega^{2}}\;}}}\\[5pt]
A=\frac{x_{0}}{\frac{1}{\sqrt{\frac{\gamma^{2}+\omega_{0}^{2}-\gamma^{2}}{\omega^{2}}\;}}}\\[5pt]
A=\frac{x_{0}}{\frac{1}{\sqrt{\frac{\omega_{0}^{2}}{\omega^{2}}\;}}}\\[5pt]
A=x_{0}\frac{\omega}{\omega_{0}}
\end{gather}
\]
substituindo as constantes A e φ na expressão (VI)
\[
\begin{gather}
x=x_{0}\frac{\omega}{\omega_{0}}\operatorname{e}^{-\gamma t}\cos \left[\omega t-\operatorname{arctg}\left(\frac{\gamma}{\omega}\right)\right]
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{x(t)=x_{0}\frac{\omega_{0}}{\omega}\operatorname{e}^{-\gamma t}\cos \left[\omega t-\operatorname{arctg}\left(\frac{\gamma}{\omega}\right)\right]}
\end{gather}
\]
Observação: A relação trigonométrica
\( \cos \left(\operatorname{arctg}x\right)=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}\;} \)
é obtida tomando-se um triângulo retângulo de hipotenusa a e catetos b e c
com ângulo θ (Figura 2).
\[
\begin{gather}
\operatorname{tg}\theta =\frac{b}{c} \tag{VIII}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\operatorname{tg}\theta=\operatorname{tg}\left(\operatorname{arctg}x\right)=x=\frac{x}{1} \tag{IX}
\end{gather}
\]
igualando as expressões (VIII) e (IX)
\[
\begin{gather}
\frac{b}{c}=\frac{x}{1}
\end{gather}
\]
assim determinamos os catetos b e c
\[
\begin{gather}
b=x\\[10pt]
c=1
\end{gather}
\]
A hipotenusa e encontrada usando o Teorema de Pitágoras (Figura 3)
\[
\begin{gather}
a^{2}=b^{2}+c^{2}\\[5pt]
a^{2}=x^{2}+1^{2}\\[5pt]
a=\sqrt{x^{2}+1^{2}\;}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\cos \theta =\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1\;}}
\end{gather}
\]
Usando a expressão (IX)
\[
\begin{gather}
\theta =\operatorname{arctg}x
\end{gather}
\]
Portanto
\[
\begin{gather}
\cos \left(\operatorname{arctg}x\right)=\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1\;}}
\end{gather}
\]
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