Exercício Resolvido de Dinâmica das Rotações
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Mostre que o momento angular de um sistema de duas partículas em relação a um ponto fixo qualquer é dado pela soma do momento angular do sistema em relação ao centro de massa e do momento angular, de uma partícula de massa M = m1+m2 concentrada no centro de massa do sistema se movendo com a velocidade do centro de massa, em relação ao mesmo ponto fixo. Generalize o resultado para um sistema de n de partículas.
Esquema do problema:
O problema nos diz que queremos calcular “...o momento angular de um sistema de duas partículas em
relação a um ponto fixo qualquer...”, então fixamos um sistema de referência S nesse ponto. As
partículas 1 e 2 terão suas posições determinadas no espaço pelos vetores
r1 e r2 em relação a esse sistema (Figura 1).
Figura 1
O momento angular das partículas nesse sistema pode ser escrito como a soma de duas partes, a primeira é
dada no problema como sendo, “...do momento angular do sistema em relação ao centro de massa...”,
assim fixamos um outro sistema de referência S’ no centro de massa. As partículas 1 e 2 terão suas
posições dadas pelos vetores r1' e r2' em relação a
esse sistema (Figura 2).
Figura 2
A segunda parte seria “...do momento angular, de uma partícula de massa
M = m1+m2 concentrada no centro de massa do sistema se movendo
com a velocidade do centro de massa, em relação ao mesmo ponto fixo.”, toda a massa do sistema
estaria concentrada no centro de massa e este teria sua posição no espaço dado pelo vetor
rCM em relação ao referencial S (Figura3).
Figura 3
Todos os elementos estão representados na Figura 4.
Solução
Pela Figura 4 os vetores r1 e r2 podem se escritos como
\[
\begin{gather}
{\mathbf{r}}_{1}={\mathbf{r}}_{CM}+\mathbf{r'}_{1} \tag{I-a}\\[5pt]
{\mathbf{r}}_{2}={\mathbf{r}}_{CM}+\mathbf{r'}_{2} \tag{I-b}
\end{gather}
\]
Como a velocidade é dada por
\( \mathbf{v}=\frac{d\mathbf{r}}{dt} \),
derivando as duas expressões de (I)
\[
\begin{gather}
{\mathbf{v}}_{1}={\mathbf{v}}_{CM}+\mathbf{v'}_{1} \tag{II-a}\\[5pt]
{\mathbf{v}}_{2}={\mathbf{v}}_{CM}+\mathbf{v'}_{2} \tag{II-b}
\end{gather}
\]
onde v1 e v2 são as velocidades das partículas 1 e 2 em relação ao
sistema S, vCM é a velocidade do centro de massa em relação ao sistema
S e v'1 e v'2 são as velocidades das partículas 1 e 2 em relação
ao referencial S’.O momento angular é dado por
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{\mathbf{L}=\mathbf{r}\times{\mathbf{p}}}
\]
o momento angular em relação à S é
\[
\begin{gather}
\mathbf{L}={\mathbf{r}}_{1}\times{\mathbf{p}}_{1}+{\mathbf{r}}_{2}\times{\mathbf{p}}_{2} \tag{III}
\end{gather}
\]
A quantidade de movimento é dada por
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{\mathbf{p}=m\mathbf{v}}
\]
as quantidades de movimento p1 e p2 são
\[
\begin{gather}
{\mathbf{p}}_{1}=m_{1}{\mathbf{v}}_{1} \tag{IV-a}\\[5pt]
{\mathbf{p}}_{2}=m_{2}{\mathbf{v}}_{2} \tag{IV-b}
\end{gather}
\]
Substituindo as expressões (IV-a) e (IV-b) na expressão (III)
\[
\begin{gather}
\mathbf{L}={\mathbf{r}}_{1}\times m_{1}{\mathbf{v}}_{1}+{\mathbf{r}}_{2}\times m_{2}{\mathbf{v}}_{2}\\
\mathbf{L}=m_{1}{\mathbf{r}}_{1}\times{\mathbf{v}}_{1}+m_{2}{\mathbf{r}}_{2}\times{\mathbf{v}}_{2} \tag{V}
\end{gather}
\]
substituindo as expressões (I-a), (I-b), (II-a) e (II-b) na expressão (V)
\[
\begin{align}
& \mathbf{L}=m_{1}\left({\mathbf{r}}_{CM}+\mathbf{r'}_{1}\right)\times\left({\mathbf{v}}_{CM}+\mathbf{v'}_{1}\right)+m_{2}\left({\mathbf{r}}_{CM}+\mathbf{r'}_{2}\right)\times\left({\mathbf{v}}_{CM}+\mathbf{v'}_{2}\right)\\[5pt]
& \mathbf{L}=m_{1}\left({\mathbf{r}}_{CM}\times{\mathbf{v}}_{CM}+{\mathbf{r}}_{CM}\times{\mathbf{v'}}_{1}+\mathbf{r'}_{1}\times{\mathbf{v}}_{CM}+\mathbf{r'}_{1}\times{\mathbf{v}}'_{1}\right)\text{+}\\
& \qquad \qquad \text{+}
m_{2}\left({\mathbf{r}}_{CM}\times{\mathbf{v}}_{CM}+{\mathbf{r}}_{CM}\times{\mathbf{v}}'_{2}+\mathbf{r'}_{2}\times{\mathbf{v}}_{CM}+\mathbf{r'}_{2}\times{\mathbf{v'}}_{2}\right)\\[5pt]
& \mathbf{L}={\mathbf{r}}_{CM}\times m_{1}{\mathbf{v}}_{CM}+{\mathbf{r}}_{CM}\times m_{1}\mathbf{v'}_{1}+\mathbf{r'}_{1}\times m_{1}{\mathbf{v}}_{CM}+\mathbf{r'}_{1}\times m_{1}\mathbf{v'}_{1}\text{+}\\
& \qquad \qquad \text{+}
m_{2}{\mathbf{r}}_{CM}\times m_{2}{\mathbf{v}}_{CM}+{\mathbf{r}}_{CM}\times m_{2}\mathbf{v'}_{2}+\mathbf{r'}_{2}\times m_{2}{\mathbf{v}}_{CM}+\mathbf{r'}_{2}\times m_{2}\mathbf{v'}_{2}\\[5pt]
& \mathbf{L}={\mathbf{r}}_{CM}\times\left(m_{1}+m_{2}\right){\mathbf{v}}_{CM}+{\mathbf{r}}_{CM}\times\left(m_{1}\mathbf{v'}_{1}+m_{2}\mathbf{v'}_{2}\right)\text{+}\\
& \qquad \qquad \text{+}
\left(m_{1}\mathbf{r'}_{1}+m_{2}\mathbf{r'}_{2}\right)\times{\mathbf{v}}_{CM}+\mathbf{r'}_{1}\times m_{1}\mathbf{v'}_{1}+\mathbf{r'}_{2}\times m_{2}\mathbf{v'}_{2}
\end{align}
\]
Analisando os termos do lado direito da expressão acima
-
Primeiro termo:
\( {\mathbf{r}}_{CM}\times\left(m_{1}+m_{2}\right){\mathbf{v}}_{CM}={\mathbf{r}}_{CM}\times M{\mathbf{v}}_{CM} \),
será o momento angular de uma partícula de massa M localizada no centro de massa, se movendo
com a velocidade do centro de massa, e posição dada pelo vetor rCM em relação ao
referencial S (terceira parte do enunciado do problema).
-
Terceiro termo:
\( \left(m_{1}\mathbf{r'}_{1}+m_{2}\mathbf{r'}_{2}\right)\times{\mathbf{v}}_{CM} \),
multiplicando e dividindo o termo entre parênteses pela massa total do sistema,
M = m1+m2, teremos
\[ \left(m_{1}\mathbf{r'}_{1}+m_{2}\mathbf{r'}_{2}\right)\frac{M}{M}=M\frac{\left(m_{1}\mathbf{r'}_{1}+m_{2}\mathbf{r'}_{2}\right)}{M}=M\frac{\sum{m}_{i}\mathbf{r'}_{i}}{M} \]onde o termo \( \frac{\sum {m}_{i}\mathbf{r'}_{i}}{M} \) é a própria definição de centro de massa. Assim a posição do centro de massa no referencial do centro de massa é zero.
Observação: Pela definição de centro de massa, o vetor posição de um sistema de partículas em
relação a um referencial S é dado por
\( {\mathbf{r}}_{CM}=\frac{\sum{m}_{i}{\mathbf{r}}_{i}}{M} \),
para duas massas, em particular
Se o referencial S estiver colocado na posição do centro de massa, os vetores posição r1 e r2 serão indicados a partir desta posição e o vetor rCM será zero.
Isto é o que acontece com o segundo e terceiro termos da expressão do momento angular, os vetores indicados com linha estão no referencial S’ que está no centro de massa, por isso estes termos são nulos.
\[
{\mathbf{r}}_{CM}=\frac{m_{1}{\mathbf{r}}_{1}+m_{2}{\mathbf{r}}_{2}}{M}
\]
onde rCM é o vetor posição do centro de massa em relação ao referencial S e
r1 e r2 são os vetores posição das partículas m1 e
m2 no mesmo referencial.
Se o referencial S estiver colocado na posição do centro de massa, os vetores posição r1 e r2 serão indicados a partir desta posição e o vetor rCM será zero.
Isto é o que acontece com o segundo e terceiro termos da expressão do momento angular, os vetores indicados com linha estão no referencial S’ que está no centro de massa, por isso estes termos são nulos.
-
Segundo termo:
\( {\mathbf{r}}_{CM}\times\left(m_{1}\mathbf{v'}_{1}+m_{2}\mathbf{v'}_{2}\right) \)
é a velocidade do centro de massa no referencial do centro de massa que será zero.
-
O Quarto e o Quinto termos:
\( \mathbf{r'}_{1}\times m_{1}\mathbf{v'}_{1}+\mathbf{r'}_{2}\times m_{2}\mathbf{v'}_{2} \)
representam o momento angular de um sistema de duas partículas em relação ao referencial S’, ou seja é
o momento angular do sistema em relação ao centro de massa (a segunda parte do enunciado), assim podemos
escrever
\[ {\mathbf{L}}_{CM}=\mathbf{r'}_{1}\times m_{1}\mathbf{v'}_{1}+\mathbf{r'}_{2}\times m_{2}\mathbf{v'}_{2} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{\mathbf{L}={\mathbf{L}}_{CM}+{\mathbf{r}}_{CM}\times M{\mathbf{v}}_{CM}}
\]
Generalizando para um sistema de n partículas, o vetor posição será escrito como
\[
\begin{gather}
\qquad \qquad \qquad{\mathbf{r}}_{i}={\mathbf{r}}_{CM}+{\mathbf{r}}_{i}\qquad i=1..n \tag{VI}
\end{gather}
\]
derivando em relação ao tempo as velocidades das partículas serão dadas por
\[
\begin{gather}
\qquad \qquad \qquad{\mathbf{v}}_{i}={\mathbf{v}}_{CM}+{\mathbf{v}}_{i}\qquad i=1..n \tag{VII}
\end{gather}
\]
O momento angular é dado por
\[
\begin{gather}
\mathbf{L}=\sum_{i=1}^{n}{\mathbf{r}}_{i}\times{\mathbf{p}}_{i} \tag{VIII}
\end{gather}
\]
a quantidade de movimento pi é
\[
\begin{gather}
{\mathbf{p}}_{i}=m_{i}{\mathbf{v}}_{i} \tag{IX}
\end{gather}
\]
substituindo a expressão (IX) na expressão (VIII)
\[
\begin{gather}
\mathbf{L}=\sum_{i=1}^{n}{\mathbf{r}}_{i}\times m_{i}{\mathbf{v}}_{i} \tag{X}
\end{gather}
\]
substituindo as expressões (VI) e (VII) na expressão (X)
\[
\begin{gather}
\mathbf{L}=\sum_{i=1}^{n}\left({\mathbf{r}}_{CM}+\mathbf{r'}_{i}\right)\times m_{i}\left({\mathbf{v}}_{CM}+\mathbf{v'}_{i}\right)\\
\mathbf{L}=\sum_{i=1}^{n}{\mathbf{r}}_{CM}\times m_{i}{\mathbf{v}}_{CM}+{\mathbf{r}}_{CM}\times m_{i}\mathbf{v'}_{i}+\mathbf{r'}_{i}\times m_{i}{\mathbf{v}}_{CM}+\mathbf{r'}_{i}\times m_{i}\mathbf{v'}_{i}\\
\mathbf{L}={\mathbf{r}}_{CM}\times{\mathbf{v}}_{CM}\underbrace{\sum_{i=1}^{n}{m}_{i}}_{M}+{\mathbf{r}}_{CM}\times{\underbrace{\sum_{i=1}^{n}{m}_{i}\mathbf{v'}_{i}}_{0}}+\underbrace{\sum_{i=1}^{n}{m}_{i}\mathbf{r'}_{i}}_{0}\times{\mathbf{v}}_{CM}+\underbrace{\sum_{i=1}^{n}{r'}_{i}\times m_{i}\mathbf{v'}_{i}}_{{\mathbf{L}}_{CM}}
\end{gather}
\]
Analisando os termos da expressão
-
No primeiro termo o somatório representa a massa total do sistema. Assim este termo representa o momento
angular do sistema, com toda a massa localizada no centro de massa, em relação ao referencial S e
se movendo com a velocidade do centro de massa, ou seja
\[ {\mathbf{r}}_{CM}\times{\mathbf{v}}_{CM}\sum_{i=1}^{n}{m}_{i}={\mathbf{r}}_{CM}\times{M}{\mathbf{v}}_{CM} \]
-
O segundo e o terceiro termos são nulos porque estão calculados em relação ao referencial S’ que
está fixo no centro de massa do sistema.
-
O quarto termo representa o momento angular do sistema em relação ao referencial S’
\[ {\mathbf{L}}_{CM}=\sum_{i=1}^{n}{r'}_{i}\times m_{i}\mathbf{v'}_{i} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{\mathbf{L}={\mathbf{L}}_{CM}+{\mathbf{r}}_{CM}\times M{\mathbf{v}}_{CM}}
\]
Esta expressão é a mesma que foi obtida para duas partículas, isto mostra que a expressão serve para um sistema
de duas, três, quatro ou n partículas.
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