Exercício Resolvido de Cinemática das Rotações
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Uma partícula que descreve uma trajetória circular de raio r e submetida a uma aceleração angular α. Determinar:
a) A aceleração total da partícula;
b) O que acontece se a componente da aceleração na direção tangencial for zero?
c) O que acontece se a componente da aceleração na direção centrípeta for zero?
Dados do problema:
- Raio da trajetória: r;
- Aceleração angular da partícula: α.
Adotando-se um sistema de coordenadas cilíndricas, onde er, eφ e ez são os vetores unitários das direções r, φ e z respectivamente (Figura 1-B).
O vetor posição só possui componente na direção er, portanto, pode ser escrito como r = rer e o vetor aceleração angular só possui componente na direção ez, então, pode ser escrito como α = αez.
Solução
a) Uma das componentes da aceleração será dada pelo produto vetorial entre o vetor aceleração angular (α) e o vetor posição (r), Figura 2-A.
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{{\mathbf{a}}_{t}=\mathbf{\alpha}\times{\mathbf{r}}}
\]
\[
\begin{gather}
{\mathbf{a}}_{t}=\left|
\begin{matrix}
{\mathbf{e}}_{r} & {\mathbf{e}}_{\phi} & {\mathbf{e}}_{z}\\
0 & 0 & \alpha\\
r & 0 & 0
\end{matrix}\right|\\[5pt]
{\mathbf{a}}_{t}=(0.0-\alpha .0)\;{\mathbf{e}}_{r}-(0.0-\alpha . r)\;{\mathbf{e}}_{\phi}+(0.0-0.r)\;{\mathbf{e}}_{z}\\[5pt]
{\mathbf{a}}_{t}=\alpha r\;{\mathbf{e}}_{\phi}
\end{gather}
\]
O vetor at é perpendicular a α e r (Figura 2-B), e tangente à
trajetória da partícula em cada ponto (Figura 2-C), esta é a aceleração tangencial.Os vetores α e r são perpendiculares entre si, portanto, em módulo
\[
\begin{gather}
a_{t}=\alpha r\operatorname{sen}\frac{\pi}{2}\\
a_{t}=\alpha r \tag{I}
\end{gather}
\]
A partícula girando com aceleração angular α possui uma velocidade angular ω, esta velocidade esta
na mesma direção e sentido da aceleração angular, então pode ser escrita como
ω = ωez. A outra componente da aceleração será dada por
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{{\mathbf{a}}_{\mathit{cp}}=\mathbf{\omega}\times\left(\mathbf{\omega}\times {\mathbf{r}}\right)}
\]
O produto vetorial
\( \mathbf{\omega}\times {\mathbf{r}} \)
é uma velocidade
\[
\begin{gather}
\mathbf{v}=\left|
\begin{matrix}
{\mathbf{e}}_{r} & {\mathbf{e}}_{\phi} & {\mathbf{e}}_{z}\\
0 & 0 & \omega\\
r & 0 & 0
\end{matrix}\right|\\[5pt]
\mathbf{v}=(0.0-\omega .0)\;{\mathbf{e}}_{r}-(0.0-\omega . r)\;{\mathbf{e}}_{\phi}+(0.0-0.r)\;{\mathbf{e}}_{z}\\[5pt]
\mathbf{v}=\omega r\;{\mathbf{e}}_{\phi}
\end{gather}
\]
temos o vetor velocidade v (Figura 3-B).
Este vetor é tangente à trajetória da partícula em cada ponto (Figura 3-C), em módulo
\[
\begin{gather}
v=\omega r\operatorname{sen}\frac{\pi }{2}\\
v=\omega r \tag{II}
\end{gather}
\]
Esta componente da aceleração pode ser escrita como
\[
{\mathbf{a}}_{cp}=\mathbf{\omega}\times\left(\mathbf{\omega}\times{\mathbf{r}}\right)=\mathbf{\omega}\times{\mathbf{v}}
\]
\[
\begin{gather}
{\mathbf{a}}_{cp}=\left|
\begin{matrix}
{\mathbf{e}}_{r} & {\mathbf{e}}_{\phi} & {\mathbf{e}}_{z}\\
0 & 0 & \omega\\
0 & \omega r & 0
\end{matrix}\right|\\[5pt]
{\mathbf{a}}_{cp}=(0.0-\omega^{2}.r)\;{\mathbf{e}}_{r}-(0.0-\omega . 0)\;{\mathbf{e}}_{\phi}+(0.\omega r-0.0)\;{\mathbf{e}}_{z}\\[5pt]
{\mathbf{a}}_{cp}=-\omega^{2}r\;{\mathbf{e}}_{r}
\end{gather}
\]
O vetor aceleração centrípeta está na direção radial e o sinal negativo indica que o sentido é oposto ao vetor
unitário er (Figura 4-B).
\[
\begin{gather}
a_{cp}=\omega v\operatorname{sen}\frac{\pi}{2}\\
a_{cp}=\omega v \tag{III}
\end{gather}
\]
Em módulo a aceleração centrípeta vale
\[
\begin{gather}
a_{cp}=\omega^{2}r \tag{IV}
\end{gather}
\]
A aceleração total da partícula será dada pela soma das componentes centrípeta e tangencial
\[
\mathbf{a}={\mathbf{a}}_{t}+{\mathbf{a}}_{cp}\\
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{\mathbf{a}=\alpha r\;{\mathbf{e}}_{\phi}-\omega^{2}r\;{\mathbf{e}}_{r}}
\]
Usando o Teorema de Pitágoras e as expressões (I) e (IV), (figura 5)
\[
\begin{gather}
a^{2}=a_{t}^{2}+a_{cp}^{2}\\
a^{2}=(\alpha r)^{2}+(\omega ^{2}r)^{2}\\
a^{2}=\alpha^{2}r^{2}+\omega^{4}r^{2}\\
a^{2}=r^{2}(\alpha^{2}+\omega ^{4})\\
a=\sqrt{r^{2}(\alpha^{2}+\omega ^{4})}
\end{gather}
\]
Figura 5
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{a=r\sqrt{\alpha^{2}+\omega ^{4}}}
\]
b) A componente tangencial da aceleração é responsável pela alteração do módulo da velocidade tangencial, se a
aceleração tangencial for nula a velocidade tangencial é constante. A aceleração total coincide com a aceleração
centrípeta e a partícula gira em Movimento Circular Uniforme (M.C.U.)
Figura 6
c) A componente centrípeta da aceleração é responsável pela alteração da direção da partícula, se a aceleração
centrípeta for nula a partícula não faz a curva, ela “sai” pela tangente. A aceleração total coincide com a
aceleração tangencial e a partícula está em Movimento Retilíneo Uniformemente Variado (M.R.U.V.)
Figura 7
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Fisicaexe - Exercícios Resolvidos de Física de Elcio Brandani Mondadori está licenciado com uma Licença Creative Commons - Atribuição-NãoComercial-Compartilha Igual 4.0 Internacional .