Exercício Resolvido de Cinemática das Rotações
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Uma partícula que descreve uma trajetória circular de raio r e submetida a uma aceleração angular α. Determinar:
a) A aceleração total da partícula;
b) O que acontece se a componente da aceleração na direção tangencial for zero?
c) O que acontece se a componente da aceleração na direção centrípeta for zero?


Dados do problema:
  • Raio da trajetória:    r;
  • Aceleração angular da partícula:    α.
Esquema do Problema:

Figura 1

Solução

a) Uma das componentes da aceleração será dada pelo produto vetorial entre o vetor aceleração angular (α) e o vetor posição (r), Figura 2-A
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {{\mathbf{a}}_{t}=\mathbf{\alpha}\times{\mathbf{r}}} \]
Figura 2

Aplicando a regra da mão direita para o produto vetorial (levando o vetor α em direção ao vetor r) obtemos o vetor at perpendicular a estes dois (Figura 2-B). Este vetor é tangente à trajetória da partícula em cada ponto (Figura 2-C), esta é a aceleração tangencial.
Os vetores α e r são perpendiculares entre si, portanto, em módulo
\[ \begin{gather} a_{t}=\alpha r\operatorname{sen}\frac{\pi}{2}\\ a_{t}=\alpha r \tag{I} \end{gather} \]
A partícula girando com aceleração angular α possui uma velocidade angular ω, então a outra componente da aceleração será dada por
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {{\mathbf{a}}_{cp}=\mathbf{\omega}\times\left(\mathbf{\omega}\times {\mathbf{r}}\right)} \]
O produto vetorial \( \mathbf{\omega}\times {\mathbf{r}} \) é uma velocidade, assim, aplicando a regra da mão direita (levando o vetor ω em direção ao vetor r), temos o vetor velocidade v (Figura 3-B).

Figura 3

Este vetor é tangente à trajetória da partícula em cada ponto (Figura 3-C), em módulo
\[ \begin{gather} v=\omega r\operatorname{sen}\frac{\pi }{2}\\ v=\omega r \tag{II} \end{gather} \]
Esta componente da aceleração pode ser escrita como
\[ {\mathbf{a}}_{cp}=\mathbf{\omega}\times\left(\mathbf{\omega}\times{\mathbf{r}}\right)=\mathbf{\omega}\times{\mathbf{v}} \]
Fazendo o produto vetorial (levando o vetor ω em direção ao vetor v), obtemos um vetor perpendicular a estes e apontado no sentido do centro da trajetória, esta é a aceleração centrípeta (Figura 4-B).
Figura 4

Os vetores ω e v são perpendiculares, portanto, em módulo
\[ \begin{gather} a_{cp}=\omega v\operatorname{sen}\frac{\pi}{2}\\ a_{cp}=\omega v \tag{III} \end{gather} \]
substituindo a expressão (II) para a velocidade na expressão acima
\[ \begin{gather} a_{cp}=\omega ^{2}r \tag{IV} \end{gather} \]
A aceleração total da partícula será dada pela soma das componentes centrípeta e tangencial
\[ \mathbf{a}={\mathbf{a}}_{t}+{\mathbf{a}}_{cp} \]
Usando o Teorema de Pitágoras e as expressões (I) e (IV), (figura 5)
\[ \begin{gather} a^{2}=a_{t}^{2}+a_{cp}^{2}\\ a^{2}=(\alpha r)^{2}+(\omega ^{2}r)^{2}\\ a^{2}=\alpha^{2}r^{2}+\omega^{4}r^{2}\\ a^{2}=r^{2}(\alpha^{2}+\omega ^{4})\\ a=\sqrt{r^{2}(\alpha^{2}+\omega ^{4})} \end{gather} \]

Figura 5
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {a=r\sqrt{\alpha^{2}+\omega ^{4}}} \]

b) A componente tangencial da aceleração é responsável pela alteração do módulo da velocidade tangencial, se a aceleração tangencial for nula a velocidade tangencial é constante. A aceleração total coincide com a aceleração centrípeta e a partícula gira em Movimento Circular Uniforme (M.C.U.)

Figura 6

c) A componente centrípeta da aceleração é responsável pela alteração da direção da partícula, se a aceleração centrípeta for nula a partícula não faz a curva, ela “sai” pela tangente. A aceleração total coincide com a aceleração tangencial e a partícula está em Movimento Retilíneo Uniformemente Variado (M.R.U.V.)

Figura 7
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