Exercício Resolvido de Cinemática das Rotações
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Para um móvel em Movimento Circular Uniformemente Variado obtenha as expressões para o cálculo da velocidade angular e do espaço angular percorrido em função do tempo a partir da expressão da velocidade angular instantânea.
Solução
A aceleração angular instantânea é dada por
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{\alpha =\frac{d\omega}{dt}}
\]
Integramos esta expressão em dt de ambos os lados
\[
\int {{\frac{d\omega}{dt}\;dt}}=\int {{\alpha \;dt}}
\]
como a aceleração angular α é constante ela "sai" da integral e sendo
\( \dfrac{d\omega}{dt}dt=d\omega \)
fazemos
\[
\begin{gather}
\int {{d\omega}}=\alpha \int {{dt}}\\
\omega(t)+C_{1}=\alpha t+C_{2}\\
\omega(t)=\alpha t+C_{2}-C_{1}
\end{gather}
\]
C1 e C2 são constantes de integração que podem ser definidas em função de uma
nova constante C = C2−C1
\[
\begin{gather}
\omega(t)=\alpha t+C \tag{I}
\end{gather}
\]
adotando a condição de que no instante inicial (t0) o móvel está com velocidade angular
inicial ω0, temos a condição inicial ω(t0)=ω0 ,
substituindo em (I)
\[
\begin{gather}
\omega(t_{0})=\alpha t_{0}+C_{1}\\
\omega_{0}=\alpha t_{0}+C_{1}\\
C_{1}=\omega_{0}-\alpha t_{0} \tag{II}
\end{gather}
\]
substituindo a expressão (II) na expressão (I)
\[
\omega(t)=\alpha t+\omega_{0}-\alpha t_{0}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{\omega(t)=\omega_{0}+\alpha \left(t-t_{0}\right)}
\]
que descreve a velocidade angular de um corpo em Movimento Circular Uniformemente Variado.A velocidade angular instantânea é dada por
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{\omega=\frac{d\theta}{dt}}
\]
\[
\frac{d\theta}{dt}=\omega_{0}+\alpha \left(t-t_{0}\right)
\]
integrando esta expressão em dt de ambos os lados
\[
\int {{\frac{d\theta}{dt}dt}}=\int {{\left[\omega_{0}+\alpha\left(t-t_{0}\right)\right]dt}}
\]
na integral do lado esquerdo
\( \dfrac{d\theta}{dt}dt=d\theta \),
e no lado direito da igualdade a integral da soma é a soma das integrais, e como ω0,
t0 e α são constantes elas “saem” da integral
\[
\begin{gather}
\int {{\frac{d\theta}{dt}dt}}=\int {{\left[\omega_{0}+\alpha \left(t-t_{0}\right)\right]dt}}\\
\theta(t)+C_{1}=\omega_{0}t+C_{2}+\alpha \frac{t^{2}}{2}+C_{3}-\alpha t_{0}t+C_{4}\\
\theta(t)=\omega_{0}t+\alpha\frac{t^{2}}{2}-at_{0}t+C_{2}+C_{3}+C_{4}-C_{1}
\end{gather}
\]
C1, C2, C3 e C4 são constantes de
integração que podem ser definidas em função de uma nova constante
C = C2 + C3 + C4 − C1
\[
\theta(t)=\omega_{0}t+\frac{\alpha }{2}\left(t^{2}-2t_{0}t\right)+C
\]
no lado direito, no termo entre parênteses, somamos e subtraímos t02
\[
\begin{gather}
\theta(t)=\omega_{0}t+\frac{\alpha}{2}\left(t^{2}-2t_{0}t+t_{0}^{2}-t_{0}^{2}\right)+C\\
\theta(t)=\omega_{0}t+\frac{\alpha}{2}\left(t-t_{0}\right)^{2}-\frac{a}{2}t_{0}^{2}+C \tag{III}
\end{gather}
\]
adotando a condição de que no instante inicial (t0) o móvel está na posição inicial
(θ0), temos a condição inicial θ(t0) = θO,
substituindo na expressão (III)
\[
\begin{gather}
\theta(t_{0})=\omega_{0}t_{0}+\frac{\alpha}{2}\left(t_{0}-t_{0}\right)^{2}-\frac{\alpha }{2}t_{0}^{2}+C\\
C=\theta(t_{0})-\omega_{0}t_{0}-\frac{\alpha }{2}.0^{2}+\frac{\alpha}{2}t_{0}^{2}\\
C=\theta_{0}-\omega_{0}t_{0}+\frac{\alpha}{2}t_{0}^{2} \tag{IV}
\end{gather}
\]
substituindo a expressão (IV) na expressão (III)
\[
\theta(t)=\omega_{0}t+\frac{\alpha}{2}\left(t-t_{0}\right)^{2}-\frac{\alpha }{2}t_{0}^{2}+\theta_{0}-\omega_{0}t_{0}+\frac{\alpha }{2}t_{0}^{2}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{\theta(t)=\theta_{0}+\omega_{0}\left(t-t_{0}\right)+\frac{\alpha}{2}\left(t-t_{0}\right)^{2}}
\]
que é a expressão do espaço para um corpo em Movimento Circular Uniformemente Variado.
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