Exercício Resolvido de Cinemática das Rotações
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Obtenha a expressão para o cálculo do espaço angular percorrido em função do tempo no Movimento Circular Uniforme, a partir da expressão da velocidade angular instantânea.
Solução
A velocidade angular instantânea é dada por
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{\omega =\frac{d\theta}{dt}}
\]
integramos esta expressão em dt de ambos os lados
\[
\int {{\frac{d\theta}{dt}dt}}=\int {{\omega dt}}
\]
como a velocidade angular (ω) é constante ela "sai" da integral e sendo
\( \dfrac{d\theta}{dt}dt=d\theta \)
fazemos
\[
\begin{gather}
\int {{d\theta}}=\omega \int {{dt}}\\
\theta(t)+C_{1}=\omega t+C_{2}\\
\theta(t)=\omega t+C_{2}-C_{1}
\end{gather}
\]
C1 e C2 são constantes de integração que podem ser definidas em função de
uma nova constante C = C2−C1
\[
\begin{gather}
\theta(t)=\omega t+C \tag{I}
\end{gather}
\]
adotando a condição de que no instante inicial (t0) o móvel está na posição inicial
(θ0), temos a condição inicial θ(t0) = θ0, substituindo
na expressão (I)
\[
\begin{gather}
\theta(t_{0})=\omega t_{0}+C_{1}\\
\theta_{0}=\omega t_{0}+C_{1}\\
C_{1}=\theta_{0}-\omega t_{0} \tag{II}
\end{gather}
\]
substituindo (II) em (I)
\[
\theta(t)=\omega t+\theta_{0}-\omega t_{0}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{\theta(t)=\theta_{0}+\omega \left(t-t_{0}\right)}
\]
que descreve um corpo em Movimento Circular Uniforme.
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