Um móvel está sobre um plano-xy, inicialmente em repouso na posição x0 sobre o
eixo-x positivo. Ele começa a se movimentar com velocidades constantes vx, no
sentido da origem, e vy no sentido do eixo-y positivo. Determinar depois de quanto
tempo este móvel se encontrará a distância mínima da origem e, qual é essa distância mínima.
Dados do problema:
- Posição inicial do móvel: x0;
- Velocidade do móvel na direção x: vx;
- Velocidade do móvel na direção y: vy.
Esquema do problema:
Como as componentes da velocidade são constantes a trajetória será uma reta (Figura 1-A).
Ao longo da trajetória o móvel passa sucessivamente pelos pontos P0, P1,
P2, PP, P3 e assim por diante. O ponto de menor
distância à origem será o ponto PP, onde a reta que liga este ponto a origem é
perpendicular a trajetória (Figura 1-B).
Solução:
Sendo
g a distância da origem ao ponto de menor distância, segmento
\( \overline{OP_{P}} \),
e
h a distância do ponto inicial ao ponto de menor distância, segmento
\( \overline{x_0P_{P}} \).
Aplicando o
Teorema de Pitágoras ao triângulo Δ
OPPx0 (em vermelho na Figura 2)
\[
\begin{gather}
x_0^2=g^2+h^2 \\[5pt]
h^2=x_0^2-g^2 \tag{I}
\end{gather}
\]
O ponto PP tem coordenadas (x1, y1), a distância
percorrida pelo móvel ao longo do eixo-x, desde x0 até x1, será
\[
\begin{gather}
x_0-x_1=v_xt \tag{II}
\end{gather}
\]
A distância percorrida pelo móvel ao longo do eixo-
y, desde
O até
y1, será
\[
\begin{gather}
y_1-0=v_yt
\end{gather}
\]
Aplicando o
Teorema de Pitágoras ao triângulo ao triângulo
Δ
x1PPx0 (em azul na Figura 3)
\[
\begin{gather}
h^2=\left(v_xt\right)^2+\left(v_yt\right)^2 \tag{III}
\end{gather}
\]
A distância da origem ao ponto
x1, segmento
\( \overline{Ox_1} \),
será obtido a partir da equação (II)
\[
\begin{gather}
x_1=x_0-v_xt
\end{gather}
\]
Aplicando o
Teorema de Pitágoras ao triângulo Δ
OPPx1
(em azul na Figura 4)
\[
\begin{gather}
g^2=\left(x_0-v_xt\right)^2+\left(v_yt\right)^2 \tag{IV}
\end{gather}
\]
As equações (I), (III) e (IV) formam um sistema de três equações a três incógnitas (g, h
e t)
\[
\left\{
\begin{array}{l}
\;h^2=x_0^2-g^2 \\[5pt]
\;h^2=\left(v_xt\right)^2+\left(v_yt\right)^2 \\[5pt]
\;g^2=\left(x_0-v_xt\right)^2+\left(v_yt\right)^2
\end{array}
\right.
\]
substituindo a primeira equação na segunda no sistema
\[
\begin{gather}
x_0^2-g^2=\left(v_xt\right)^2+\left(v_yt\right)^2 \tag{V}
\end{gather}
\]
substituindo a terceira equação do sistema na equação (V), obtemos o intervalo de tempo necessário para
atingir a distância mínima
\[
\begin{gather}
x_0^2-\left[\left(x_0-v_xt\right)^2+\left(v_yt\right)^2\right]=\left(v_xt\right)^2+\left(v_yt\right)^2 \\[5pt]
x_0^2-\left(x_0-v_xt\right)^2-\left(v_yt\right)^2=\left(v_xt\right)^2+\left(v_yt\right)^2 \\[5pt]
x_0^2-\left[x_0^2-2x_0v_xt+\left(v_xt\right)^2\right]=\left(v_xt\right)^2+\left(v_yt\right)^2+\left(v_yt\right)^2 \\[5pt]
x_0^2-x_0^2+2x_0v_xt-\left(v_xt\right)^2=\left(v_xt\right)^2+2\left(v_yt\right)^2 \\[5pt]
2x_0v_xt=\left(v_xt\right)^2+\left(v_xt\right)^2+2\left(v_yt\right)^2 \\[5pt]
2x_0v_xt=2\left(v_xt\right)^2+2\left(v_yt\right)^2 \\[5pt]
x_0v_xt=\left(v_xt\right)^2+\left(v_yt\right)^2 \\[5pt]
v_x^2t^2+v_y^2t^2=x_0v_xt \\[5pt]
t^2\left(v_x^2+v_y^2\right)=x_0v_xt \\[5pt]
t\left(v_x^2+v_y^2\right)=x_0v_x
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{t=\frac{x_0v_x}{v_x^2+v_y^2}}
\end{gather}
\]
Da equação (V) obtemos a menor distância
\[
\begin{gather}
g^2=x_0^2-v_x^2t^2-v_y^2t^2 \\[5pt]
g^2=x_0^2-t^2\left(v_x^2+v_y^2\right)
\end{gather}
\]
substituindo o valor do tempo encontrado acima
\[
\begin{gather}
g^2=x_0^2-\left(\frac{x_0v_x}{v_x^2+v_y^2}\right)^2\left(v_x^2+v_y^2\right) \\[5pt]
g^2=x_0^2-\frac{x_0^2v_x^2}{\left(v_x^2+v_y^2\right)^2}\left(v_x^2+v_y^2\right) \\[5pt]
g^2=x_0^2-\frac{x_0^2v_x^2}{v_x^2+v_y^2} \\[5pt]
g^2=\frac{x_0^2\left(v_x^2+v_y^2\right)-x_0^2v_x^2}{v_x^2+v_y^2} \\[5pt]
g^2=\frac{x_0^2v_x^2+x_0^2v_y^2-x_0^2v_x^2}{v_x^2+v_y^2} \\[5pt]
g^2=\frac{x_0^2v_x^2+x_0^2v_y^2-x_0^2v_x^2}{v_x^2+v_y^2} \\[5pt]
g^2=\frac{x_0^2v_y^2}{v_x^2+v_y^2} \\[5pt]
g=\sqrt{\frac{x_0^2v_y^2}{v_x^2+v_y^2}\;}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{g=\frac{x_0v_y}{\sqrt{v_x^2+v_y^2}\;}}
\end{gather}
\]
EN
