Um barco a vapor, que navega com velocidade constante v (km/h), e consome
0,3+0,001v3 toneladas de carvão por hora. Calcular:
a) A velocidade que deverá ter num percurso de 1000 km para haver o mínimo consumo;
b) A quantidade de carvão consumida nesta viagem.
Dado do problema:
- Taxa de consume de carvão:
\( c=0,3+0,001v^3\;\frac{\text t}{\text h} \).
Solução:
a) O consumo total de carvão CT durante a viagem será a taxa de consumo por unidade de
tempo c, dada no problema, multiplicada pelo tempo de duração da viagem Δt
\[
\begin{gather}
C_{\small T}=c\Delta t \tag{I}
\end{gather}
\]
como a velocidade do navio é constante o tempo de viagem pode ser obtido da equação da velocidade média
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{v=\frac{\Delta x}{\Delta t}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\Delta t=\frac{\Delta x}{v} \tag{II}
\end{gather}
\]
Substituindo o consumo de carvão fornecido no problema e o tempo de viagem obtido de (II) na equação (I)
\[
C_{\small T}=\left(0,3+0,001v^3\right)\frac{\Delta x}{v}
\]
para a distância dada no problema, Δx = 1000 km
\[
\begin{gather}
C_{\small T}=\left(0,3+0,001v^3\right)\frac{1000}{v} \\[5pt]
C_{\small T}=\frac{300}{v}+\frac{v^3}{v} \\[5pt]
C_{\small T}=\frac{300}{v}+v^2 \tag{III}
\end{gather}
\]
Para encontrarmos a velocidade em que o consumo é mínimo devemos derivar a equação (III) e impor que ela
seja igual à zero.
Derivada de
\( C_{\small T}=\dfrac{300}{v}+v^2 \)
\[
\begin{gather}
\frac{dC_{\small T}}{dv}=300 v^{-1}+v^2 \\[5pt]
\frac{dC_{\small T}}{dv}=-1.300 v^{-1-1}+2 v^{2-1} \\[5pt]
\frac{dC_{\small T}}{dv}=-300 v^{-2}+2 v^{1} \\[5pt]
\frac{dC_{\small T}}{dv}=-{\frac{300}{v^2}}+2v
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
-{\frac{300}{v^2}}+2v=0
\end{gather}
\]
multiplicando esta equação por v2
\[
\begin{gather}
\qquad \qquad\quad -\frac{300}{v^2}+2v=0\qquad (\times\;v^2) \\[5pt]
-{\frac{300}{\cancel{v^2}}}\cancel{v^2}+2v\;v^2=0 \\[5pt]
-300+2v^3=0 \\[5pt]
2v^3=300 \\[5pt]
v^3=\frac{300}{2} \\[5pt]
v^3=150 \\[5pt]
v=\sqrt[{3\;}]{150\;}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{v\approx 5,3\;\text{km/h}}
\end{gather}
\]
Para verificarmos se este é o ponto de mínimo da função calculamos a segunda derivada.
Derivada de
\( \dfrac{dC_{\small T}}{dv}=-{\dfrac{300}{v^2}}+2v \)
\[
\begin{gather}
\frac{d^2C_{\small T}}{dv^2}=-300v^{-2}+2v \\[5pt]
\frac{d^2C_{\small T}}{dv^2}=-(-2)\times 300v^{-2-1}+2v^{1-1} \\[5pt]
\frac{d^2C_{\small T}}{dv^2}=600v^{-3}+2v^{0} \\[5pt]
\frac{d^2C_{\small T}}{dv^2}=\frac{600}{v^3}+2
\end{gather}
\]
substituindo a velocidade
\[
\begin{gather}
\frac{d^2C_{\small T}}{dv^2}=\frac{600}{(\sqrt[{3\;}]{150})^3}+2 \\[5pt]
\frac{d^2C_{\small T}}{dv^2}=\frac{600}{150}+2 \\[5pt]
\frac{d^2C_{\small T}}{dv^2}=6>0
\end{gather}
\]
como a segunda derivada é maior que zero a velocidade encontrada representa um ponto de mínimo da função.
b) A quantidade de carvão consumida é obtida substituindo o resultado do item anterior na equação (III)
para o consumo total
\[
\begin{gather}
C_{\small T}=\frac{300}{\sqrt[{3\;}]{150\;}}+(\sqrt[{3\;}]{150\;})^2 \\[5pt]
C_{\small T}=\frac{300}{5,3}+(5,3)^2 \\[5pt]
C_{\small T}=56,6+28,1
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{C_{\small T}=84,7\;\text t}
\end{gather}
\]
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