Exercício Resolvido de Circuitos RLC
EN
publicidade
A corrente que passa em um circuito é dada por
\[
\begin{gather}
i=2\operatorname{sen}4t
\end{gather}
\]
Determine:
a) A corrente média;
b) A corrente eficaz;
Solução:
a) O valor médio de uma função é dado por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\langle f(t)\rangle=\frac{1}{T}\int_0^Tf(t)\;dt}
\end{gather}
\]
sendo f(t) = i(t)
\[
\begin{gather}
\langle i\rangle=\frac{1}{T}\int_0^T2\operatorname{sen}4t\;dt
\end{gather}
\]
O período de oscilação é dado por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{T=\frac{2\pi}{\omega}}
\end{gather}
\]
a função dada no problema é do tipo \( i=i_{o}\operatorname{sen}\omega t \), temos ω = 4, o período será
\[
\begin{gather}
T=\frac{2\pi}{4} \\[5pt]
T=\frac{\pi}{2}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\langle i\rangle=\frac{1}{\frac{\pi}{2}}\int_0^{{\frac{\pi}{2}}}2\operatorname{sen}4t\;dt \\[5pt]
\langle i\rangle=\frac{2}{\pi}.2\int_0^{{\frac{\pi}{2}}}\operatorname{sen}4t\;dt \\[5pt]
\langle i\rangle=\frac{4}{\pi}\int_0^{{\frac{\pi}{2}}}\operatorname{sen}4t\;dt
\end{gather}
\]
Integral de
\( \displaystyle \int_0^{{\frac{\pi}{2}}}\operatorname{sen}4t\;dt \)
fazendo a mudança de variável
para t = 0
temos u = 0
para \( t=\dfrac{\pi}{2} \)
temos \( u=4\times\dfrac{\pi}{2}=2\pi \)
fazendo a mudança de variável
\[
\begin{array}{l}
u=4t\\[5pt]
\dfrac{du}{dt}=4\Rightarrow dt=\dfrac{du}{4}
\end{array}
\]
fazendo a mudança dos extremos de integração
para t = 0
temos u = 0
para \( t=\dfrac{\pi}{2} \)
temos \( u=4\times\dfrac{\pi}{2}=2\pi \)
\[
\begin{split}
\int_0^{{\frac{\pi}{2}}}\operatorname{sen}4t\;dt &=\int_0^{{2\pi}}\operatorname{sen}u\frac{du}{4}=\left.-{\frac{1}{4}}\;\cos u\;\right|_{\;0}^{\;2\pi}= \\[5pt]
&=-\frac{1}{4}\;\left(\cos2\pi-\cos 0\right)=-{\frac{1}{4}}\;(1-1)=0
\end{split}
\]
\[
\begin{gather}
\langle i\rangle=\frac{4}{\pi}.0
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{\langle i\rangle=0}
\end{gather}
\]
b) O valor eficaz de uma grandeza que oscila proporcionalmente ao seno ou cosseno é dado por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{f_{ef}=\left[\frac{1}{T}\int_0^Tf(t)^2\;dt\right]^{1/2}}
\end{gather}
\]
substituindo o quadrado da equação dada no problema
\[
\begin{gather}
i_{ef}=\left[\frac{1}{T}\int_0^T2^2\operatorname{sen}^24t\;dt\right]^{1/2}
\end{gather}
\]
substituindo o período de oscilação
\[
\begin{gather}
i_{ef}=\left[\frac{1}{\frac{\pi}{2}}\int_0^{{\frac{\pi}{2}}}4\operatorname{sen}^24t\;dt\right]^{1/2} \\[5pt]
i_{ef}=\left[\frac{2}{\pi}.4\int_0^{{\frac{\pi}{2}}}\operatorname{sen}^24t\;dt\right]^{1/2} \\[5pt]
i_{ef}=\left[\frac{8}{\pi}\int_0^{{\frac{\pi}{2}}}\operatorname{sen}^24t\;dt\right]^{1/2}
\end{gather}
\]
Integral de
\( \displaystyle \int_0^{{\frac{\pi}{2}}}\operatorname{sen}^24t\;dt \)
fazendo a substituição \( \operatorname{sen}^2x=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\cos 2x \), com x = 4t
para t = 0
temos u = 0
para \( t=\frac{\pi}{2} \)
temos \( u=8.\frac{\pi}{2}=4\pi \)
fazendo a substituição \( \operatorname{sen}^2x=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\cos 2x \), com x = 4t
\[
\begin{gather}
\int_0^{{\frac{\pi}{2}}}\operatorname{sen}^24t\;dt=\int_0^{{\frac{\pi}{2}}}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos2.4t\right)\;dt=\frac{1}{2}\left(\int_0^{{\frac{\pi}{2}}}dt-\int_0^{{\frac{\pi}{2}}}\cos 8t\;dt\right)
\end{gather}
\]
na 2.ª integral entre parênteses fazendo a mudança de variável
\[
\begin{array}{l}
u=8t \\[5pt]
\dfrac{du}{dt}=8\Rightarrow dt=\dfrac{du}{8}
\end{array}
\]
fazendo a mudança dos extremos de integração
para t = 0
temos u = 0
para \( t=\frac{\pi}{2} \)
temos \( u=8.\frac{\pi}{2}=4\pi \)
\[
\begin{split}
\int_0^{{\frac{\pi}{2}}}\operatorname{sen}^24t\;dt & =\frac{1}{2}\left(\left.u\;\right|_{\;0}^{\;\frac{\pi}{2}}-\int_0^{{4\pi}}\cos u\frac{du}{8}\right)= \\[5pt]
& =\frac{1}{2}\left[\left.u\;\right|_{\;0}^{\;\frac{\pi}{2}}-\frac{1}{8}\left(\left.\operatorname{sen}u\;\right|_{\;0}^{\;4\pi}\right)\right]= \\[5pt]
& =\frac{1}{2}\left[\frac{\pi}{2}-0-\frac{1}{8}\left(\operatorname{sen}4\pi-\operatorname{sen}0\right)\right]= \\[5pt]
& =\frac{1}{2}\left[\frac{\pi}{2}-\frac{1}{8}.0\right]=\frac{\pi}{4}
\end{split}
\]
\[
\begin{gather}
i_{ef}=\left[\frac{8}{\pi}\times\frac{\pi}{4}\right]^{1/2}\\[5pt]
i_{ef}=\left[2\right]^{1/2}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{i_{ef}=\sqrt{2}=1,41\;\mathrm A}
\end{gather}
\]
publicidade