Mostre que o valor médio da tensão, aplicada a um elemento de um circuito, que tenha sua variação
proporcional ao seno ou cosseno é igual à zero. Mostre que o valor eficaz da tensão é igual à
\( \frac{\sqrt{2}}{2}V_m \),
onde Vm é o valor instantâneo máximo da tensão aplicada.
Solução:
Vamos escrever a tensão instantânea proporcional ao seno
\[
\begin{gather}
V(t)=V_m\operatorname{sen}\omega t \tag{I}
\end{gather}
\]
O valor médio de uma função é dado por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\langle f(t)\rangle=\frac{1}{T}\int_0^Tf(t)\;dt} \tag{II}
\end{gather}
\]
substituindo a tensão (I) em (II), fazendo f(t) = V(t)
\[
\begin{gather}
\langle V\rangle=\frac{1}{T}\int_0^TV_m\operatorname{sen}\omega t\;dt
\end{gather}
\]
O período de oscilação é dado por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{T=\frac{2\pi}{\omega}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\langle V\rangle=\frac{1}{\frac{2\pi}{\omega}}\int_0^{{\frac{2\pi}{\omega}}}V_m\operatorname{sen}\omega t\;dt \\[5pt]
\langle V\rangle=\frac{\omega}{2\pi}\int_0^{{\frac{2\pi}{\omega}}}V_m\operatorname{sen}\omega t\;dt
\end{gather}
\]
sendo o valor da tensão instantânea máxima (Vm) constante ela pode “sair” da integral
\[
\begin{gather}
\langle V\rangle=\frac{V_m\omega}{2\pi}\int_0^{{\frac{2\pi}{\omega}}}\operatorname{sen}\omega t\;dt
\end{gather}
\]
Integral de
\( \displaystyle \int_0^{{\frac{2\pi}{\omega_0}}}\operatorname{sen}\omega t\;dt \)
fazendo a mudança de variável
\[
\begin{array}{l}
u=\omega t \\[5pt]
\dfrac{du}{dt}=\omega \Rightarrow dt=\dfrac{du}{\omega}
\end{array}
\]
fazendo a mudança dos extremos de integração
para
t = 0
temos
u = 0
para
\( t=\dfrac{2\pi}{\omega} \)
temos
\( u=\cancel{\omega} \dfrac{2\pi}{\cancel{\omega}}=2\pi \)
\[
\begin{align}
\int_0^{2\pi}\operatorname{sen}\omega t\;dt & =\int_0^{{2\pi}}\operatorname{sen}u\frac{du}{\omega}=\left.-\cos u\;\right|_{\;0}^{\;2\pi}= \\[5pt]
& =-\left(\cos 2\pi-\cos 0\right)=-(1-1)=0
\end{align}
\]
\[
\begin{gather}
\langle V\rangle=\frac{V_m\omega}{2\pi}\times 0
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{\langle V\rangle=0}
\end{gather}
\]
O valor eficaz de uma grandeza que oscila proporcionalmente ao seno ou cosseno é dado por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{f_{ef}=\left[\frac{1}{T}\int_0^Tf(t)^2\;dt\right]^{1/2}} \tag{III}
\end{gather}
\]
substituindo o quadrado da equação (I) na equação (III)
\[
\begin{gather}
V_{ef}=\left[\frac{1}{T}\int_0^TV_m^2\operatorname{sen}^2\omega t\;dt\right]^{1/2}
\end{gather}
\]
substituindo o período de oscilação
\[
\begin{gather}
V_{ef}=\left[\frac{1}{\frac{2\pi}{\omega}}\int_0^{{\frac{2\pi}{\omega}}}V_m^2\operatorname{sen}^2\omega t\;dt\right]^{1/2}
\end{gather}
\]
sendo o valor da tensão instantânea máxima (Vm) constante ela pode “sair” da integral
\[
\begin{gather}
V_{ef}=\left[\frac{V_m^2\omega}{2\pi}\int_0^{{\frac{2\pi}{\omega}}}\operatorname{sen}^2\omega t\;dt\right]^{1/2}
\end{gather}
\]
Integral de
\( \displaystyle \int_0^{{\frac{2\pi}{\omega}}}\operatorname{sen}^2\omega t\;dt \)
fazendo a substituição
\( \operatorname{sen}^2x=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\cos 2x \),
com
\( x=\omega t \)
\[
\begin{gather}
\int_0^{{\frac{2\pi}{\omega}}}\operatorname{sen}^2\omega t\;dt=\int_0^{{\frac{2\pi}{\omega}}}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos 2\omega t\right)\;dt=\frac{1}{2}\left(\int_0^{{\frac{2\pi}{\omega}}}dt-\int_0^{{\frac{2\pi}{\omega}}}\cos 2\omega t\;dt\right)
\end{gather}
\]
na 2.ª integral entre parênteses fazendo a mudança de variável
\[
\begin{array}{l}
u=\omega t \\[5pt]
\dfrac{du}{dt}=\omega \Rightarrow dt=\dfrac{du}{\omega}
\end{array}
\]
fazendo a mudança dos extremos de integração
para
t = 0
temos
u = 0
para
\( t=\dfrac{2\pi}{\omega} \)
temos
\( u=\cancel{\omega} \dfrac{2\pi}{\cancel{\omega}}=2\pi \)
\[
\begin{align}
\int_0^{{\frac{2\pi}{\omega}}}\operatorname{sen}^2\omega t\;dt & =\frac{1}{2}\left(\left. u\;\right|_{\;0}^{\;\frac{2\pi}{\omega}}-\int_0^{{2\pi}}\cos u\frac{du}{\omega}\right)= \\[5pt]
& =\frac{1}{2}\left[\left. u\;\right|_{\;0}^{\;\frac{2\pi}{\omega}}-\frac{1}{\omega}\left(\left.\operatorname{sen}u\;\right|_{\;0}^{\;2\pi}\right)\right] =\\[5pt]
& =\frac{1}{2}\left[\frac{2\pi}{\omega}-0-\frac{1}{\omega }\left(\operatorname{sen}2\pi-\operatorname{sen}0\right)\right]= \\[5pt]
& =\frac{1}{2}\left[\frac{2\pi}{\omega}-\frac{1}{\omega}\times 0\right]=\frac{\pi}{\omega}
\end{align}
\]
\[
\begin{gather}
V_{ef}=\left[\frac{V_m^2\omega}{2\pi}\frac{\pi}{\omega}\right]^{1/2} \\[5pt]
V_{ef}=\left[\frac{V_m^2}{2}\right]^{1/2} \\[5pt]
V_{ef}=V_m\left[\frac{1}{\sqrt{2}}\right] \\[5pt]
V_{ef}=V_m\left[\frac{1}{\sqrt{2}}\times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\right]
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{V_{ef}=\frac{\sqrt{2}}{2}V_m}
\end{gather}
\]