Determinar o valor médio da energia elétrica, da energia magnética e da energia total de um circuito
LC com oscilações livres.
Solução:
O valor médio de uma função é dado por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\langle f(t)\rangle=\frac{1}{T}\int_0^Tf(t)\;dt} \tag{I}
\end{gather}
\]
A carga instantânea é dada por
\[
\begin{gather}
q(t)=q_0\cos(\omega_0t+\phi) \tag{II}
\end{gather}
\]
A Energia Elétrica instantânea armazenada em um capacitor é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{U_{\small C}=\frac{q^2}{2 C}} \tag{III}
\end{gather}
\]
substituindo a equação (II) na equação (III)
\[
\begin{gather}
U_{\small C}=\frac{q_0^2\cos^2(\omega_0t+\phi)}{2 C}
\end{gather}
\]
usando a equação (I) o valor médio da Energia Elétrica será
\[
\begin{gather}
\langle U_{\small{CP}}\rangle=\frac{1}{T}\int_0^T{\frac{q_0^2\cos^2(\omega_0t+\phi)}{2 C}}\;dt
\end{gather}
\]
o fator
\( \frac{q_0^2}{2 C} \)
é constante e pode “sair” da integral.
O período de oscilação é dado por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{T=\frac{2\pi}{\omega_0}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\langle U_{\small C}\rangle=\frac{q_0^2}{2 C}\frac{1}{\dfrac{2\pi}{\omega_0}}\int_0^{{\frac{2\pi}{\omega_0}}}\cos^2(\omega_0t+\phi)\;dt \\[5pt]
\langle U_{\small C}\rangle=\frac{q_0^2}{2 C}\frac{\omega_0}{2\pi}\int_0^{{\frac{2\pi}{\omega_0}}}\cos^2(\omega_0t+\phi)\;dt
\end{gather}
\]
Integral de
\( \displaystyle \int_0^{{\frac{2\pi}{\omega_0}}}\cos^2(\omega_0t+\phi)\;dt \)
fazendo a substituição
\( \cos^2x=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos 2x \),
com
\( x=\omega_0t+\phi \)
\[
\begin{align}
\int_0^{{\frac{2\pi}{\omega_0}}}\cos^2(\omega_0t+\phi)\;dt & =\int_0^{{\frac{2\pi}{\omega_0}}}\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos 2(\omega_0t+\phi)\right)\;dt= \\
& =\frac{1}{2}\left(\int_0^{{\frac{2\pi}{\omega_0}}}dt+\int_0^{{\frac{2\pi}{\omega_0}}}\cos 2(\omega_0t+\phi)\;dt\right)
\end{align}
\]
na 2.ª integral entre parênteses fazendo a mudança de variável
\[
\begin{array}{l}
u=2(\omega_0t+\phi) \\[5pt]
\dfrac{du}{dt}=2\omega_0\Rightarrow dt=\dfrac{du}{2\omega_0}
\end{array}
\]
fazendo a mudança dos extremos de integração
para
t = 0
temos
\( u=2\phi \)
para
\( t=\dfrac{2\pi}{\omega_0} \)
temos
\( u=2\left(\cancel{\omega_0}\dfrac{2\pi}{\cancel{\omega_0}}+\phi \right)=4\pi +2\phi \)
\[ u=2\left(\cancel{\omega_0}\dfrac{2\pi}{\cancel{\omega_0}}+\phi \right)=4\pi +2\phi \]
\[
\begin{align}
\int_0^{{\frac{2\pi}{\omega_0}}}\cos^2(\omega_0t+\phi)\;dt & =\frac{1}{2}\left(\left.u\;\right|_{\;0}^{\;\frac{2\pi}{\omega_0}}+\int_{{2\phi }}^{{4\pi +2\phi}}\cos u\frac{du}{2\omega_0}\right)= \\[5pt]
& =\frac{1}{2}\left[\left.u\;\right|_{\;0}^{\;\frac{2\pi}{\omega_0}}+\frac{1}{2\omega_0}\left(\left.\operatorname{sen}u\;\right|_{\;2\phi }^{\;4\pi +2\phi}\right)\right]= \\[5pt]
& =\frac{1}{2}\left[\frac{2\pi}{\omega_0}-0+\frac{1}{2\omega_0}\left(\operatorname{sen}(4\pi+2\phi)-\operatorname{sen}2\phi\right)\right]= \\[5pt]
& =\frac{1}{\omega_0}\frac{1}{2}\left[2\pi +\frac{1}{2}\left(\operatorname{sen}(4\pi+2\phi)-\operatorname{sen}2\phi \right)\right]
\end{align}
\]
usando a propriedade
\( \operatorname{sen}(a+b)=\operatorname{sen}a\cos b+\operatorname{sen}b\cos a \text{,}\)
\[ \operatorname{sen}(a+b)=\operatorname{sen}a\cos b+\operatorname{sen}b\cos a \]
\[
\begin{align}
\int_0^{{\frac{2\pi}{\omega_0}}}\cos^2(\omega_0t+\phi)\;dt & =\frac{1}{\omega_0}\frac{1}{2}\left[2\pi+\frac{1}{2}\left(\underbrace{\operatorname{sen}4\pi}_0\cos 2\phi+\operatorname{sen}2\phi \underbrace{\cos 4\pi}_1-\operatorname{sen}2\phi \right)\right]= \\[5pt]
& =\frac{1}{\omega_0}\frac{1}{2}\left[2\pi+\frac{1}{2}\underbrace{\left(\operatorname{sen}2\phi-\operatorname{sen}2\phi \right)}_0\right]=\frac{1}{\cancel{2}}\frac{\cancel{2}\pi}{\omega_0}=\frac{\pi}{\omega_0}
\end{align}
\]
\[
\begin{gather}
\langle U_{\small C}\rangle=\frac{q_0^2}{2 C}\frac{\cancel{\omega_0}}{2\cancel{\pi}}\frac{\cancel{\pi}}{\cancel{\omega_0}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{\langle U_{\small C}\rangle=\frac{q_0^2}{4 C}}
\end{gather}
\]
A Energia Magnética instantânea armazenada no indutor é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{U_{\small L}=\frac{Li^2}{2}} \tag{IV}
\end{gather}
\]
a corrente é obtida derivando a equação (II) em relação ao tempo
\[
\begin{gather}
i=\frac{dq}{dt}
\end{gather}
\]
Derivada de
\( q=q_0\cos(\omega_0t+\phi) \)
a função
q(
t) é uma função composta cuja derivada, pela regra da cadeia, é do tipo
\[
\begin{gather}
\frac{dq[u(t)]}{dt}=\frac{dq}{du}\frac{du}{dt}
\end{gather}
\]
com
\( q(u)=q_0\cos u \)
e
\( u(t)=\omega_0t+\phi \),
assim as derivadas serão
\[
\begin{array}{l}
\dfrac{dq}{du}=-q_0\operatorname{sen}u=-q_0\operatorname{sen}(\omega_0t+\phi) \\[5pt]
\dfrac{du}{dt}=\omega_0
\end{array}
\]
\[
\begin{align}
\frac{dq}{dt} & =q_0\left[-\operatorname{sen}(\omega_0t+\phi)\omega_0\right]= \\[5pt]
& =-\omega_0q_0\operatorname{sen}(\omega_0t+\phi)
\end{align}
\]
\[
\begin{gather}
i=-\omega_0q_0\operatorname{sen}(\omega_0t+\phi) \tag{V}
\end{gather}
\]
substituindo a equação (V) na equação (IV)
\[
\begin{gather}
U_{\small L}=\frac{L\omega_0^2q_0^2\operatorname{sen}^2(\omega_0t+\phi)}{2}
\end{gather}
\]
usando a equação (I) o valor médio da Energia Magnética será
\[
\begin{gather}
\langle U_{\small L}\rangle=\frac{1}{T}\int_0^T{\frac{L\omega_0^2q_0^2\operatorname{sen}^2(\omega_0t+\phi)}{2}}\;dt
\end{gather}
\]
o fator
\( \frac{L\omega_0^2q_0^2}{2} \)
é constante e pode “sair” da integral e usando a mesma equação para o período (T) acima
\[
\begin{gather}
\langle U_{\small L}\rangle=\frac{L\omega_0^2q_0^2}{2}\frac{1}{\dfrac{2\pi}{\omega_0}}\int_0^{{\frac{2\pi}{\omega_0}}}\operatorname{sen}^2(\omega_0t+\phi)\;dt \\[5pt]
\langle U_{\small L}\rangle=\frac{L\omega_0^2q_0^2}{2}\frac{\omega_0}{2\pi}\int_0^{{\frac{2\pi}{\omega_0}}}\operatorname{sen}^2(\omega_0t+\phi)\;dt
\end{gather}
\]
Integral de
\( \displaystyle \int_0^{{\frac{2\pi}{\omega_0}}}\operatorname{sen}^2(\omega_0t+\phi)\;dt \)
fazendo a substituição
\( \operatorname{sen}^2x=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos 2x \),
com
\( x=\omega_0t+\phi \)
\[
\begin{align}
\int_0^{{\frac{2\pi}{\omega_0}}}\operatorname{sen}^2(\omega_0t+\phi)\;dt & =\int_0^{{\frac{2\pi}{\omega_0}}}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos2(\omega_0t+\phi)\right)\;dt = \\[5pt]
& =\frac{1}{2}\left(\int_0^{{\frac{2\pi}{\omega_0}}}dt-\int_0^{{\frac{2\pi}{\omega_0}}}\cos 2(\omega_0t+\phi)\;dt\right)
\end{align}
\]
na 2.ª integral entre parênteses fazendo a mudança de variável
\[
\begin{array}{l}
u=2(\omega_0t+\phi) \\[5pt]
\dfrac{du}{dt}=2\omega_0\Rightarrow dt=\dfrac{du}{2\omega_0}
\end{array}
\]
fazendo a mudança dos extremos de integração
para
t = 0
temos
\( u=2\phi \)
para
\( t=\dfrac{2\pi}{\omega_0} \)
temos
\( u=2\left(\cancel{\omega_0}\dfrac{2\pi}{\cancel{\omega_0}}+\phi \right)=4\pi +2\phi \)
\[ u=2\left(\cancel{\omega_0}\dfrac{2\pi}{\cancel{\omega_0}}+\phi \right)=4\pi +2\phi \]
\[
\begin{align}
\int_0^{{\frac{2\pi}{\omega_0}}}\operatorname{sen}^2(\omega_0t+\phi)\;dt & =\frac{1}{2}\left(\left.u\;\right|_{\;0}^{\;\frac{2\pi}{\omega_0}}-\int_{{2\phi }}^{{4\pi +2\phi }}\cos u\frac{du}{2\omega_0}\right)= \\[5pt]
& =\frac{1}{2}\left[\left.u\;\right|_{\;0}^{\;\frac{2\pi}{\omega_0}}-\frac{1}{2\omega_0}\left(\left.\operatorname{sen}u\;\right|_{\;2\phi }^{\;4\pi +2\phi}\right)\right]= \\[5pt]
& =\frac{1}{2}\left[\frac{2\pi}{\omega_0}-0-\frac{1}{2\omega_0}\left(\operatorname{sen}(4\pi+2\phi)-\operatorname{sen}2\phi\right)\right]= \\[5pt]
& =\frac{1}{\omega_0}\frac{1}{2}\left[2\pi -\frac{1}{2}\left(\operatorname{sen}(4\pi+2\phi)-\operatorname{sen}2\phi \right)\right]
\end{align}
\]
usando a propriedade
\( \operatorname{sen}(a+b)=\operatorname{sen}a\cos b+\operatorname{sen}b\cos a \text{,}\)
\[ \operatorname{sen}(a+b)=\operatorname{sen}a\cos b+\operatorname{sen}b\cos a \]
\[
\begin{align}
\int_0^{{\frac{2\pi}{\omega_0}}}\operatorname{sen}^2(\omega_0t+\phi)\;dt & =\frac{1}{\omega_0}\frac{1}{2}\left[2\pi-\frac{1}{2}\left(\underbrace{\operatorname{sen}4\pi}_0\cos 2\phi+\operatorname{sen}2\phi \underbrace{\cos 4\pi}_1-\operatorname{sen}2\phi \right)\right]= \\[5pt]
& =\frac{1}{\omega_0}\frac{1}{2}\left[2\pi-\frac{1}{2}\underbrace{\left(\operatorname{sen}2\phi-\operatorname{sen}2\phi \right)}_0\right]=\frac{1}{\cancel{2}}\frac{\cancel{2}\pi}{\omega_0}=\frac{\pi}{\omega_0}
\end{align}
\]
\[
\begin{gather}
\langle U_{\small L}\rangle=\frac{L\omega_0^2q_0^2}{2}\frac{\cancel{\omega_0}}{2\cancel{\pi}}\frac{\cancel{\pi}}{\cancel{\omega_0}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{\langle U_{\small L}\rangle=\frac{L\omega_0^2q_0^2}{4}}
\end{gather}
\]
A Energia Total será dada por
\[
\begin{gather}
\langle U_{\small T}\rangle=\langle U_{\small C}\rangle +\langle U_{\small L}\rangle \\[5pt]
\langle U_{\small T}\rangle=\frac{q_0^2}{4 C}+\frac{L\omega_0^2q_0^2}{4}
\end{gather}
\]
fazendo a substituição
\( \omega_0^2=\frac{1}{LC} \)
\[
\begin{gather}
\langle U_{\small T}\rangle=\frac{q_0^2}{4 C}+\frac{1}{\cancel{L}C}\frac{\cancel{L}q_0^2}{4} \\[5pt]
\langle U_{\small T}\rangle=\frac{q_0^2}{4 C}+\frac{q_0^2}{4 C}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{\langle U_{\small T}\rangle=\frac{q_0^2}{2 C}}
\end{gather}
\]