Um circuito elétrico LC é composto por um indutor de 2 mH e um capacitor de 0,8 μF e é
alimentado por uma fonte de tensão alternada V = 9 cos 2.104 t (volts). A carga
inicial do capacitor é de 320 μC e a corrente no circuito é nula, determine:
a) A variação da carga no capacitor;
b) A variação da corrente no circuito.
Dados do problema:
- Indutor: L = 2 mH = 2.10−3 H;;
- Capacitor: C = 0,8 μF = 8×10−7 F;
- f.e.m.: V = 9 cos 2.104 t (volts);
- Carga inicial no capacitor (t = 0): q0 = 320 μC = 3,2×10−4 C;
- Corrente inicial no circuito (t = 0): i0 = 0.
Esquema do problema:
Admitimos que inicialmente o capacitor está carregado com carga máxima
(qmáx = q0) e a corrente no circuito é nula
(i0 = 0). A partir deste instante a fonte alimenta o circuito com uma uma corrente que
varia senoidalmente, a carga no capacitor diminui enquanto a corrente no circuito aumenta (Figura 1).
Com isto escrevemos as Condições Iniciais do problema:
\[
\begin{gather}
q(0)=3,2\times 10^{-4}\;\text C
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
i_0=\frac{dq(0)}{dt}=0
\end{gather}
\]
Solução:
a) Aplicando a
Lei das Malhas de Kirchhoff (Figura 2)
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\sum_{i=1}^nV_i=0} \tag{I}
\end{gather}
\]
Entre os pontos A e B temos uma d.d.p. no indutor dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{V_{\small L}=L\frac{di}{dt}} \tag{II}
\end{gather}
\]
e entre os pontos C e D a d.d.p. no capacitor é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{V_{\small C}=\frac{q}{C}} \tag{III}
\end{gather}
\]
estas devem ser igual a f.e.m. fornecida pela fonte, substituindo as equações (II) e (III)
na equação (I)
\[
\begin{gather}
V_{\small L}+V_{\small C}-V=0 \\[5pt]
V_{\small L}+V_{\small C}=V \\[5pt]
L\frac{di}{dt}+\frac{q}{C}=V
\end{gather}
\]
como corrente é a variação da carga no tempo,
\( i=\dfrac{dq}{dt} \)
\[
\begin{gather}
L\frac{d}{dt}\left(\frac{dq}{dt}\right)+\frac{q}{C}=V \\[5pt]
L\frac{d^2q}{dt^2}+\frac{q}{C}=V
\end{gather}
\]
esta é uma Equação Diferencial Ordinária Não-Homogênea de 2.ª Ordem. Dividindo toda a equação
pela indutância L
\[
\begin{gather}
\frac{d^2q}{dt^2}+\frac{1}{LC}q=\frac{V}{L}
\end{gather}
\]
substituindo os valores dados no problema
\[
\begin{gather}
\frac{d^2q}{dt^2}+\frac{1}{2\times 10^{-3}\times 8\times 10^{-7}}q=\frac{9}{2\times 10^{-3}}\cos 2\times 10^4t \\[5pt]
\frac{d^2q}{dt^2}+\frac{1}{16\times 10^{-10}}q=4,5\times 10^3\cos 2\times 10^4t \\[5pt]
\frac{d^2q}{dt^2}+\frac{1\times 10^{10}}{16}q=4,5\times 10^3\cos 2\times 10^4t \\[5pt]
\frac{d^2q}{dt^2}+6,25\times 10^{8}q=4,5\times 10^3\cos 2\times 10^4t \tag{IV}
\end{gather}
\]
a solução desta equação será
\[
\begin{gather}
q=q_h+q_p \tag{V}
\end{gather}
\]
onde qh é a solução da equação homogênea, igualando a zero, e qp é a
solução particular levando em consideração a função do lado direito da igualdade (no caso a f.e.m.
aplicada ao circuito).
- Solução da equação homogênea
\[
\begin{gather}
\frac{d^2q_h}{dt^2}+6,25\times 10^{8}q_h=0 \tag{VI}
\end{gather}
\]
a solução deste tipo de equação é encontrada fazendo-se as substituições
\[
\begin{gather}
q_h=\operatorname{e}^{\lambda t} \\[5pt]
\frac{dq_h}{dt}=\lambda\operatorname{e}^{\lambda t} \\[5pt]
\frac{d^2q_h}{dt^2}=\lambda^2\operatorname{e}^{\lambda t}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\lambda^2\operatorname{e}^{\lambda t}+6,25\times 10^{8}\operatorname{e}^{\lambda t}=0 \\[5pt]
\operatorname{e}^{\lambda t}\left(\lambda^2+6,25\times 10^{8}\right)=0 \\[5pt]
\lambda^2+6,25\times 10^{8}=\frac{0}{\operatorname{e}^{\lambda t}} \\[5pt]
\lambda^2+6,25\times 10^{8}=0
\end{gather}
\]
esta é a Equação Característica que tem como solução
\[
\begin{gather}
\lambda^2=-6,25\times 10^{8} \\[5pt]
\lambda=\sqrt{-6,25\times 10^{8}\;} \\[5pt]
\lambda_{1,2}=\pm 2,5\times 10^4\;\mathrm i
\end{gather}
\]
onde
\( \mathrm i=\sqrt{-1\;} \),
a solução da equação (IV) é escrita como
\[
\begin{gather}
q_h=C_1\operatorname{e}^{\lambda_1t}+C_2\operatorname{e}^{\lambda_2t} \\[5pt]
q_h=C_1\operatorname{e}^{2,5\times 10^4\;\operatorname{i}t}+C_2\operatorname{e}^{-2,5\times 10^4\;\operatorname{i}t}
\end{gather}
\]
onde C1 e C2 são constantes de integração, usando a
Relação de Euler
\( \operatorname{e}^{\operatorname{i}\theta}=\cos\theta +\operatorname{i}\operatorname{sen}\theta \)
\[
\begin{gather}
q_h=C_1\left(\cos 2,5\times 10^4t+\operatorname{i}\operatorname{sen}2,5\times 10^4t\right)+C_2\left(\cos 2,5\times 10^4t-\operatorname{i}\operatorname{sen}2,5\times 10^4t\right) \\[5pt]
q_h=C_1\cos 2,5\times 10^4t+\mathrm iC_1\operatorname{sen}2,5\times 10^4t+C_2\cos 2,5\times 10^4t-\mathrm iC_2\operatorname{sen}2,5\times 10^4t
\end{gather}
\]
coletando os termos em seno e cosseno
\[
\begin{gather}
q_h=\left(C_1+C_2\right)\cos 2,5\times 10^4t+\left(\mathrm iC_1-\mathrm iC_2\right)\operatorname{sen}2,5\times 10^4t \\[5pt]
q_h=\left(C_1+C_2\right)\cos 2,5\times 10^4t+\mathrm i\left(C_1-C_2\right)\operatorname{sen}2,5\times 10^4t
\end{gather}
\]
definindo duas novas constantes α e β em termos de C1 e
C2
\[
\begin{gather}
\alpha \equiv C_1+C_2
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\beta \equiv\mathrm i(C_1-C_2)
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
q_h=\alpha \cos 2,5\times 10^4t+\beta \operatorname{sen}2,5\times 10^4t \tag{VII}
\end{gather}
\]
multiplicando e dividindo esta equação por
\( \sqrt{\alpha^2+\beta^2\;} \)
\[
\begin{gather}
q_h=\left(\alpha \cos 2,5\times 10^4t+\beta\operatorname{sen}2,5\times 10^4t\right)\frac{\sqrt{\alpha^2+\beta^2\;}}{\sqrt{\alpha^2+\beta^2\;}} \\[5pt]
q_h=\sqrt{\alpha^2+\beta^2\;}\left(\frac{\alpha}{\sqrt{\alpha^2+\beta^2\;}}\cos 2,5\times 10^4t+\frac{\beta}{\sqrt{\alpha^2+\beta^2\;}}\operatorname{sen}2,5\times 10^4t\right)
\end{gather}
\]
fazendo as seguintes definições
\[
\begin{gather}
A\equiv\sqrt{\alpha^2+\beta^2\;}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\cos\varphi\equiv\frac{\alpha}{\sqrt{\alpha^2+\beta^2\;}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\operatorname{sen}\varphi\equiv\frac{\beta}{\sqrt{\alpha^2+\beta^2\;}}
\end{gather}
\]
temos
\[
\begin{gather}
q_h=A(\cos\varphi\cos 2,5\times 10^4t+\operatorname{sen}\varphi\operatorname{sen}2,5\times 10^4t)
\end{gather}
\]
Observação: Lembrando da seguinte propriedade trigonométrica
\[
\begin{gather}
\cos(a-b)=\cos a\cos b+\operatorname{sen}a\operatorname{sen}b
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
q_h=A\cos(2,5\times 10^4t-\varphi) \tag{VIII}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\frac{d^2q_p}{dt^2}+6,25\times 10^{8} q_p=4,5\times 10^3 \cos\;2\times 10^4t \tag{IX}
\end{gather}
\]
A solução deste tipo de equação é encontrada tomando-se a equação igual à função do lado direito da
igualdade. Como neste caso o lado direito é uma função cosseno, a solução particular deve ser uma função
formada por uma combinação de senos e cossenos, fazendo as seguintes substituições, onde
D1 e D2 são uma constante
\[
\begin{gather}
q_p=D_1\cos 2\times 10^4t+D_2\operatorname{sen}2\times 10^4t \tag{X}
\end{gather}
\]
cada um dos termos da função
qp(t) é uma função composta cuja derivada é dada pela
Regra da Cadeia
\[
\begin{gather}
\frac{dq_p[u(t)+v(t)]}{dt}=\frac{dq_1}{du}\frac{du}{dt}+\frac{dq_2}{dv}\frac{dv}{dt}
\end{gather}
\]
assim as derivadas serão
\[
\begin{array}{l}
q_1=D_1\cos u \\[5pt]
\dfrac{dq_1}{du}=-D_1\operatorname{sen}u=-D_1\operatorname{sen}2\times 10^4t \\[10pt]
q_2=D_2\operatorname{sen}v \\[5pt]
\dfrac{dq_2}{du}=D_2\cos v=D_2\cos 2\times 10^4t \\[10pt]
u(t)=v(t)=2\times 10^4t \\[5pt]
\dfrac{du}{dt}=\dfrac{dv}{dt}=2\times 10^4
\end{array}
\]
\[
\begin{gather}
\frac{dq_p}{dt}=-2\times 10^4D_1\operatorname{sen}2\times 10^4t+2\times 10^4D_2\cos2\times 10^4t
\end{gather}
\]
a derivada primeira
\( \left(\frac{dq_p}{dt}\right) \)
é outra função composta, usando a
Regra da Cadeia
\[
\begin{array}{l}
q_3=-2\times 10^4D_1\operatorname{sen}u \\[5pt]
\dfrac{dq_3}{du}=-D_1\cos u=-D_1\cos 2\times 10^4t \\[10pt]
q_4=2\times 10^4D_2\cos v \\[5pt]
\dfrac{dq_4}{du}=-2\times 10^4D_2\operatorname{sen}v=-2\times 10^4D_2\operatorname{sen}2\times 10^4t \\[10pt]
u(t)=v(t)=2\times 10^4t \\[5pt]
\dfrac{du}{dt}=\dfrac{dv}{dt}=2\times 10^4
\end{array}
\]
\[
\begin{gather}
\frac{d^2q_p}{dt^2}=-2\times 10^4\times 2\times 10^4D_1\cos 2\times 10^4t-2\times 10^4\times 2\times 10^4D_2\operatorname{sen}2\times 10^4t \\[5pt]
\frac{d^2q_p}{dt^2}=-4\times 10^{8}D_1\cos 2\times 10^4t-4\times 10^{8}D_2\operatorname{sen}2\times 10^4t \tag{XI}
\end{gather}
\]
substituindo as equações (X) e (XI) na equação (IX)
\[
\begin{array}{l}
-4\times 10^{8}D_1\cos 2\times 10^4t-4\times 10^{8}D_2\operatorname{sen}2\times 10^4t\text{+} \\
\qquad\qquad \text{+}6,25\times 10^{8}(D_1\cos 2\times 10^4t+D_2\operatorname{sen}2\times 10^4t)=4,5\times 10^3\cos 2\times 10^4t \\[5pt]
-4\times 10^{8}D_1\cos 2\times 10^4t-4\times 10^{8}D_2\operatorname{sen}2\times 10^4t\text{+} \\
\qquad\qquad \text{+}6,25\times 10^{8}D_1\cos 2\times 10^4t+6,25\times 10^{8}D_2\operatorname{sen}2\times 10^4t=4,5\times 10^3\cos 2\times 10^4t \\[5pt]
(-4\times 10^{8}D_1+6,25\times 10^{8}D_1)\cos 2\times 10^4t+(-4\times 10^{8}D_2+6,25\times 10^{8}D_2)\operatorname{sen}2\times 10^4t\text{=} \\
\qquad\qquad \text{=}4,5\times 10^3\cos 2\times 10^4t \\[5pt]
2,15\times 10^{8}D_1\cos 2\times 10^4t+2,15\times 10^{8}D_2\operatorname{sen}2\times 10^4t=4,5\times 10^3\cos 2\times 10^4t+0\times \operatorname{sen}2\times 10^4t
\end{array}
\]
igualando os coeficientes dos termos em seno e cosseno obtermos as constantes D1 e
D2
\[
\begin{gather}
2,15\times 10^{8}D_1=4,5\times 10^3 \\[5pt]
2,15\times 10^{8}D_2=0
\end{gather}
\]
da primeira equação temos o valor de D1
\[
\begin{gather}
D_1=\frac{4,5\times 10^3}{2,15\times 10^{8}} \\[5pt]
D_1=2\times 10^{-5}
\end{gather}
\]
da segunda expresão temos o valor de D2
\[
\begin{gather}
D_2=\frac{0}{2,15\times 10^{8}} \\[5pt]
D_2=0
\end{gather}
\]
Assim a solução particular da equação (X) será
\[
\begin{gather}
q_p=2\times 10^{-5}\cos 2\times 10^4 t \tag{XII}
\end{gather}
\]
substituindo as equações (VIII) e (XII) na equação (V)
\[
\begin{gather}
q=A\cos(2,5\times 10^4t-\varphi)+2\times 10^{-5}\cos 2\times 10^4t \tag{XIII}
\end{gather}
\]
onde A e φ são constantes de integração determinadas pelas Condições Iniciais. Derivando
a equação (XIII) em relação ao tempo
Derivada de
\( q=A\cos(2,5\times 10^4t-\varphi)+2\times 10^{-5}\cos 2\times 10^4t \)
\( q=A\cos(2,5\times 10^4t-\varphi)+2\times 10^{-5}\cos 2\times 10^4t \)
cada um dos termos da função
q(
t) é uma função composta cuja derivada é dada pela
Regra da Cadeia
\[
\begin{gather}
\frac{dq[u(t)+v(t)]}{dt}=\frac{dq_h}{du}\frac{du}{dt}+\frac{dq_p}{dv}\frac{dv}{dt}
\end{gather}
\]
assim as derivadas serão
\[
\begin{array}{l}
q_h=A\cos u \\[5pt]
\dfrac{dq_h}{du}=-A\operatorname{sen}u=-A\operatorname{sen}(2,5\times 10^4t-\varphi) \\[10pt]
u(t)=2,5\times 10^4t-\varphi \\[5pt]
\dfrac{du}{dt}=2,5\times 10^4 \\[10pt]
q_p=2\times 10^{-5}\cos v \\[5pt]
\dfrac{dq_p}{dv}=-2\times 10^{-5}\operatorname{sen}v=-2\times 10^{-5}\operatorname{sen}2\times 10^4t \\[10pt]
v(t)=2\times 10^4t \\[5pt]
\dfrac{dv}{dt}=2\times 10^4
\end{array}
\]
\[
\begin{gather}
\frac{dq}{dt}=-2,5\times 10^4A\operatorname{sen}(2,5\times 10^4t-\varphi)-2\times 10^{-5}\times 2\times 10^4\operatorname{sen}2\times 10^4t \\[5pt]
\frac{dq}{dt}=-2,5\times 10^4A\operatorname{sen}(2,5\times 10^4t-\varphi)-0,4\operatorname{sen}2\times 10^4t \tag{XIV}
\end{gather}
\]
Substituindo a Condição Inicial para q(0) na equação (XIII)
\[
\begin{gather}
q(0)=3,2\times 10^{-4}=A\cos(2,5\times 10^4\times 0-\varphi)+2\times 10^{-5}\cos 2\times 10^4\times 0 \\[5pt]
3,2\times 10^{-4}=A\cos(-\varphi)+2\times 10^{-5}\cos 0
\end{gather}
\]
como o cosseno é uma função par temos
\( \cos\varphi=\cos(-\varphi) \)
e
\( \cos 0=1 \)
\[
\begin{gather}
3,2\times 10^{-4}-2\times 10^{-5}=A\cos\varphi \\[5pt]
A\cos\varphi=3,2\times 10^{-4}-0,2\times 10^{-4} \\[5pt]
A\cos\varphi=3\times 10^{-4} \tag{XV}
\end{gather}
\]
Substituindo a Condição Inicial para
\( \frac{dq(0)}{dt} \)
na equação (XIV)
\[
\begin{gather}
\frac{dq(0)}{dt}=0=-2,5\times 10^4A\operatorname{sen}(2,5\times 10^4\times 0-\varphi)-0,4\operatorname{sen}2\times 10^4\times 0 \\[5pt]
0=-2,5\times 10^4A\operatorname{sen}(-\varphi)-0,4\operatorname{sen}0
\end{gather}
\]
como o seno é uma função ímpar
\( \operatorname{sen}\varphi=-\operatorname{sen}(-\varphi) \)
e
\( \operatorname{sen}0=0 \)
\[
\begin{gather}
2,5\times 10^4A\operatorname{sen}\varphi=0 \tag{XVI}
\end{gather}
\]
isolando o valor de A na equação (XV)
\[
\begin{gather}
A=\frac{3\times 10^{-4}}{\cos\varphi} \tag{XVII}
\end{gather}
\]
e substituindo em (XVI)
\[
\begin{gather}
2,5\times 10^4\times \frac{3\times 10^{-4}}{\cos\varphi}\times \operatorname{sen}\varphi=0 \\[5pt]
\operatorname{tg}\varphi=0 \\[5pt]
\varphi=\operatorname{arc tg}(0) \\[5pt]
\varphi=0
\end{gather}
\]
substituindo o valor de φ em (XVII)
\[
\begin{gather}
A=\frac{3\times 10^{-4}}{\cos 0} \\[5pt]
A=\frac{3\times 10^{-4}}{1} \\[5pt]
A=3\times 10^{-4}
\end{gather}
\]
substituindo estas constantes na equação (XIII)
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{q(t)=3\times 10^{-4}\cos 2,5\times 10^4t+2\times 10^{-5}\cos 2\times 10^4t}
\end{gather}
\]
b) A corrente será dada pela derivada da carga em função do tempo
\[
\begin{gather}
i=\frac{dq}{dt}
\end{gather}
\]
a derivada é dada pela equação (XIV), substituindo as constantes A e φ obtidas acima
\[
\begin{gather}
i(t)=-2,5\times 10^4\times 3\times 10^{-4}\operatorname{sen}(2,5\times 10^4t-0)-0,4\operatorname{sen}2\times 10^4 t
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{i(t)=-7,5\operatorname{sen}2,5\times 10^4t-0,4\operatorname{sen}2\times 10^4t}
\end{gather}
\]
