Um circuito elétrico LC é composto por um indutor de 2 mH e um capacitor de 0,8 μF. A carga
inicial do capacitor é de 5 μC e a corrente no circuito é nula, determine:
a) A variação da carga no capacitor;
b) A variação da corrente no circuito;
c) Calcule a energia total armazenada no circuito;
d) O gráfico da variação da carga (q) em função do tempo (t).
Dados do problema:
- Indutor: L = 2 mH = 2×10−3 H;
- Capacitor: C = 0,8 μF = 8×10−7 F;
- Carga inicial no capacitor (t = 0): q0 = 5 μC = 5×10−6 C;
- Corrente inicial no circuito (t = 0): i0 = 0.
Esquema do problema:
Admitimos que inicialmente o capacitor está carregado com carga máxima
(qmáx = q0) e a corrente no circuito é nula
(i0 = 0). A partir deste instante começa a circular uma corrente, a carga no capacitor
diminui enquanto a corrente no circuito aumenta (Figura 1). Com isto escrevemos as
Condições Iniciais do problema:
\[
\begin{gather}
q(0)=5\times 10^{-6}\;\text C
\quad;\quad
i_0=\dfrac{dq(0)}{dt}=0
\end{gather}
\]
Solução:
a) Aplicando a
Lei das Malhas de Kirchhoff (Figura 2)
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\sum_{i=1}^nV_i=0} \tag{I}
\end{gather}
\]
Entre os pontos A e B temos uma d.d.p. no indutor, dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{V_{\small L}=L\frac{di}{dt}} \tag{II}
\end{gather}
\]
e entre os pontos C e D a d.d.p. no capacitor é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{V_{\small C}=\frac{q}{C}} \tag{III}
\end{gather}
\]
substituindo as equações (II) e (III) na equação (I)
\[
\begin{gather}
V_{\small L}+V_{\small C}=0 \\[5pt]
L\frac{di}{dt}+\frac{q}{C}=0
\end{gather}
\]
como corrente é a variação da carga no tempo,
\( q=\dfrac{dq}{dt} \),
reescrevemos
\[
\begin{gather}
L\frac{d}{dt}\left(\frac{dq}{dt}\right)+\frac{q}{C}=0 \\[5pt]
L\frac{d^2q}{dt^2}+\frac{q}{C}=0
\end{gather}
\]
esta é uma Equação Diferencial Ordinária Homogênea de 2.ª Ordem. Dividindo toda a equação pela
indutância L
\[
\begin{gather}
\frac{d^2q}{dt^2}+\frac{1}{LC}q=0
\end{gather}
\]
substituindo os valores dados no problema
\[
\begin{gather}
\frac{d^2q}{dt^2}+\frac{1}{2\times 10^{-3}\times 8\times 10^{-7}}q=0 \\[5pt]
\frac{d^2q}{dt^2}+\frac{1}{16\times 10^{-10}}q=0 \\[5pt]
\frac{d^2q}{dt^2}+\frac{1\times 10^{10}}{16}q=0 \\[5pt]
\frac{d^2q}{dt^2}+6,25\times 10^{8}q=0 \tag{IV}
\end{gather}
\]
a solução deste tipo de equação é encontrada fazendo-se as substituições
\[
\begin{gather}
q=\operatorname{e}^{\lambda t} \\[5pt]
\frac{dq}{dt}=\lambda\operatorname{e}^{\lambda t} \\[5pt]
\frac{d^2q}{dt^2}=\lambda^2\operatorname{e}^{\lambda t}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\lambda^2\operatorname{e}^{\lambda t}+6,25\times 10^{8}\operatorname{e}^{\lambda t}=0 \\[5pt]
\operatorname{e}^{\lambda t}\left(\lambda^2+6,25\times 10^{8}\right)=0 \\[5pt]
\lambda^2+6,25\times 10^{8}=\frac{0}{\operatorname{e}^{\lambda t}} \\[5pt]
\lambda^2+6,25\times 10^{8}=0
\end{gather}
\]
esta é a Equação Característica, que tem como solução
\[
\begin{gather}
\lambda^2=-6,25\times 10^{8} \\[5pt]
\lambda=\sqrt{-6,25\times 10^{8}\;} \\[5pt]
\lambda_{1,2}=\pm 2,5\times 10^4\;\mathrm i
\end{gather}
\]
onde
\( \mathrm i=\sqrt{-1\;} \),
a solução da equação (IV) é escrita como
\[
\begin{gather}
q=C_1\operatorname{e}^{\lambda_1t}+C_2\operatorname{e}^{\lambda_2t} \\[5pt]
q=C_1\operatorname{e}^{2,5\times 10^4\;\mathrm it}+C_2\operatorname{e}^{-2,5\times 10^4\;\mathrm it}
\end{gather}
\]
onde C1 e C2 são constantes de integração, usando a
Relação de Euler
\( \operatorname{e}^{i\theta }=\cos\theta +\operatorname{i}\operatorname{sen}\theta \)
\[
\begin{gather}
q=C_1\left(\cos 2,5\times 10^4t+\operatorname{i}\operatorname{sen}2,5\times 10^4t\right)+C_2\left(\cos 2,5\times 10^4t-\operatorname{i}\operatorname{sen}2,5\times 10^4t\right) \\[5pt]
q=C_1\cos 2,5\times 10^4t+\mathrm iC_1\operatorname{sen}2,5\times 10^4t+C_2\cos 2,5\times 10^4t-\mathrm iC_2\operatorname{sen}2,5\times 10^4t
\end{gather}
\]
coletando os termos em seno e cosseno
\[
\begin{gather}
q=\left(C_1+C_2\right)\cos 2,5\times 10^4t+\left(\mathrm iC_1-\mathrm iC_2\right)\operatorname{sen}2,5\times 10^4t \\[5pt]
q=\left(C_1+C_2\right)\cos 2,5\times 10^4t+\mathrm i\left(C_1-C_2\right)\operatorname{sen}2,5\times 10^4t
\end{gather}
\]
definindo duas novas constantes α e β em termos de C1 e
C2
\[
\begin{gather}
\alpha\equiv C_1+C_2
\quad\text{e}\quad
\beta\equiv \mathrm i(C_1-C_2)
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
q=\alpha\cos 2,5\times 10^4t+\beta\operatorname{sen}2,5\times 10^4t \tag{V}
\end{gather}
\]
multiplicando e dividindo esta equação por
\( \sqrt{\alpha^2+\beta^2\;} \)
\[
\begin{gather}
q=\left(\alpha\cos 2,5\times 10^4t+\beta\operatorname{sen}2,5\times 10^4t\right)\frac{\sqrt{\alpha^2+\beta^2\;}}{\sqrt{\alpha^2+\beta^2\;}} \\[5pt]
q=\sqrt{\alpha^2+\beta^2\;}\left(\frac{\alpha}{\sqrt{\alpha^2+\beta^2\;}}\cos 2,5\times 10^4t+\frac{\beta}{\sqrt{\alpha^2+\beta^2\;}}\operatorname{sen}2,5\times 10^4t\right)
\end{gather}
\]
fazendo as seguintes definições
\[
\begin{gather}
A\equiv \sqrt{\alpha^2+\beta^2\;}
\quad\text{,}\quad
\cos\varphi \equiv \frac{\alpha}{\sqrt{\alpha^2+\beta^2\;}}
\quad\text{,}\quad
\operatorname{sen}\varphi \equiv \frac{\beta}{\sqrt{\alpha^2+\beta^2\;}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
q=A(\cos\varphi \cos 2,5\times 10^4t+\operatorname{sen}\varphi\operatorname{sen}2,5\times 10^4t)
\end{gather}
\]
Observação: Usando da seguinte propriedade trigonométrica
\[
\begin{gather}
\cos(a-b)=\cos a\cos b+\operatorname{sen}a\operatorname{sen}b
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
q=A\cos(2,5\times 10^4t-\varphi) \tag{VI}
\end{gather}
\]
onde A e φ são constantes de integração determinadas pelas Condições Iniciais.
Derivando a equação (VI) em relação ao tempo
Derivada de
\( q=A\cos(2,5\times 10^4t-\varphi) \)
a função
q(
t) é uma função composta cuja derivada, pela
Regra da Cadeia, é do tipo
\[
\begin{gather}
\frac{dq[u(t)]}{dt}=\frac{dq}{du}\frac{du}{dt}
\end{gather}
\]
com
\( q(u)=\cos u \)
e
\( u(t)=2,5\times 10^4t-\varphi \),
assim as derivadas serão
\[
\begin{align}
& q=\cos u \\
& \frac{dq}{du}=-\operatorname{sen}u=-\operatorname{sen}(2,5\times 10^4t-\varphi) \\[10pt]
& u(t)=2,5\times 10^4t-\varphi \\
& \frac{du}{dt}=2,5\times 10^4
\end{align}
\]
\[
\begin{gather}
\frac{dq}{dt}=A\left[-\operatorname{sen}(2,5\times 10^4t-\varphi)\times 2,5\times 10^4\right] \\[5pt]
\frac{dq}{dt}=-2,5\times 10^4A\operatorname{sen}(2,5\times 10^4t-\varphi)
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\frac{dq}{dt}=-2,5\times 10^{\;4}A\operatorname{sen}(2,5\times 10^4t-\varphi) \tag{VII}
\end{gather}
\]
substituindo a Condição Inicial para q(0) na equação (VI)
\[
\begin{gather}
q(0)=5\times 10^{-6}=A\cos(2,5\times 10^4\times 0-\varphi) \\[5pt]
5\times 10^{-6}=A\cos(-\varphi)
\end{gather}
\]
como o cosseno é uma função par temos
\( \cos\varphi=\cos(-\varphi) \)
e a equação acima fica
\[
\begin{gather}
5\times 10^{-6}=A\cos\varphi \tag{VIII}
\end{gather}
\]
e substituindo a Condição Inicial para
\( \dfrac{d q(0)}{d t} \)
na equação (VII)
\[
\begin{gather}
\frac{dq(0)}{dt}=0=-2,5\times 10^4A\operatorname{sen}(2,5\times 10^4\times 0-\varphi) \\[5pt]
0=-2,5\times 10^4A\operatorname{sen}(-\varphi)
\end{gather}
\]
como o seno é uma função ímpar
\( \operatorname{sen}\varphi=-\operatorname{sen}(-\varphi) \)
\[
\begin{gather}
2,5\times 10^4A\operatorname{sen}\varphi=0 \tag{IX}
\end{gather}
\]
isolando o valor de A na equação (VIII)
\[
\begin{gather}
A=\frac{5\times 10^{-6}}{\cos\varphi} \tag{X}
\end{gather}
\]
e substituindo em (IX)
\[
\begin{gather}
2,5\times 10^4\times \frac{5\times 10^{-6}}{\cos\varphi}\times \operatorname{sen}\varphi=0\\[5pt]
\operatorname{tg}\varphi=0 \\[5pt]
\varphi=\operatorname{arc tg}(0) \\[5pt]
\varphi=0
\end{gather}
\]
substituindo o valor de φ na equação (X)
\[
\begin{gather}
A=\frac{5\times 10^{-6}}{\cos 0} \\[5pt]
A=\frac{5\times 10^{-6}}{1} \\[5pt]
A=5\times 10^{-6}
\end{gather}
\]
substituindo estas constantes na equação (VI)
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{q(t)=5\times 10^{-6}\cos 2,5\times 10^4t}
\end{gather}
\]
b) A corrente será dada pela derivada da carga em função do tempo
\[
\begin{gather}
i=\frac{dq}{dt}
\end{gather}
\]
a derivada foi obtida no item anterior (no quadro cinza em destaque)
\[
\begin{gather}
\frac{dq}{dt}=-2,5\times 10^4A\operatorname{sen}(2,5\times 10^4t-\varphi)
\end{gather}
\]
substituindo as constantes A e φ obtidas acima
\[
\begin{gather}
i(t)=-2,5\times 10^4\times \times 5\times 10^{-6}\;\operatorname{sen}(2,5\times 10^4t-0)
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{i(t)=-0,125\operatorname{sen}2,5\times 10^4t}
\end{gather}
\]
c) A energia armazenada no circuito é
\[
\begin{gather}
U=U_{\small C}+U_{\small L} \tag{XI}
\end{gather}
\]
onde UC é a energia potencial elétrica, armazenada no campo elétrico entre as placas do
capacitor, dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{U_{\small C}=\frac{q^2}{2C}} \tag{XII}
\end{gather}
\]
e UL é a energia magnética, armazenada no campo magnético do indutor, dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{U_{\small L}=\frac{1}{2}Li^2} \tag{XIII}
\end{gather}
\]
substituindo as equações (XII) e (XIII) na equação (XI)
\[
\begin{gather}
U=\frac{q^2}{2C}+\frac{1}{2}Li^2 \tag{XIV}
\end{gather}
\]
substituindo os resultados dos itens (a) e (b) na equação (XIV) e os valores de L e C dados
no problema
\[
\begin{gather}
U=\frac{\left(5\times 10^{-6}\cos2,5\times 10^4t\right)^2}{2\times 8\times 10^{-7}}+\frac{1}{2}\times 2\times 10^{-3}\times \left(-0,125\operatorname{sen}2,5\times 10^4t\right)^2 \\[5pt]
U=\frac{25\times 10^{-12}}{16\times 10^{-7}}\cos^22,5\times 10^4t+1\times 10^{-}\times 0,015625\operatorname{sen}^22,5\times 10^4t\\[5pt]
U=1,5625\times 10^{-12}\times 10^{7}\cos^22,5\times 10^4t+1\times 10^{-3}\times 0,015625\operatorname{sen}^22,5\times 10^4t \\[5pt]
U=1,6\times 10^{-5}\cos^22,5\times 10^4t+1,6\times 10^{-5}\operatorname{sen}^22,5\times 10^4t \\[5pt]
U=1,6\times 10^{-5}\left(\underbrace{\cos^22,5\times 10^4t+\operatorname{sen}^22,5\times 10^4t}_1\right)
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{U=1,6\times 10^{-5}\;\text J}
\end{gather}
\]
d) Construção do gráfico de
\[
\begin{gather}
q(t)=5\times 10^{-6}\cos 2,5\times 10^4t \tag{XV}
\end{gather}
\]
fazendo q(t) = 0 encontramos as raízes da função
\[
\begin{gather}
q(t)=5\times 10^{-6}\cos 2,5\times 10^4t=0 \\[5pt]
\cos 2,5\times 10^4t=\frac{0}{5\times 10^{-6}} \\[5pt]
\cos 2,5\times 10^4t=0
\end{gather}
\]
a função cosseno é zero quando seu argumento
\( \left(2,5\times 10^4t\right) \)
é igual a
\( \dfrac{\pi}{2} \),
\( \dfrac{3\pi}{2} \),
\( \dfrac{5\pi}{2} \),
...,
\( \dfrac{(2n+1)\pi}{2} \),
com n = 0, 1, 2, 3,..., portanto devemos ter
\[
\begin{gather}
2,5\times 10^4t=\frac{(2n+1)\pi}{2} \\[5pt]
t=\frac{(2n+1)\pi}{2\times 2,5\times 10^4} \\[5pt]
t=\frac{(2n+1)\pi}{5\times 10^4} \\[5pt]
t=\frac{(2n+1)\pi}{5}\times 10^{-4}\;\text{s}
\end{gather}
\]
para esses valores de t temos as raízes da função cosseno, os quatro primeiros valores serão, para
n= 0, 1, 2 e 3, respectivamente, t =
\( \dfrac{\pi}{5}\times 10^{-4} \),
\( \dfrac{3\pi}{5}\times 10^{-4} \),
\( \dfrac{5\pi}{5}\times 10^{-4} \),
\( \dfrac{7\pi}{5}\times 10^{-4}x \),
estes valores estão mostrados no Gráfico 1.
A função oscila entre os valores 5×10−6 e −5×10−6 da
amplitude (A).
