Um aro de raio a está carregado uniformemente com uma carga Q. Calcule:
a) O potencial elétrico num ponto P sobre o eixo de simetria perpendicular ao plano do aro a uma
distância z do seu centro;
b) O vetor campo elétrico no mesmo ponto.
Dados do problema:
- Raio do aro: a;
- Carga do aro: Q;
- Distância ao ponto onde se quer o campo elétrico: z.
Esquema do problema:
A distância da origem ao ponto P é igual a z, a distância da origem a um elemento de carga
dq é um raio a do aro e a distância de um elemento de carga até o ponto P é r
(Figura 1).
Solução:
a) Aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo ΔazR
\[
\begin{gather}
r^2=a^2+z^2 \\[5pt]
r=\left(a^2+z^2\right)^{1/2} \tag{I}
\end{gather}
\]
O potencial elétrico é dado por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{V=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int{\frac{dq}{r}}} \tag{II}
\end{gather}
\]
Da equação da densidade linear de carga λ obtemos o elemento de carga dq
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\lambda=\frac{dq}{ds}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
dq=\lambda\;ds \tag{III}
\end{gather}
\]
onde
ds é um elemento de arco de ângulo
dθ do aro (Figura 2)
\[
\begin{gather}
ds=a\;d\theta \tag{IV}
\end{gather}
\]
substituindo a equação (IV) na equação (III)
\[
\begin{gather}
dq=\lambda a\;d\theta \tag{V}
\end{gather}
\]
substituindo as equações (I) e (V) na equação (II)
\[
\begin{gather}
V=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int{\frac{\lambda a}{\left(a^2+z^2\right)^{1/2}}}\;d\theta
\end{gather}
\]
Como a densidade de carga λ e o raio a são constantes, e, a integral não depende de
z, depende apenas de θ, eles podem “sair” da integral, podemos escrever
\[
\begin{gather}
V=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{\lambda a}{\left(a^2+z^2\right)^{1/2}}\int d\theta
\end{gather}
\]
Os limites de integração serão 0 e 2π (uma volta completa no aro)
\[
\begin{gather}
V=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{\lambda a}{\left(a^2+z^2\right)^{1/2}}\int_0^{2\pi}d\theta
\end{gather}
\]
Integral de
\( {\large\int}_0^{2\pi}d\theta \)
\[
\begin{gather}
\int_0^{2\pi}\;d\theta=\left.\theta\;\right|_{\;0}^{\;2\pi}=2\pi-0=2\pi
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
V=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{\lambda a}{\left(a^2+z^2\right)^{1/2}}2\pi \\[5pt]
V=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{2\pi a\lambda}{\left(a^2+z^2\right)^{1/2}} \tag{VI}
\end{gather}
\]
A carga total do aro é Q e o seu comprimento é 2πa, assim a densidade linear de carga pode ser
escrita
\[
\begin{gather}
\lambda=\frac{Q}{2\pi a} \\[5pt]
Q=2\pi a\lambda \tag{VII}
\end{gather}
\]
substituindo a equação (VII) na equação (VI)
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{V=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q}{\left(a^2+z^2\right)^{1/2}}}
\end{gather}
\]
b) O vetor campo elétrico é dado por menos o gradiente do potencial
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\mathbf E=-\nabla V}
\end{gather}
\]
onde
\( \nabla \)
é o operador nabla dado por
\( \left(\dfrac{\partial}{\partial x}\;\mathbf i+\dfrac{\partial}{\partial y}\;\mathbf j+\dfrac{\partial}{\partial z}\;\mathbf k\right) \)
\[
\begin{gather}
\mathbf E=-\left(\frac{\partial}{\partial x}\;\mathbf i+\frac{\partial}{\partial y}\;\mathbf j+\frac{\partial}{\partial z}\;\mathbf k\right)V\\
\mathbf E=-\left(\frac{\partial V}{\partial x}\;\mathbf i+\frac{\partial V}{\partial y}\;\mathbf j+\frac{\partial V}{\partial z}\;\mathbf k\right)
\end{gather}
\]
Derivada parcial do potencial em relação a
x
\[
\begin{gather}
\frac{\partial V}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q}{\left(a^2+z^2\right)^{1/2}}
\end{gather}
\]
a carga (
Q), a permissividade do meio
\( \epsilon_0 \),
o raio do aro (
a) e a distância (
z) são constantes (a derivada é em relação à variável
x, nesta direção
z é constante), portanto a derivada de uma constante é zero
\[
\begin{gather}
\frac{\partial V}{\partial x}=0
\end{gather}
\]
Derivada parcial do potencial em relação a
y
\[
\begin{gather}
\frac{\partial V}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q}{\left(a^2+z^2\right)^{1/2}}
\end{gather}
\]
a carga (
Q), a permissividade do meio
(
\( \epsilon_0 \)),
o raio do aro (
a) e a distância (
z) são constantes (a derivada é em relação à variável
x, nesta direção
z é constante), portanto a derivada de uma constante é zero
\[
\begin{gather}
\frac{\partial V}{\partial y}=0
\end{gather}
\]
Derivada parcial do potencial em relação a
z
\[
\begin{gather}
\frac{\partial V}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q}{\left(a^2+z^2\right)^{1/2}}
\end{gather}
\]
a carga (
Q), a permissividade do meio
(
\( \epsilon_0 \)),
são constantes, portanto eles podem “sair” da derivada
\[
\begin{gather}
\frac{\partial V}{\partial z}=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0}\frac{\partial}{\partial z}\frac{1}{\left(a^2+z^2\right)^{1/2}}
\end{gather}
\]
a função
V(
z) é uma função composta cuja derivada, pela regra da cadeia, é do tipo
\[
\begin{gather}
\frac{dV[w(z)]}{dz}=\frac{dV}{dw}\frac{dw}{dz}
\end{gather}
\]
com
\( V(w)=\dfrac{1}{w^{1/2}} \)
e
\( w(z)=a^2+z^2 \),
assim as derivadas serão
\[
\begin{gather}
\begin{array}{l}
\dfrac{dV}{dw}=\dfrac{d}{dw}\left(w^{-{1/2}}\right)=-{\dfrac{1}{2}}w^{-{\frac{1}{2}}-1}=-{\dfrac{1}{2}}w^{\frac{-1-2}{2}}=-{\dfrac{1}{2}}w^{-{3/2}}=-{\dfrac{1}{2}}\dfrac{1}{w^{3/2}} \\[10pt]
\dfrac{dw}{dz}=2z
\end{array}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\frac{\partial V}{\partial z}=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0}\left[-{\frac{1}{2}}\frac{1}{\left(a^2+z^2\right)^{3/2}}2z\right]=-{\frac{1}{4\pi\epsilon_0}}\frac{Qz}{\left(a^2+z^2\right)^{3/2}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\mathbf E=-\left(0\;\mathbf i+0\;\mathbf j-{\frac{1}{4\pi\epsilon_0}}\frac{Qz}{\left(a^2+z^2\right)^{1/2}}\;\mathbf k\right)
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{\mathbf E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Qz}{\left(a^2+z^2\right)^{1/2}}\;\mathbf k}
\end{gather}
\]
