Exercício Resolvido de Potencial Elétrico
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Um aro de raio a está carregado uniformemente com uma carga Q. Calcule:
a) O potencial elétrico num ponto P sobre o eixo de simetria perpendicular ao plano do aro a uma distância z do seu centro;
b) O vetor campo elétrico no mesmo ponto.
a) O potencial elétrico num ponto P sobre o eixo de simetria perpendicular ao plano do aro a uma distância z do seu centro;
b) O vetor campo elétrico no mesmo ponto.
Dados do problema:
- Raio do aro: a;
- Carga do aro: Q;
- Distância ao ponto onde se quer o campo elétrico: z.
A distância da origem ao ponto P é igual a z, a distância da origem a um elemento de carga
dq é um raio a do aro e a distância de um elemento de carga até o ponto P é r
(Figura 1).
Solução
a) Aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo ΔazR
\[
\begin{gather}
r^{2}=a^{2}+z^{2}\\
r=\left(a^{2}+z^{2}\right)^{\frac{1}{2}} \tag{I}
\end{gather}
\]
O potencial elétrico é dado por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{V=\frac{1}{4\pi \epsilon _{0}}\int {\frac{\mathit{dq}}{r}}} \tag{II}
\end{gather}
\]
Da expressão da densidade linear de carga λ obtemos o elemento de carga dq
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{\lambda =\frac{dq}{ds}}
\]
\[
\begin{gather}
dq=\lambda \;ds \tag{III}
\end{gather}
\]
onde ds é um elemento de arco de ângulo dθ do aro (Figura 2)
Figura 2
\[
\begin{gather}
ds=a\;d\theta \tag{IV}
\end{gather}
\]
substituindo a expressão (IV) na expressão (III)
\[
\begin{gather}
dq=\lambda a\;d\theta \tag{V}
\end{gather}
\]
substituindo as expressões (I) e (V) na expressão (II)
\[
V=\frac{1}{4\pi \epsilon _{0}}\int {\frac{\lambda a}{\left(a^{2}+z^{2}\right)^{\frac{1}{2}}}}\;d\theta
\]
Como a densidade de carga λ e o raio a são constantes, e, a integral não depende de z,
depende apenas de θ, eles podem “sair” da integral, podemos escrever
\[
V=\frac{1}{4\pi \epsilon_{0}}\frac{\lambda a}{\left(a^{2}+z^{2}\right)^{\frac{1}{2}}}\int d\theta
\]
Os limites de integração serão 0 e 2π (uma volta completa no aro)
\[
V=\frac{1}{4\pi \epsilon_{0}}\frac{\lambda a}{\left(a^{2}+z^{2}\right)^{\frac{1}{2}}}\int_{{0}}^{{2\pi}}d\theta
\]
Integral de \( {\large\int}_{{0}}^{{2\pi}}d\theta \)
\[
\int_{{0}}^{{2\pi}}\;d\theta =\left.\theta \;\right|_{\;0}^{\;2\pi}=2\pi -0=2\pi
\]
\[
\begin{gather}
V=\frac{1}{4\pi \epsilon_{0}}\frac{\lambda a}{\left(a^{2}+z^{2}\right)^{\frac{1}{2}}}2\pi \\
V=\frac{1}{4\pi \epsilon_{0}}\frac{2\pi a\lambda}{\left(a^{2}+z^{2}\right)^{\frac{1}{2}}} \tag{VI}
\end{gather}
\]
A carga total do aro é Q e o seu comprimento é 2πa, assim a densidade linear de carga pode ser
escrita
\[
\begin{gather}
\lambda =\frac{Q}{2\pi a}\\
Q=2\pi a\lambda \tag{VII}
\end{gather}
\]
substituindo a expressão (VII) na expressão (VI)
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{V=\frac{1}{4\pi \epsilon_{0}}\frac{Q}{\left(a^{2}+z^{2}\right)^{\frac{1}{2}}}}
\]
b) O vetor campo elétrico é dado por menos o gradiente do potencial
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\mathbf{E}=-\nabla V}
\end{gather}
\]
onde
\( \nabla \)
é o operador nabla dado por
\( \left(\dfrac{\partial}{\partial x}\;\mathbf{i}+\dfrac{\partial}{\partial y}\;\mathbf{j}+\dfrac{\partial}{\partial z}\;\mathbf{k}\right) \)
\[
\begin{gather}
\mathbf{E}=-\left(\frac{\partial}{\partial x}\;\mathbf{i}+\frac{\partial}{\partial y}\;\mathbf{j}+\frac{\partial}{\partial z}\;\mathbf{k}\right)V\\
\mathbf{E}=-\left(\frac{\partial V}{\partial x}\;\mathbf{i}+\frac{\partial V}{\partial y}\;\mathbf{j}+\frac{\partial V}{\partial z}\;\mathbf{k}\right)
\end{gather}
\]
Derivada parcial do potencial em relação a x
\[
\frac{\partial V}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\frac{Q}{\left(a^{2}+z^{2}\right)^{\frac{1}{2}}}
\]
a carga (Q), a permissividade do meio
\( \epsilon_{0} \),
o raio do aro (a) e a distância (z) são constantes (a derivada é em relação à variável
x, nesta direção z é constante), portanto a derivada de uma constante é zero
\[
\frac{\partial V}{\partial x}=0
\]
Derivada parcial do potencial em relação a y
\[
\frac{\partial V}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\frac{Q}{\left(a^{2}+z^{2}\right)^{\frac{1}{2}}}
\]
a carga (Q), a permissividade do meio
(\( \epsilon_{0} \)),
o raio do aro (a) e a distância (z) são constantes (a derivada é em relação à variável
x, nesta direção z é constante), portanto a derivada de uma constante é zero
\[
\frac{\partial V}{\partial y}=0
\]
Derivada parcial do potencial em relação a z
\[
\frac{\partial V}{\partial z}=\frac{\partial }{\partial z}\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\frac{Q}{\left(a^{2}+z^{2}\right)^{\frac{1}{2}}}
\]
a carga (Q), a permissividade do meio
(\( \epsilon_{0} \)),
são constantes, portanto eles podem “sair” da derivada
\[
\frac{\partial V}{\partial z}=\frac{Q}{4\pi \epsilon_{0}}\frac{\partial}{\partial z}\frac{1}{\left(a^{2}+z^{2}\right)^{\frac{1}{2}}}
\]
a função V(z) é uma função composta cuja derivada, pela regra da cadeia, é do tipo
\[
\frac{dV[w(z)]}{dz}=\frac{dV}{dw}\frac{dw}{dz}
\]
com
\( V(w)=\dfrac{1}{w^{\frac{1}{2}}} \)
e
\( w(z)=a^{2}+z^{2} \),
assim as derivadas serão
\[
\begin{array}{l}
\dfrac{dV}{dw}=\dfrac{d}{dw}\left(w^{-{\frac{1}{2}}}\right)=-{\dfrac{1}{2}}w^{-{\frac{1}{2}}-1}=-{\dfrac{1}{2}}w^{\frac{-1-2}{2}}=-{\dfrac{1}{2}}w^{-{\frac{3}{2}}}=-{\dfrac{1}{2}}\dfrac{1}{w^{\frac{3}{2}}}\\[10pt]
\dfrac{dw}{dz}=2z
\end{array}
\]
\[
\frac{\partial V}{\partial z}=\frac{Q}{4\pi \epsilon_{0}}\left[-{\frac{1}{2}}\frac{1}{\left(a^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}2z\right]=-{\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}}\frac{Qz}{\left(a^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}
\]
\[
\mathbf{E}=-\left(0\;\mathbf{i}+0\;\mathbf{j}-{\frac{1}{4\pi \epsilon_{0}}}\frac{Qz}{\left(a^{2}+z^{2}\right)^{\frac{1}{2}}}\;\mathbf{k}\right)
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{\mathbf{E}=\frac{1}{4\pi \epsilon_{0}}\frac{Qz}{\left(a^{2}+z^{2}\right)^{\frac{1}{2}}}\;\mathbf{k}}
\]
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