Exercício Resolvido de Lei de Gauss
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Determine o módulo do campo elétrico de uma esfera condutora maciça, carregada com uma carga Q, em todo o espaço.


Dados do problema:
  • Carga da esfera:    Q.
Esquema do problema:

Vamos assumir que a esfera está carrega com uma carga positiva (Q > 0) e seu raio é igual à R.
Para determinar o módulo do campo elétrico em todo o espaço devemos considerar os pontos no interior da esfera, \( r\leqslant R \), e pontos no exterior da esfera, r > R (Figura 1).

Figura 1

Consideramos uma superfície Gaussiana interna e outra superfície externa á esfera.

Solução

  • Para   \( r\leqslant R \):
Como a esfera é condutora a carga se acumula na superfície, no interior não existem cargas (Figura 2), portanto o campo elétrico é nulo
\[ \begin{gather} E=0 \tag{I} \end{gather} \]

Figura 2
  • Para r > R:
A Lei de Gauss no diz que
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\oint_{A}{\mathbf{E}}.d\mathbf{A}=\frac{q}{\epsilon_{0}}} \tag{II} \end{gather} \]
O campo elétrico se espalha radialmente a partir da distribuição de cargas na direção er, e em cada elemento de área dA da superfície temos um vetor unitário n perpendicular à superfície e orientado para fora. Assim em cada ponto da superfície o vetor campo elétrico E e o vetor unitário n possuem a mesma direção e sentido (Figura 3).

Figura 3

O vetor campo elétrico só possui componente na direção er pode ser escrito como
\[ \begin{gather} \mathbf{E}=E\;{\mathbf{e}}_{r} \tag{III} \end{gather} \]
O vetor elemento de área pode ser escrito como
\[ \begin{gather} d\mathbf{A}=dA\;\mathbf{n} \tag{IV} \end{gather} \]
substituindo as expressões (III) e (IV) na expressão (II)
\[ \begin{gather} \oint_{A}E\;{\mathbf{E}}_{r}.dA\;\mathbf{n}=\frac{q}{\epsilon_{0}}\\ \oint_{A}E\;dA\;\underbrace{{\mathbf{E}}_{r}.\mathbf{n}}_{1}=\frac{q}{\epsilon_{0}} \end{gather} \]
Observação: Como er e n são vetores unitário seus módulos são iguais à 1, como ambos estão na mesma direção e sentido o ângulo entre eles é nulo (θ = 0), \( {\mathbf{E}}_{r}.\mathbf{n}=|\;{\mathbf{E}}_{r}\;|\;|\;\mathbf{n}\;|\cos0=1.1.1=1 \).
\[ {\mathbf{E}}_{r}.\mathbf{n}=|\;{\mathbf{E}}_{r}\;|\;|\;\mathbf{n}\;|\cos0=1.1.1=1 \]

\[ \begin{gather} \oint_{A}E\;dA=\frac{q}{\epsilon_{0}} \tag{V} \end{gather} \]
Em coordenadas esféricas as coordenadas x, y e z são dados por
\[ \left\{ \begin{array}{l} x=r\operatorname{sen}\theta \cos \phi\\ y=r\operatorname{sen}\theta \operatorname{sen}\phi\\ z=r\cos \theta \end{array} \right. \tag{VI} \]
Para obter o elemento de área em coordenadas esféricas calculamos o Jacobiano dado pelo determinante
\[ J=\left| \begin{matrix} \;\dfrac{\partial x}{\partial r}&\dfrac{\partial x}{\partial \theta}&\dfrac{\partial x}{\partial \phi}\;\\ \;\dfrac{\partial y}{\partial r}&\dfrac{\partial y}{\partial \theta}&\dfrac{\partial y}{\partial \phi}\;\\ \;\dfrac{\partial z}{\partial r}&\dfrac{\partial z}{\partial \theta}&\dfrac{\partial z}{\partial \phi}\; \end{matrix} \right| \]
Cálculo das derivadas parciais das funções x, y e z dadas em (VI)

\( x=r\operatorname{sen}\theta \cos \phi \):

\( \dfrac{\partial x}{\partial r}=\dfrac{\partial (r\operatorname{sen}\theta \cos\phi )}{\partial r}=\operatorname{sen}\theta \cos \phi \;\dfrac{\partial r}{\partial r}=\operatorname{sen}\theta \cos \phi .1=\operatorname{sen}\theta \cos \phi \),
\[ \dfrac{\partial x}{\partial r}=\dfrac{\partial (r\operatorname{sen}\theta \cos\phi )}{\partial r}=\operatorname{sen}\theta \cos \phi \;\dfrac{\partial r}{\partial r}=\operatorname{sen}\theta \cos \phi .1=\operatorname{sen}\theta \cos \phi \]
na derivada em r os valores de θ e ϕ são constantes e o seno e cosseno saem da derivada.

\( \dfrac{\partial x}{\partial \theta}=\dfrac{\partial (r\operatorname{sen}\theta\cos \phi)}{\partial \theta}=r\cos \phi \dfrac{\partial(\operatorname{sen}\theta)}{\partial \theta}=r\cos \theta \cos \phi \),
\[ \dfrac{\partial x}{\partial \theta}=\dfrac{\partial (r\operatorname{sen}\theta\cos \phi)}{\partial \theta}=r\cos \phi \dfrac{\partial(\operatorname{sen}\theta)}{\partial \theta}=r\cos \theta \cos \phi \]
na derivada em θ os valores de r e ϕ são constantes e o termo em r e o seno saem da derivada.

\( \dfrac{\partial x}{\partial \phi }=\dfrac{\partial (r\operatorname{sen}\theta \cos\phi)}{\partial \phi}=r\operatorname{sen}\theta \dfrac{\partial (\cos \phi)}{\partial \phi}=r\operatorname{sen}\theta (-\operatorname{sen}\phi)=-r\operatorname{sen}\theta \operatorname{sen}\phi \),
\[ \dfrac{\partial x}{\partial \phi }=\dfrac{\partial (r\operatorname{sen}\theta \cos\phi)}{\partial \phi}=r\operatorname{sen}\theta \dfrac{\partial (\cos \phi)}{\partial \phi}=r\operatorname{sen}\theta (-\operatorname{sen}\phi)=-r\operatorname{sen}\theta \operatorname{sen}\phi \]
na derivada em ϕ os valores de r e θ são constantes e o termo em r e o seno saem da derivada.

\( y=r\operatorname{sen}\theta \operatorname{sen}\phi \):

\( \dfrac{\partial y}{\partial r}=\dfrac{\partial (r\operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}\phi)}{\partial r}=\operatorname{sen}\theta \operatorname{sen}\phi\dfrac{\partial r}{\partial r}=\operatorname{sen}\theta \operatorname{sen}\phi .1=\operatorname{sen}\theta \operatorname{sen}\phi \),
\[ \dfrac{\partial y}{\partial r}=\dfrac{\partial (r\operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}\phi)}{\partial r}=\operatorname{sen}\theta \operatorname{sen}\phi\dfrac{\partial r}{\partial r}=\operatorname{sen}\theta \operatorname{sen}\phi .1=\operatorname{sen}\theta \operatorname{sen}\phi \]
na derivada em r os valores de θ e ϕ são constantes e os termos em seno saem da derivada.

\( \dfrac{\partial y}{\partial \theta }=\dfrac{\partial (r\operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}\phi)}{\partial \theta}=r\operatorname{sen}\phi \dfrac{\partial(\operatorname{sen}\theta)}{\partial \theta}=r\cos \theta \operatorname{sen}\phi \),
\[ \dfrac{\partial y}{\partial \theta }=\dfrac{\partial (r\operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}\phi)}{\partial \theta}=r\operatorname{sen}\phi \dfrac{\partial(\operatorname{sen}\theta)}{\partial \theta}=r\cos \theta \operatorname{sen}\phi \]
na derivada em θ os valores de r e ϕ são constantes e o termo em r e o seno saem da derivada.

\( \dfrac{\partial y}{\partial \phi}=\dfrac{\partial (r\operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}\phi)}{\partial \phi}=r\operatorname{sen}\theta \dfrac{\partial(\operatorname{sen}\phi)}{\partial \phi }=r\operatorname{sen}\theta \cos \phi \),
\[ \dfrac{\partial y}{\partial \phi}=\dfrac{\partial (r\operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}\phi)}{\partial \phi}=r\operatorname{sen}\theta \dfrac{\partial(\operatorname{sen}\phi)}{\partial \phi }=r\operatorname{sen}\theta \cos \phi \]
na derivada em ϕ os valores de r e θ são constantes e o termo em r e o seno saem da derivada.

\( z=r\cos \theta \):

\( \dfrac{\partial z}{\partial r}=\dfrac{\partial (r\cos \theta )}{\partial r}=\cos \theta \dfrac{\partial r}{\partial r}=\cos \theta .1=\cos \theta \),
\[ \dfrac{\partial z}{\partial r}=\dfrac{\partial (r\cos \theta )}{\partial r}=\cos \theta \dfrac{\partial r}{\partial r}=\cos \theta .1=\cos \theta \]
na derivada em r o valor de θ é constante e o termo em cosseno sai da derivada.

\( \dfrac{\partial z}{\partial \theta}=\dfrac{\partial (r\cos \theta)}{\partial \theta}=r\dfrac{\partial (\cos \theta)}{\partial \theta}=r(-\operatorname{sen}\theta )=-r\operatorname{sen}\theta \),
\[ \dfrac{\partial z}{\partial \theta}=\dfrac{\partial (r\cos \theta)}{\partial \theta}=r\dfrac{\partial (\cos \theta)}{\partial \theta}=r(-\operatorname{sen}\theta )=-r\operatorname{sen}\theta \]
na derivada em θ o valor de r é constante e o termo em r sai da derivada.

\( \dfrac{\partial z}{\partial \phi}=\dfrac{\partial (r\cos \theta)}{\partial \phi}=0 \), a função z não depende de ϕ, na derivada em ϕ os valores de r e θ são constantes e a derivada de uma constante é zero.
\[ dA=J\;d\theta \;d\phi \]
Observação: Não há variação dr pois a superfície Gaussiana possui raio constante igual a r.
\[ J=\left| \begin{matrix} \;\operatorname{sen}\theta \cos \phi & r\cos \theta \cos\phi & -r\operatorname{sen}\theta \operatorname{sen}\phi \;\\ \;\operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}\phi & r\cos \theta \operatorname{sen}\phi & r\operatorname{sen}\theta \cos\phi \;\\ \;\cos \theta &-r\operatorname{sen}\theta &0\; \end{matrix} \right| \]
desenvolvendo o determinante pela Regra de Sarrus
\[ \begin{gather} J=(\operatorname{sen}\theta \cos \phi).(r\cos \theta\operatorname{sen}\phi).0+(r\cos \theta \cos \phi).(r\operatorname{sen}\theta \cos\phi).(\cos \theta) \text{+} \qquad\qquad\qquad\quad\\ \text{+}(-r\operatorname{sen}\theta \operatorname{sen}\phi).(\operatorname{sen}\theta \operatorname{sen}\phi).(-r\operatorname{sen}\theta)-(-r\operatorname{sen}\theta \operatorname{sen}\phi).(r\cos \theta \operatorname{sen}\phi).(\cos \theta) \text{--}\\ \text{--} (\operatorname{sen}\theta \cos \phi).(r\operatorname{sen}\theta \cos \phi).(-r\operatorname{sen}\theta)-(r\cos \theta\cos \phi).(\operatorname{sen}\theta \operatorname{sen}\phi).0 \qquad\qquad\quad \\{\,}\\ J=0+r^{2}\cos ^{2}\theta \operatorname{sen}\theta \cos ^{2}\phi+r^{2}\operatorname{sen}^{3}\theta \operatorname{sen}^{2}\phi +r^{2}\cos^{2}\theta\operatorname{sen}\theta \operatorname{sen}^{2}\phi +r^{2}\operatorname{sen}^{3}\theta \cos^{2}\phi -0 \\{\,}\\ J=r^{2}[\cos ^{2}\theta \operatorname{sen}\theta \cos ^{2}\phi+\operatorname{sen}^{3}\theta \operatorname{sen}^{2}\phi +\cos ^{2}\theta\operatorname{sen}\theta \operatorname{sen}^{2}\phi +\operatorname{sen}^{3}\theta \cos ^{2}\phi] \\{\,}\\ J=r^{2}[\cos ^{2}\theta \operatorname{sen}\theta \underbrace{(\cos^{2}\phi +\operatorname{sen}^{2}\phi)}_{1}+\operatorname{sen}^{3}\theta\underbrace{(\cos ^{2}\phi +\operatorname{sen}^{2}\phi)}_{1}] \\{\,}\\ J=r^{2}[\cos ^{2}\theta \operatorname{sen}\theta+\operatorname{sen}^{2}\theta \operatorname{sen}\theta ] \\{\,}\\ J=r^{2}[\underbrace{(\cos^{2}\theta +\operatorname{sen}^{2}\theta)}_{1}\operatorname{sen}\theta] \\{\,}\\ J=r^{2}\operatorname{sen}\theta \end{gather} \]
\[ \begin{gather} dA=r^{2}\operatorname{sen}\theta \;d\theta \;d\phi \tag{VII} \end{gather} \]
substituindo a expressão (VII) na expressão (V)
\[ \begin{gather} \int_{A}Er^{2}\operatorname{sen}\theta \;d\theta \;d\phi =\frac{q}{\epsilon_{0}} \tag{VIII} \end{gather} \]
Como o campo elétrico é uniforme e a integral não depende do raio eles podem “sair” da integral e como não existem termos “cruzados” em θ e ϕ as integrais podem ser separadas
\[ Er^{2}\int \operatorname{sen}\theta \;d\theta \int d\phi =\frac{q}{\epsilon_{0}} \]
Os limites de integração serão de 0 a π em dθ e de 0 e 2π em dϕ (uma volta completa na base do hemisfério), conforme Figura 3-B
\[ Er^{2}\int_{0}^{\pi}\operatorname{sen}\theta \;d\theta \int_{0}^{{2\pi}}d\phi =\frac{q}{\epsilon_{0}} \]
Figura 4

Integral de    \( \displaystyle \int_{0}^{\pi}\operatorname{sen}\theta \;d\theta \)
\[ \int_{0}^{\pi}\operatorname{sen}\theta \;d\theta \Rightarrow\left.-\cos \theta \;\right|_{\;0}^{\;\pi}\Rightarrow -(\cos \pi -\cos0)\Rightarrow -(-1-1)\Rightarrow -(-2)\Rightarrow 2 \]

Integral de    \( \displaystyle \int_{0}^{{2\pi}}\;d\phi \)
\[ \int_{0}^{{2\pi}}\;d\phi =\left.\phi \;\right|_{\;0}^{\;2\pi}=2\pi-0=2\pi \]
\[ Er^{2}.2.2\pi =\frac{q}{\epsilon_{0}} \]
sendo q a carga total da distribuição temos, q = Q,
\[ \begin{gather} E=\frac{Q}{4\pi \epsilon_{0}r^{2}} \tag{IX} \end{gather} \]
a solução será dada pelas expressões (I) e (IX)
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] { E= \begin{cases} \;\;\quad 0 &, & r\leqslant R\\ \dfrac{Q}{4\pi \epsilon_{0}r^{\;2}} &, & r\gt R \end{cases} } \]
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