Exercício Resolvido de Lei de Gauss
publicidade
Calcule o fluxo elétrico através de um hemisfério de raio a imerso num campo elétrico de intensidade
E.
Dados do problema:
- Raio do hemisfério: a;
- Intensidade do campo elétrico: E.
O fluxo elétrico é dado por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\Phi_{E}=\int_{A}{\mathbf{E}}.d\mathbf{A}} \tag{I}
\end{gather}
\]
Adotamos um sistema de referência com o eixo-z na direção e sentido do vetor campo elétrico e os eixos
x e y na base do hemisfério, então o vetor campo elétrico pode ser escrito como
O vetor elemento de área é dado por
\[
\begin{gather}
\mathbf{E}=E\;\mathbf{k} \tag{II}
\end{gather}
\]
onde i, j e k são os vetores unitários nas direções x, y e z
respectivamente.O vetor elemento de área é dado por
\[
\begin{gather}
d\mathbf{A}=dA\;\mathbf{n} \tag{III}
\end{gather}
\]
onde n é o vetor unitário na direção perpendicular à superfície hemisférica.
Observação: A base ijk foi desenhada com o vetor na direção y no sentido para baixo
de modo que o sistema de eixos seja dextrogiro, ou seja obedeça à Regra da Mão Direita.
Substituindo as expressões (II) e (III) na expressão (I)
\[
\begin{gather}
\Phi_{E}=\int_{A}E\;\mathbf{k}.dA\;\mathbf{n}\\
\Phi_{E}=\int_{A}EdA\underbrace{\;\mathbf{k}.\;\mathbf{n}}_{1}
\end{gather}
\]
Observação: Como k e n são vetores unitário seus módulos são iguais a 1 e o ângulo
entre eles é θ. O vetor k tem sua direção e sentido fixos no referencial, mas o vetor
n é normal à superfície hemisférica em cada ponto, variando de θ = 0, no ponto central do
hemisfério onde a direção e sentido de n e E coincidem, até
\( \theta =\frac{\pi}{2} \),
na borda da superfície onde n é perpendicular a E (Figura 2).
Figura 2
O produto escalar entre eles será.
\[
\mathbf{k}.\mathbf{n}=|\;\mathbf{k}\;|\;|\;\mathbf{n}\;|\cos\theta =1.1.\cos \theta =\cos \theta
\]
\[
\begin{gather}
\Phi_{E}=\int_{A}E\cos \theta \;dA \tag{IV}
\end{gather}
\]
Em coordenadas esféricas as coordenadas x, y e z são dados por
\[
\left\{
\begin{array}{l}
x=r\operatorname{sen}\theta \cos \phi\\
y=r\operatorname{sen}\theta \operatorname{sen}\phi \\
z=r\cos \theta
\end{array}
\right. \tag{V}
\]
Para obter o elemento de área em coordenadas esféricas calculamos o Jacobiano dado pelo determinante
\[
\begin{gather}
J=\left|
\begin{matrix}
\;\dfrac{\partial x}{\partial r}&\dfrac{\partial x}{\partial \theta}&\dfrac{\partial x}{\partial \phi}\;\\
\;\dfrac{\partial y}{\partial r}&\dfrac{\partial y}{\partial \theta}&\dfrac{\partial y}{\partial \phi}\;\\
\;\dfrac{\partial z}{\partial r}&\dfrac{\partial z}{\partial \theta}&\dfrac{\partial z}{\partial \phi}\;
\end{matrix}
\right| \tag{V}
\end{gather}
\]
Cálculo das derivadas parciais das funções x, y e z dadas em (V)
\( x=r\operatorname{sen}\theta \cos \phi \):
\( \dfrac{\partial x}{\partial r}=\dfrac{\partial (r\operatorname{sen}\theta\cos \phi)}{\partial r}=\operatorname{sen}\theta \cos \phi\dfrac{\partial r}{\partial r}=\operatorname{sen}\theta \cos \phi .1=\operatorname{sen}\theta \cos \phi \text{, }\)
\( \dfrac{\partial x}{\partial \theta}=\dfrac{\partial(r\operatorname{sen}\theta \cos \phi)}{\partial \theta}=r\cos \phi\dfrac{\partial (\operatorname{sen}\theta \;)}{\partial \theta}=r\cos\theta \cos \phi \text{, } \)
\( \dfrac{\partial x}{\partial \phi }=\dfrac{\partial(r\operatorname{sen}\theta \cos \phi)}{\partial \phi}=r\operatorname{sen}\theta \dfrac{\partial (\cos \phi)}{\partial \phi}=r\operatorname{sen}\theta (-\operatorname{sen}\phi)=-r\operatorname{sen}\theta \operatorname{sen}\phi \text{, } \)
\( y=r\operatorname{sen}\theta \operatorname{sen}\phi \):
\( \dfrac{\partial y}{\partial r}=\dfrac{\partial (r\operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}\phi)}{\partial r}=\operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}\phi \dfrac{\partial r}{\partial r}=\operatorname{sen}\theta \operatorname{sen}\phi.1=\operatorname{sen}\theta \operatorname{sen}\phi \text{, } \)
\( \dfrac{\partial y}{\partial \theta}=\dfrac{\partial(r\operatorname{sen}\theta \operatorname{sen}\phi)}{\partial \theta}=r\operatorname{sen}\phi \dfrac{\partial (\operatorname{sen}\theta)}{\partial \theta}=r\cos \theta \operatorname{sen}\phi \text{, } \)
\( \dfrac{\partial y}{\partial \phi}=\dfrac{\partial(r\operatorname{sen}\theta \operatorname{sen}\phi)}{\partial \phi}=r\operatorname{sen}\theta \dfrac{\partial (\operatorname{sen}\phi)}{\partial \phi }=r\operatorname{sen}\theta \cos \phi \text{, } \)
\( z=r\cos \theta \):
\( \dfrac{\partial z}{\partial r}=\dfrac{\partial (r\cos \theta )}{\partial r}=\cos \theta \dfrac{\partial r}{\partial r}=\cos \theta .1=\cos \theta \text{, } \)
\( \dfrac{\partial z}{\partial \theta}=\dfrac{\partial (r\cos \theta)}{\partial \theta}=r\dfrac{\partial (\cos \theta )}{\partial \theta}=r(-\operatorname{sen}\theta )=-r\operatorname{sen}\theta \text{, } \)
\( \dfrac{\partial z}{\partial \phi }=\dfrac{\partial (r\cos \theta)}{\partial \phi }=0 \), a função z não depende de ϕ, na derivada em ϕ os valores de r e θ são constantes e a derivada de uma constante é zero.
\( x=r\operatorname{sen}\theta \cos \phi \):
\( \dfrac{\partial x}{\partial r}=\dfrac{\partial (r\operatorname{sen}\theta\cos \phi)}{\partial r}=\operatorname{sen}\theta \cos \phi\dfrac{\partial r}{\partial r}=\operatorname{sen}\theta \cos \phi .1=\operatorname{sen}\theta \cos \phi \text{, }\)
\[ \dfrac{\partial x}{\partial r}=\dfrac{\partial (r\operatorname{sen}\theta\cos \phi)}{\partial r}=\operatorname{sen}\theta \cos \phi\dfrac{\partial r}{\partial r}=\operatorname{sen}\theta \cos \phi .1=\operatorname{sen}\theta \cos \phi \]
na derivada em r os valores de θ e ϕ são constantes, o seno e cosseno saem da derivada.
\( \dfrac{\partial x}{\partial \theta}=\dfrac{\partial(r\operatorname{sen}\theta \cos \phi)}{\partial \theta}=r\cos \phi\dfrac{\partial (\operatorname{sen}\theta \;)}{\partial \theta}=r\cos\theta \cos \phi \text{, } \)
\[ \dfrac{\partial x}{\partial \theta}=\dfrac{\partial(r\operatorname{sen}\theta \cos \phi)}{\partial \theta}=r\cos \phi\dfrac{\partial (\operatorname{sen}\theta \;)}{\partial \theta}=r\cos\theta \cos \phi \]
na derivada em θ os valores de r e ϕ são constantes e o termo em r e o seno saem da
derivada.
\( \dfrac{\partial x}{\partial \phi }=\dfrac{\partial(r\operatorname{sen}\theta \cos \phi)}{\partial \phi}=r\operatorname{sen}\theta \dfrac{\partial (\cos \phi)}{\partial \phi}=r\operatorname{sen}\theta (-\operatorname{sen}\phi)=-r\operatorname{sen}\theta \operatorname{sen}\phi \text{, } \)
\[ \dfrac{\partial x}{\partial \phi }=\dfrac{\partial(r\operatorname{sen}\theta \cos \phi)}{\partial \phi}=r\operatorname{sen}\theta \dfrac{\partial (\cos \phi)}{\partial \phi}=r\operatorname{sen}\theta (-\operatorname{sen}\phi)=-r\operatorname{sen}\theta \operatorname{sen}\phi \]
na derivada em ϕ os valores de r e θ são constantes e o termo em r e o seno saem da
derivada.
\( y=r\operatorname{sen}\theta \operatorname{sen}\phi \):
\( \dfrac{\partial y}{\partial r}=\dfrac{\partial (r\operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}\phi)}{\partial r}=\operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}\phi \dfrac{\partial r}{\partial r}=\operatorname{sen}\theta \operatorname{sen}\phi.1=\operatorname{sen}\theta \operatorname{sen}\phi \text{, } \)
\[ \dfrac{\partial y}{\partial r}=\dfrac{\partial (r\operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}\phi)}{\partial r}=\operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}\phi \dfrac{\partial r}{\partial r}=\operatorname{sen}\theta \operatorname{sen}\phi.1=\operatorname{sen}\theta \operatorname{sen}\phi \]
na derivada em r os valores de θ e ϕ são constantes e os termos em seno saem da derivada.
\( \dfrac{\partial y}{\partial \theta}=\dfrac{\partial(r\operatorname{sen}\theta \operatorname{sen}\phi)}{\partial \theta}=r\operatorname{sen}\phi \dfrac{\partial (\operatorname{sen}\theta)}{\partial \theta}=r\cos \theta \operatorname{sen}\phi \text{, } \)
\[ \frac{\partial y}{\partial \theta}=\frac{\partial(r\operatorname{sen}\theta \operatorname{sen}\phi)}{\partial \theta}=r\operatorname{sen}\phi \frac{\partial (\operatorname{sen}\theta)}{\partial \theta}=r\cos \theta \operatorname{sen}\phi \]
na derivada em θ os valores de r e ϕ são constantes e o termo em r e o seno saem da
derivada.
\( \dfrac{\partial y}{\partial \phi}=\dfrac{\partial(r\operatorname{sen}\theta \operatorname{sen}\phi)}{\partial \phi}=r\operatorname{sen}\theta \dfrac{\partial (\operatorname{sen}\phi)}{\partial \phi }=r\operatorname{sen}\theta \cos \phi \text{, } \)
\[ \dfrac{\partial y}{\partial \phi }=\dfrac{\partial(r\operatorname{sen}\theta \operatorname{sen}\phi)}{\partial \phi}=r\operatorname{sen}\theta \dfrac{\partial (\operatorname{sen}\phi)}{\partial \phi }=r\operatorname{sen}\theta \cos \phi \]
na derivada em ϕ os valores de r e θ são constantes e o termo em r e o seno saem da derivada.
\( z=r\cos \theta \):
\( \dfrac{\partial z}{\partial r}=\dfrac{\partial (r\cos \theta )}{\partial r}=\cos \theta \dfrac{\partial r}{\partial r}=\cos \theta .1=\cos \theta \text{, } \)
\[ \dfrac{\partial z}{\partial r}=\dfrac{\partial (r\cos \theta )}{\partial r}=\cos \theta \dfrac{\partial r}{\partial r}=\cos \theta .1=\cos \theta \]
na derivada em r o valor de θ é constante e o termo em cosseno sai da derivada.
\( \dfrac{\partial z}{\partial \theta}=\dfrac{\partial (r\cos \theta)}{\partial \theta}=r\dfrac{\partial (\cos \theta )}{\partial \theta}=r(-\operatorname{sen}\theta )=-r\operatorname{sen}\theta \text{, } \)
\[ \dfrac{\partial z}{\partial \theta}=\dfrac{\partial (r\cos \theta)}{\partial \theta}=r\dfrac{\partial (\cos \theta )}{\partial \theta}=r(-\operatorname{sen}\theta )=-r\operatorname{sen}\theta \]
na derivada em θ o valor de r é constante e o termo em r sai da derivada.
\( \dfrac{\partial z}{\partial \phi }=\dfrac{\partial (r\cos \theta)}{\partial \phi }=0 \), a função z não depende de ϕ, na derivada em ϕ os valores de r e θ são constantes e a derivada de uma constante é zero.
\[
dA=J\;d\theta \;d\phi
\]
Observação: Não há variação dr pois o corpo é uma casca hemisférica de raio constante igual
a a.
\[
J=\left|
\begin{matrix}
\operatorname{sen}\theta \cos \phi & r\cos \theta\cos \phi & -r\operatorname{sen}\theta \operatorname{sen}\phi\;\\
\;\operatorname{sen}\theta \operatorname{sen}\phi & r\cos \theta\operatorname{sen}\phi & r\operatorname{sen}\theta \cos \phi \;\\
\;\cos\theta & -r\operatorname{sen}\theta & 0\;
\end{matrix}
\right|
\]
desenvolvendo o determinante pela Regra de Sarrus
\[
\begin{gather}
J=(\operatorname{sen}\theta \cos \phi).(r\cos \theta\operatorname{sen}\phi).0+(r\cos \theta \cos \phi).(r\operatorname{sen}\theta \cos\phi).(\cos \theta )\text{+}\\
\qquad\text{+}(-r\operatorname{sen}\theta \operatorname{sen}\phi).(\operatorname{sen}\theta \operatorname{sen}\phi).(-r\operatorname{sen}\theta )-(-r\operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}\phi).(r\cos \theta \operatorname{sen}\phi).(\cos\theta )\text{--}\\
\text{--}(\operatorname{sen}\theta \cos \phi).(r\operatorname{sen}\theta \cos \phi).(-r\operatorname{sen}\theta)-(r\cos \theta \cos \phi).(\operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}\phi).0 \qquad\quad\; \\[5pt]
J=0+r^{2}\cos ^{2}\theta\operatorname{sen}\theta \cos ^{2}\phi+r^{2}\operatorname{sen}^{3}\theta \operatorname{sen}^{2}\phi+r^{2}\cos ^{2}\theta \operatorname{sen}\theta\operatorname{sen}^{2}\phi +r^{2}\operatorname{sen}^{3}\theta \cos^{2}\phi -0\\[5pt]
J=r^{2}[\cos ^{2}\theta \operatorname{sen}\theta \cos^{2}\phi +\operatorname{sen}^{3}\theta \operatorname{sen}^{2}\phi +\cos^{2}\theta \operatorname{sen}\theta \operatorname{sen}^{2}\phi+\operatorname{sen}^{3}\theta \cos ^{2}\phi ]\\[5pt]
J=r^{2}[\cos^{2}\theta \operatorname{sen}\theta \underbrace{(\cos ^{2}\phi+\operatorname{sen}^{2}\phi)}_{1}+\operatorname{sen}^{3}\theta\underbrace{(\cos ^{2}\phi +\operatorname{sen}^{2}\phi)}_{1}]\\[5pt]
J=r^{2}[\cos ^{2}\theta \operatorname{sen}\theta+\operatorname{sen}^{2}\theta \operatorname{sen}\theta]\\[5pt]
J=r^{2}[\underbrace{(\cos ^{2}\theta+\operatorname{sen}^{2}\theta )}_{1}\operatorname{sen}\theta]\\[5pt]
J=r^{2}\operatorname{sen}\theta
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
dA=r^{2}\operatorname{sen}\theta \;d\theta \;d\phi \tag{VI}
\end{gather}
\]
substituindo a expressão (VI) na expressão (IV)
\[
\begin{gather}
\Phi_{E}=\iint E\cos \theta r^{2}\operatorname{sen}\theta \;d\theta \;d\phi \\
\Phi_{E}=\iint Er^{2}\cos \theta \operatorname{sen}\theta \;d\theta \;d\phi
\end{gather}
\]
Como o campo elétrico é uniforme e a integral não depende do raio eles podem “sair” da integral e como não
existem termos “cruzados” em θ e ϕ as integrais podem ser separadas
\[
\Phi_{E}=Er^{2}\int \cos \theta \operatorname{sen}\theta \;d\theta \int d\phi
\]
Os limites de integração serão de 0 a
\( \frac{\pi}{2} \)
em dq e de 0 e 2π em d&varphoi; (uma volta completa na base do hemisfério)
\[
\Phi_{E}=Er^{2}\int_{0}^{{\frac{\pi}{2}}}\cos \theta\operatorname{sen}\theta \;d\theta \int_{0}^{{2\pi}}d\phi
\]
Integral de \( \displaystyle \int_{0}^{{\frac{\pi}{2}}}\cos \theta \operatorname{sen}\theta\;d\theta \)
fazendo a mudança de variável
para θ = 0
temos \( u=\operatorname{sen}0=0 \)
para \( \theta =\dfrac{\pi}{2} \)
temos \( u=\operatorname{sen}\dfrac{\pi}{2}=1 \)
fazendo a mudança de variável
\[
\begin{array}{l}
u=\operatorname{sen}\theta\\
du=\cos\theta \;d\theta \Rightarrow d\theta =\dfrac{du}{\cos \theta}
\end{array}
\]
fazendo a mudança dos extremos de integração
para θ = 0
temos \( u=\operatorname{sen}0=0 \)
para \( \theta =\dfrac{\pi}{2} \)
temos \( u=\operatorname{sen}\dfrac{\pi}{2}=1 \)
\[
\begin{align}
\int_{0}^{1}\cancel{\cos \theta} \;u\;\frac{du}{\cancel{\cos\theta}} & \Rightarrow \int_{0}^{1}u\;du\Rightarrow\left.\frac{u^{\;2}}{2}\;\right|_{\;0}^{\;1}\Rightarrow\\
& \Rightarrow\frac{1^{\;2}}{2}-\frac{0^{\;2}}{2}\;\Rightarrow\;\frac{1}{2}
\end{align}
\]
Integral de \( \displaystyle \int_{0}^{{2\pi}}\;d\phi \)
\[
\int_{0}^{{2\pi}}\;d\phi =\left.\phi \;\right|_{\;0}^{\;2\pi}=2\pi-0=2\pi
\]
\[
\Phi_{E}=Er^{2}\frac{1}{\cancel{2}}\cancel{2}\pi
\]
para r = a
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{\Phi_{E}=\pi a^{2}E}
\]
publicidade
Fisicaexe - Exercícios Resolvidos de Física de Elcio Brandani Mondadori está licenciado com uma Licença Creative Commons - Atribuição-NãoComercial-Compartilha Igual 4.0 Internacional .