Exercício Resolvido de Lei de Gauss
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Calcule o fluxo elétrico através de uma placa circular de raio a imersa num campo elétrico uniforme de intensidade E nos casos:
b) O campo forma um ângulo α com a placa.
Dados do problema:
- Raio do disco: a;
- Intensidade do campo elétrico: E;
- Ângulo entre o campo elétrico e a placa: α.
a) O fluxo elétrico é dado por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\Phi _{E}=\int _{A}\mathbf{E}.d\mathbf{A}} \tag{I}
\end{gather}
\]
Adotando o eixo-x perpendicular à placa e na mesma direção se sentido do vetor campo elétrico (Figura 1)
este pode ser escrito como
\[
\mathbf{E}=E\;\mathbf{i} \tag{II}
\]
onde i é o vetor unitário na direção x.
O vetor elemento de área pode ser escrito como
\[
\begin{gather}
d\mathbf{A}=dA\;\mathbf{n} \tag{III}
\end{gather}
\]
onde n é o vetor unitário na direção perpendicular à placa. Substituindo as expressões (II) e (III)
na expressão (I)
\[
\begin{gather}
\Phi_{E}=\int_{A}E\;\mathbf{i}.dA\;\mathbf{n}\\
\Phi_{E}=\int_{A}EdA\underbrace{\;\mathbf{i}.\;\mathbf{n}}_{1}
\end{gather}
\]
Observação: Como i e n são vetores unitários, seus módulos são iguais a 1, e como
ambos estão na mesma direção o ângulo entre eles é nulo (θ = 0),
\( \mathbf{i}.\mathbf{n}=|\;\mathbf{i}\;|\;|\;\mathbf{n}\;|\;\cos 0=1.1.1=1 \).
\[ \mathbf{i}.\mathbf{n}=|\;\mathbf{i}\;|\;|\;\mathbf{n}\;|\;\cos 0=1.1.1=1 \]
\[
\begin{gather}
\Phi_{E}=\int_{A}EdA \tag{IV}
\end{gather}
\]
Em coordenadas polares as coordenadas x e y são dados por
\[
\begin{gather}
x=r\cos \theta \qquad \text{,} \qquad y=r\operatorname{sen}\theta \tag{V}
\end{gather}
\]
O elemento de área em coordenadas cartesianas é
\[
dA=dx\;dy
\]
para obter o elemento de área em coordenadas polares calculamos o Jacobiano dado pelo determinante
\[
J=\left|
\begin{matrix}
\;\dfrac{\partial x}{\partial r}&\dfrac{\partial x}{\partial \theta }\;\\
\;\dfrac{\partial y}{\partial r}&\dfrac{\partial y}{\partial \theta }\;
\end{matrix}
\right|
\]
Cálculo das derivadas parciais das funções x e y dadas em (V)
\( x=r\cos \theta \):
\( \dfrac{\partial x}{\partial r}=\dfrac{\partial (r\cos \theta )}{\partial r}=\cos \theta \dfrac{\partial r}{\partial r}=\cos \theta .1=\cos \theta \)
\( \dfrac{\partial x}{\partial \theta }=\dfrac{\partial (r\cos \theta)}{\partial \theta }=r\dfrac{\partial (\cos \theta )}{\partial \theta}=r(-\operatorname{sen}\theta)=-r\operatorname{sen}\theta \)
\( y=r\operatorname{sen}\theta \):
\( \dfrac{\partial y}{\partial r}=\dfrac{\partial (r\operatorname{sen}\theta)}{\partial r}=\operatorname{sen}\theta \dfrac{\partial r}{\partial r}=\operatorname{sen}\theta .1=\operatorname{sen}\theta \)
\( \dfrac{\partial y}{\partial \theta }=\dfrac{\partial (r\operatorname{sen}\theta)}{\partial \theta }=r\dfrac{\partial (\operatorname{sen}\theta )}{\partial\theta }=r\cos \theta \)
\( x=r\cos \theta \):
\( \dfrac{\partial x}{\partial r}=\dfrac{\partial (r\cos \theta )}{\partial r}=\cos \theta \dfrac{\partial r}{\partial r}=\cos \theta .1=\cos \theta \)
\[ \dfrac{\partial x}{\partial r}=\dfrac{\partial (r\cos \theta )}{\partial r}=\cos \theta \dfrac{\partial r}{\partial r}=\cos \theta .1=\cos \theta \]
,
na derivada em r o valor de θ é constante e o cosseno sai da derivada.
\( \dfrac{\partial x}{\partial \theta }=\dfrac{\partial (r\cos \theta)}{\partial \theta }=r\dfrac{\partial (\cos \theta )}{\partial \theta}=r(-\operatorname{sen}\theta)=-r\operatorname{sen}\theta \)
\[ \dfrac{\partial x}{\partial \theta }=\dfrac{\partial (r\cos \theta)}{\partial \theta }=r\dfrac{\partial (\cos \theta )}{\partial \theta}=r(-\operatorname{sen}\theta)=-r\operatorname{sen}\theta \]
,
na derivada em θ o valor de r é constante e sai da derivada.
\( y=r\operatorname{sen}\theta \):
\( \dfrac{\partial y}{\partial r}=\dfrac{\partial (r\operatorname{sen}\theta)}{\partial r}=\operatorname{sen}\theta \dfrac{\partial r}{\partial r}=\operatorname{sen}\theta .1=\operatorname{sen}\theta \)
\[ \dfrac{\partial y}{\partial r}=\dfrac{\partial (r\operatorname{sen}\theta)}{\partial r}=\operatorname{sen}\theta \dfrac{\partial r}{\partial r}=\operatorname{sen}\theta .1=\operatorname{sen}\theta \]
,
na derivada em r o valor de θ é constante e o seno sai da derivada.
\( \dfrac{\partial y}{\partial \theta }=\dfrac{\partial (r\operatorname{sen}\theta)}{\partial \theta }=r\dfrac{\partial (\operatorname{sen}\theta )}{\partial\theta }=r\cos \theta \)
\[ \dfrac{\partial y}{\partial \theta }=\dfrac{\partial (r\operatorname{sen}\theta)}{\partial \theta }=r\dfrac{\partial (\operatorname{sen}\theta )}{\partial\theta }=r\cos \theta \]
,
na derivada em θ o valor de r é constante e sai da derivada.
\[
\begin{gather}
dA=dx\;dy=J\;dr\;d\theta\\[8pt]
J=\left|
\begin{matrix}
\;\cos \theta &-r\operatorname{sen}\theta\;\\
\;\operatorname{sen}\theta &r\cos \theta
\end{matrix}
\right|\\[8pt]
J=\cos \theta .r\cos \theta -(-r\operatorname{sen}\theta .\operatorname{sen}\theta )\\[8pt]
J=r\cos^{2}\theta +r\operatorname{sen}^{2}\theta \\[8pt]
J=r(\underbrace{\cos ^{2}\theta+\operatorname{sen}^{2}\theta }_{1})\\[8pt]
J=r
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
dA=r\;dr\;d\theta \tag{VI}
\end{gather}
\]
substituindo a expressão (VI) na expressão (IV)
\[
\Phi_{E}=\iint Er\;dr\;d\theta
\]
Como o campo elétrico é constante pode “sair” da integral, e como não existem termos “cruzados” em r e θ
as integrais podem ser separadas
\[
\Phi_{E}=E\int r\;dr\int d\theta
\]
Os limites de integração serão de 0 a a em dr (ao longo do raio do disco) e de 0 e 2π em dθ
(uma volta completa no disco)
\[
\Phi_{E}=E\int_{0}^{a}r\;dr\int_{0}^{{2\pi}}d\theta
\]
Integral de \( {\displaystyle \int}_{0}^{a}r\;dr \)
\[
\int_{0}^{a}r\;dr=\left.\frac{r^{2}}{2}\;\right|_{\;0}^{\;a}=\frac{a^{2}}{2}-\frac{0^{2}}{2}=\frac{a^{2}}{2}
\]
Integral de \( {\displaystyle \int}_{0}^{{2\pi}}d\theta \)
\[
\int _{0}^{{2\pi}}d\theta=\left.\theta \;\right|_{\;0}^{\;2\pi }=2\pi-0=2\pi
\]
\[
\Phi_{E}=E\frac{a^{2}}{2}2\pi
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{\Phi_{E}=\pi a^{2}E}
\]
b) Adotando um sistema de referência com o eixo-x perpendicular à placa e o eixo-y para cima paralelo à placa (Figura 2) o vetor campo elétrico pode ser escrito como
\[
\begin{gather}
\mathbf{E}=E_{x}\;\mathbf{i}+E_{y}\;\mathbf{j} \tag{VII}
\end{gather}
\]
Para o vetor elemento de área vale a mesma expressão (III).
Substituindo as expressões (III) e (VII) na expressão (I)
\[
\begin{gather}
\Phi_{E}=\int_{A}\left(E_{x}\;\mathbf{i}+E_{y}\;\mathbf{j}\;\right).\mathit{dA}\;\mathbf{n}\\
\Phi_{E}=\int_{A}E_{x}\;\mathbf{i}.\mathit{dA}\;\mathbf{n}+\int_{A}E_{y}\;\mathbf{j}.\mathit{dA}\;\mathbf{n}\\
\Phi_{E}=\int_{A}E_{x}\;\mathit{dA}\underbrace{\;\mathbf{i}.\;\mathbf{n}}_{1}+\int_{A}E_{y}\mathit{dA}\underbrace{\;\mathbf{j}.\;\mathbf{n}}_{0}
\end{gather}
\]
Observação: Como i e n são vetores unitários seus módulos são iguais a 1 e como ambos
estão na mesma direção o ângulo entre eles é nulo (θ = 0),
\( \mathbf{i}.\mathbf{n}=|\;\mathbf{i}\;|\;|\;\mathbf{n}\;|\cos0=1.1.1=1 \).
\[ \mathbf{i}.\mathbf{n}=|\;\mathbf{i}\;|\;|\;\mathbf{n}\;|\cos0=1.1.1=1 \]
.
O vetor unitário j também tem módulo 1, como ele é perpendicular a n
\( \left(\theta =\frac{\pi}{2}\right) \)
o produto escalar será
\( \mathbf{j}.\mathbf{n}=|\;\mathbf{j}\;|\;|\;\mathbf{n}\;|\cos\frac{\pi }{2}=1.1.0=0 \)
\[ \mathbf{j}.\mathbf{n}=|\;\mathbf{j}\;|\;|\;\mathbf{n}\;|\cos\frac{\pi }{2}=1.1.0=0 \]
(Figura 2).
\[
\begin{gather}
\Phi_{E}=\int_{A}E_{x}\;\mathit{dA} \tag{VIII}
\end{gather}
\]
O vetor campo elétrico pode ser decomposto nas direções i e j com componentes Ex e
Ey respectivamente, apenas a componente na direção i contribui para o fluxo elétrico,
assim ela pode ser escrita em termos do campo elétrico e do ângulo de inclinação
\[
\begin{gather}
E_{x}=E\operatorname{sen}\alpha \tag{IX}
\end{gather}
\]
Figura 3
O elemento de área dA será dado pela expressão (VI) obtida acima, substituindo as expressões (VI) e (IX) na expressão (VIII)
\[
\Phi_{E}=\iint E\operatorname{sen}\alpha r\;dr\;d\theta
\]
Como a componente do campo elétrico é uniforme ele pode “sair” da integral, e não existem termos “cruzados” em r
e θ as integrais podem ser separadas
\[
\Phi_{E}=E\operatorname{sen}\alpha \int r\;dr\int d\theta
\]
Os limites de integração serão de 0 a a em dr (ao longo do raio do disco) e de 0 e 2π em dq
(uma volta completa no disco)
\[
\Phi_{E}=E\operatorname{sen}\alpha \int_{0}^{a}r\;dr\int_{0}^{{2\pi}}d\theta
\]
as duas integrais já foram calculadas no item (a)
\[
\Phi_{E}=E\operatorname{sen}\alpha \frac{a^{2}}{\cancel{2}}\cancel{2}\pi
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{\Phi_{E}=\pi a^{2}E\operatorname{sen}\alpha}
\]
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