Dispõem-se de N pilhas idênticas de f.e.m. E e resistência interna r. Estas
pilhas são distribuídas em grupos de X em série, e estas séries são ligadas em paralelo. Pede-se:
a) Determinar o valor de X para que a bateria assim obtida, ligada a um circuito externo de
resistência R, faça circular uma corrente de intensidade máxima;
b) Mostrar que no caso do item anterior a resistência interna da bateria é igual à resistência externa do
circuito.
Dados do problema:
- Força eletromotriz da bateria (f.e.m.): E;
- Resistência interna da bateria: r;
- Resistência externa do circuito: R.
Esquema do problema:
Existem N baterias no circuito, X delas ligadas em série e
\( \frac{N}{X} \)
séries de baterias em paralelo (Figura 1).
Observação: Se tiver dificuldade em entender porque são
\( \frac{N}{X} \)
séries no circuito, pense com valores numéricos. Por exemplo, se
N=12 baterias e existirem
X=3 baterias por série, teremos (Figura 2).
\[
\begin{gather}
n=\frac{N}{X}=\frac{12\;\text{baterias}}{3\;\frac{\text{baterias}}{\text{série}}}=4\;\text{séries}
\end{gather}
\]
Solução:
a) O resistor equivalente de uma associação em série, com todos os resistores de mesmo valor, é dado por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{R_s=nr}
\end{gather}
\]
como cada série tem
n=
X resistores, o resistor equivalente de uma série será
\[
\begin{gather}
R_s=Xr
\end{gather}
\]
Todos as baterias têm o mesmo valor
E, a
f.e.m. de
n baterias iguais em série
é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{V_s=nE}
\end{gather}
\]
como cada série tem
n=
X baterias a
f.e.m. de uma série será
\[
\begin{gather}
V_s=XE
\end{gather}
\]
Assim o circuito pode ser reduzido ao que é mostrado na Figura 3, formado por
\( \frac{N}{X} \)
baterias com resistência interna Xr e f.e.m. XE ligadas em paralelo.
O resistor equivalente de uma associação em em paralelo, com resistores de mesmo valor, é dado por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{R_p=\frac{r}{n}}
\end{gather}
\]
como existem
\( n=\frac{N}{X} \)
resistores, o resistor equivalente do circuito será
\[
\begin{gather}
R_{eq}=\frac{Xr}{\frac{N}{X}} \\[5pt]
R_{eq}=\frac{XrX}{N} \\[5pt]
R_{eq}=\frac{X^2r}{N} \tag{I}
\end{gather}
\]
Como a queda de tensão, numa associação de baterias iguais em paralelo, é a mesma que a queda de tensão em
cada uma das baterias, o valor da f.e.m. do circuito continua sendo XE.
Assim o circuito pode ser representado por uma bateria de resistência interna
\( \frac{X^2r}{N} \)
e
f.e.m. XE. Aplicando a
Lei de Kirchhoff para a única malha do circuito, começando
no resistor externo
R
\[
\begin{gather}
Ri+\frac{X^2r}{N}\;i-XE=0 \\[5pt]
Ri+\frac{X^2r}{N}\;i=XE
\end{gather}
\]
multiplicando toda a equação por N
\[
\begin{gather}
NRi+N\;\frac{X^2r}{N}i=NXE \\[5pt]
NRi+riX^2=NEX
\end{gather}
\]
colocando a corrente i em evidência do lado esquerdo da igualdade
\[
\begin{gather}
i(NR+rX^2)=NEX \\[5pt]
i=\frac{NEX}{NR+rX^2}
\end{gather}
\]
Para determinarmos a corrente máxima devemos derivar esta corrente em função de X e impor que ela
seja igual a zero
Derivada de
\( i=\dfrac{NEX}{NR+rX^2} \)
usando a regra de derivação do quociente de funções:
\( \left(\dfrac{u}{v}\right)^{\text{´}}=\dfrac{u{\text{´}}v-uv{\text{´}}}{v^2} \)
fazendo
\[
\begin{align}
\, & u=NEX \\[5pt]
\, & u{\text{´}}=NE
\end{align}
\]
\[
\begin{align}
\, & v\;=\;NR+rX^2 \\[5pt]
\, & v{\text{´}}=0+2rX=2rX
\end{align}
\]
\[
\begin{gather}
\frac{di}{dX}=\frac{NE(NR+rX^2)-NEX(2rX)}{\left(NR+rX^2\right)^2} \\[5pt]
\frac{di}{dX}=\frac{N^2ER+NErX^2-2NErX^2}{\left(NR+rX^2\right)^2} \\[5pt]
\frac{di}{dX}=\frac{N^2ER-NErX^2}{\left(NR+rX^2\right)^2}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\frac{di}{dX}=\frac{N^2ER-NErX^2}{\left(NR+rX^2\right)^2}=0 \\[5pt]
N^2ER-NErX^2=0.\left(NR+rX^2\right)^2 \\[5pt]
N^2ER-NErX^2=0
\end{gather}
\]
colocando NE em evidência do lado esquerdo da igualdade
\[
\begin{gather}
NE(NR-rX^2)=0 \\[5pt]
NR-rX^2=\frac{0}{NE} \\[5pt]
rX^2=NR \\[5pt]
X^2=\frac{NR}{r}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{X=\sqrt{\;\frac{R}{r}\;N\;}}
\end{gather}
\]
b) Usando a equação (I) que dá o resistor equivalente aos resistores internos das baterias e substituindo
o valor encontrado no item anterior
\[
\begin{gather}
R_{eq}=\frac{\left(\sqrt{\;\dfrac{R}{r}\;N\;}\right)^2r}{N} \\[5pt]
R_{eq}=\frac{\dfrac{R}{\cancel r}\;N\;\cancel r}{N} \\[5pt]
R_{eq}=\frac{R\cancel N}{\cancel N}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{R_{eq}=R}
\end{gather}
\]
