Exercício Resolvido de Força Elétrica e Campo Elétrico

Exercício Resolvido de Força Elétrica

Queremos repartir uma carga Q entre dois corpos. Um dos corpos recebe uma carga q₁ e o outro uma carga q₂. A repartição das cargas é feita de tal modo que se tenha q₁+q₂=Q. Determine a razão entre as cargas para que a repulsão coulombiana entre q₁ e q₂ seja máxima para qualquer distância entre as cargas.

Solução:

O problema nos dá a condição de que a soma das cargas repartidas é a carga total

\[ \begin{gather} Q=q_1+q_2 \tag{I} \end{gather} \]

A força elétrica F_el é dada pela Lei de Coulomb

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {F_{el}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{|q_{\small A}||q_{\small B}|}{r^2}} \end{gather} \]

\[ \begin{gather} F_{el}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q_1q_2}{r^2} \tag{II} \end{gather} \]

Da condição (I) podemos escrever a carga q₂ em função da carga q₁

\[ \begin{gather} q_2=Q-q_1 \tag{III} \end{gather} \]

definindo o termo constante como \( k_0=\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \) e substituindo a equação (III) na equação (II)

\[ \begin{gather} F_{el}=k_0\frac{q_1(Q-q_1)}{r^2} \\[5pt] F_{el}=\frac{k_0}{r^2}(Qq_1-q_1^2) \tag{IV} \end{gather} \]

Para encontrar o ponto de máximo da equação (IV) derivamos a função em relação a q₁ e igualamos a zero.

\[ \begin{gather} \frac{dF_{el}}{dq_1}=0 \\[5pt] \frac{d}{dq_1}\left[\frac{k_0}{r^2}(Qq_1-q_1^2)\right]=0 \end{gather} \]

Derivada de \( \displaystyle F_{el}=\frac{k_0}{r^2}(Qq_1-q_1^2) \)

o termo \( \frac{k_0}{r^2} \) é constante e sai da derivada e a derivada da diferença é a diferença das derivadas

\[ \begin{gather} \frac{dF_{el}}{dq_1}=\frac{k_0}{r^2}\left[\frac{d}{dq_1}(Qq_1)-\frac{d}{dq_1}(q_1^2)\right] \\[5pt] \frac{dF_{el}}{dq_1}=\frac{k_0}{r^2}\left[Q-2q_1\right] \end{gather} \]

\[ \begin{gather} \frac{k_0}{r^2}(Q-2q_1)=0 \\[5pt] Q-2q_1=0\times \frac{r^2}{k_0} \\[5pt] Q-2q_1=0 \\[5pt] 2q_1=Q \\[5pt] q_1=\frac{Q}{2} \end{gather} \]

substituindo este resultado na equação (III) obtemos o valor de q₂

\[ \begin{gather} q_2=Q-\frac{Q}{2} \\[5pt] q_2=\frac{2Q-Q}{2} \\[5pt] q_2=\frac{Q}{2} \end{gather} \]

\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {q_1=q_2=\frac{Q}{2}} \end{gather} \]

O resultado independe da distância r entre as cargas e a força é máxima quando a carga total é repartida igualmente entre os corpos.

Observação 1: a equação (IV) representa uma função quadrática com o termo de maior grau negativo, q₁ < 0, portanto representa uma parábola de “boca” para baixo, assim a função tem um ponto de máximo.

Observação 2: o mesmo resultado seria obtido se escrevêssemos q₁ em função de q₂, \( q_1=Q-q_2 \), e derivássemos a força em função de q₂, \( \left(\frac{dF_{el}}{dq_2}=0\right) \).