Exercício Resolvido de Força Elétrica e Campo Elétrico
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Desejamos repartir uma carga Q entre dois corpos. Um dos corpos recebe uma carga q1 e o outro uma carga q2. A repartição das cargas é feita de tal modo que se tenha q1+q2=Q. Determine a relação entre as cargas para que a repulsão coulombiana entre q1 e q2 seja máxima para qualquer distância entre as cargas.
Solução
O problema nos dá a condição de que a soma das cargas repartidas é a carga total
\[
\begin{gather}
Q=q_{1}+q_{2} \tag{I}
\end{gather}
\]
A força elétrica Fel é dada pela Lei de Coulomb
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{F_{el}=\frac{1}{4\pi \varepsilon_{0}}\frac{|q_{A}||q_{B}|}{r^{2}}}
\]
\[
\begin{gather}
F_{el}=\frac{1}{4\pi \varepsilon _{0}}\frac{q_{1}q_{2}}{r^{2}} \tag{II}
\end{gather}
\]
Da condição (I) podemos escrever a carga q2 em função da carga q1
\[
\begin{gather}
q_{2}=Q-q_{1} \tag{III}
\end{gather}
\]
definindo o termo constante como
\( k_{0}=\frac{1}{4\pi \epsilon _{0}} \)
e substituindo a expressão (III) na expressão (II)
\[
\begin{gather}
F_{el}=k_{0}\frac{q_{1}(Q-q_{1})}{r^{2}}\\
F_{el}=\frac{k_{0}}{r^{2}}(Qq_{1}-q_{1}^{2}) \tag{IV}
\end{gather}
\]
Para encontrar o ponto de máximo da expressão (IV) fazemos a derivada da função em relação a
q1 e igualamos a zero.
\[
\begin{gather}
\frac{dF_{el}}{dq_{1}}=0\\
\frac{d}{dq_{1}}\left[\frac{k_{0}}{r^{2}}(Qq_{1}-q_{1}^{2})\right]=0
\end{gather}
\]
Derivada de \( \displaystyle F_{el}=\frac{k_{0}}{r^{2}}(Qq_{1}-q_{1}^{2}) \)
o termo \( \frac{k_{0}}{r^{2}} \) sai da derivada e a derivada da diferença é a diferença das derivadas
o termo \( \frac{k_{0}}{r^{2}} \) sai da derivada e a derivada da diferença é a diferença das derivadas
\[
\begin{gather}
\frac{dF_{el}}{dq_{1}}=\frac{k_{0}}{r^{2}}\left[\frac{d}{dq_{1}}(Qq_{1})-\frac{d}{dq_{1}}(q_{1}^{2})\right]\\
\frac{dF_{el}}{dq_{1}}=\frac{k_{0}}{r^{2}}\left[Q-2q_{1}\right]
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\frac{k_{0}}{r^{2}}(Q-2q_{1})=0\\
Q-2q_{1}=0.\frac{r^{2}}{k_{0}}\\
Q-2q_{1}=0\\
2q_{1}=Q\\q_{1}=\frac{Q}{2}
\end{gather}
\]
substituindo este resultado na expressão (III) obtemos o valor de q2
\[
\begin{gather}
q_{2}=Q-\frac{Q}{2}\\
q_{2}=\frac{2Q-Q}{2}\\
q_{2}=\frac{Q}{2}
\end{gather}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{q_{1}=q_{2}=\frac{Q}{2}}
\]
O resultado independe da distância r entre as cargas e a força é máxima quando a carga total é
repartida igualmente entre o corpos.
Observação 1: A expressão (IV) representa uma função quadrática com o termo de maior grau
negativo, q1 < 0, portanto representa uma parábola de “boca” para baixo, assim a
função tem um ponto de máximo.
Observação 2: O mesmo resultado seria obtido se escrevessemos q1 em função de q2, \( q_{1}=Q-q_{2} \), e derivássemos a força em função de q2, \( \left(\frac{dF_{el}}{dq_{2}}=0\right) \).
Observação 2: O mesmo resultado seria obtido se escrevessemos q1 em função de q2, \( q_{1}=Q-q_{2} \), e derivássemos a força em função de q2, \( \left(\frac{dF_{el}}{dq_{2}}=0\right) \).
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