Duas cargas de mesmo módulo e sinais opostos estão fixas sobre uma linha horizontal a uma distância
d
uma da outra. Uma esfera, de massa
m carregada com uma carga elétrica, presa a um fio é aproximada,
primeiro de uma das cargas até ficar em equilíbrio exatamente sobre esta a uma altura
d da mesma. A
seguir o fio é deslocado em direção a segunda carga até que a carga fique em equilíbrio sobre a segunda
carga. Encontrar os ângulos de desvio do fio nas duas situações, sabendo-se, que sobre a primeira carga o
ângulo de desvio é duas vezes maior do que o ângulo de desvio sobre a segunda carga.
Dados do problema:
- Distância entre as cargas na horizontal: d;
- Distância entre as cargas na vertical: d;
- Massa da esfera: m;
- Relação entre os ângulos de desvio: θ1 = 2θ2.
Esquema do problema:
Vamos adotar que as cargas fixas (cargas 1 e 2 na Figura 1) tem valor −
Q e +
Q e a carga
suspensa pelo fio tem carga +
q (carga 3).
Nas situações de equilíbrio temos uma distância
d entre as cargas fixas na horizontal, e a carga
suspensa está a uma distância
d na vertical, o ângulo θ
1 é o dobro de
θ
2, dados do problema.
Solução
Inicialmente a carga +
q é aproximada da primeira carga −
Q na vertical, na carga
+
q estará atuando a força peso
P, a força de tensão
T1, a força
elétrica de atração entre +
q e −
Q,
F31, e a força elétrica de repulsão
entre +
q e +
Q,
F32 (Figura 2-A). As forças na vertical se equilibram
restando apenas a componente horizontal da força de repulsão
F32 que tira a carga
+
q da posição de equilíbrio, para que o equilíbrio seja restabelecido ela deve ser deslocada para a
direita (Figura 2-B) até ficar na vertical sobre a carga −
Q, neste instante o fio que prende a
carga +
q forma um ângulo θ
1 com a vertical (Figura 2-C).
A força entre as cargas +
q e −
Q,
F31 atua ao longo do lado do quadrado
que mede
d, pela
Lei de Coulomb o módulo dessa força será
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{F_{el}=\frac{1}{4\pi \varepsilon_{0}}\frac{|q_{A}||q_{B}|}{r^{2}}}
\]
\[
\begin{gather}
F_{31}=\frac{1}{4\pi \varepsilon_{0}}\frac{|q_{3}||q_{1}|}{r^{2}}\\
F_{31}=\frac{1}{4\pi \varepsilon_{0}}\frac{|q||-Q|}{d^{2}}\\
F_{31}=\frac{1}{4\pi \varepsilon_{0}}\frac{qQ}{d^{2}} \tag{I}
\end{gather}
\]
A força entre as cargas +
q e +
Q,
F32, atua ao longo da diagonal de um
quadrado de lado
d formado pela distância entre as cargas +
Q e −
Q, e pela altura
da carga +
q, a diagonal vale
\( d\sqrt{2\;} \)
e esta força forma um ângulo de
\( \frac{\pi}{4} \)
com a horizontal, e o módulo será
\[
\begin{gather}
F_{32}=\frac{1}{4\pi \varepsilon_{0}}\frac{|q_{3}||q_{2}|}{r^{2}}\\
F_{32}=\frac{1}{4\pi \varepsilon_{0}}\frac{|q||Q|}{\left(d\sqrt{2\;}\right)^{2}}\\
F_{32}=\frac{1}{4\pi\varepsilon _{0}}\frac{qQ}{2d^{2}} \tag{II}
\end{gather}
\]
Como a esfera está inicialmente em equilíbrio a somatória das forças que atuam sobre ela é igual a zero
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{\sum \mathbf{F}=0}
\]
aplicando esta condição à situação 1 (Figura 3)
\[
{\mathbf{F}}_{32}+{\mathbf{T}}_{1}+{\mathbf{F}}_{31}+\mathbf{P}=0
\]
Figura 3
onde
\( {\mathbf{F}}_{32}=-F_{32}\cos \dfrac{\pi}{4}\;\mathbf{i}+F_{32}\operatorname{sen}\dfrac{\pi}{4}\;\mathbf{j} \)
\( {\mathbf{T}}_{1}=T_{1}\operatorname{sen}\theta_{1}\;\mathbf{i}+T_{1}\cos \theta_{1}\;\mathbf{j} \)
\( {\mathbf{F}}_{31}=-F_{31}\;\mathbf{j} \)
\( \mathbf{P}=-\mathit{mg}\;\mathbf{j} \)
substituindo os valores de (I) e (II)
\[
\begin{gather}
-F_{32}\cos \frac{\pi}{4}\;\mathbf{i}+F_{32}\operatorname{sen}\frac{\pi}{4}\;\mathbf{j}+T_{1}\operatorname{sen}\theta_{1}\;\mathbf{i}+T_{1}\cos \theta_{1}\;\mathbf{j}-F_{31}\;\mathbf{j}-\mathit{mg}\;\mathbf{j}=0\\[5pt]
-{\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{qQ}{2d^{2}}\frac{\sqrt{2}}{2}}\;\mathbf{i}+\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{qQ}{2d^{2}}\frac{\sqrt{2}}{2}\;\mathbf{j}+T_{1}\operatorname{sen}\theta_{1}\;\mathbf{i}+T_{1}\cos \theta_{1}\;\mathbf{j}-\frac{1}{4\pi \varepsilon_{0}}\frac{qQ}{d^{2}}\;\mathbf{j}-\mathit{mg}\;\mathbf{j}=0
\end{gather}
\]
separando as componentes
\[
\begin{gather}
-{\frac{1}{4\pi \varepsilon_{0}}\frac{qQ}{2d^{2}}\frac{\sqrt{2}}{2}}+T_{1}\operatorname{sen}\theta_{1}=0\\
T_{1}\operatorname{sen}\theta_{1}=\frac{1}{4\pi \varepsilon_{0}}\frac{qQ}{d^{2}}\frac{\sqrt{2}}{4} \tag{III}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\frac{1}{4\pi \varepsilon_{0}}\frac{qQ}{2d^{2}}\frac{\sqrt{2}}{2}+T_{1}\cos \theta_{1}-\frac{1}{4\pi \varepsilon_{0}}\frac{qQ}{d^{2}}-\mathit{mg}=0\\
T_{1}\cos \theta_{1}=\frac{1}{4\pi \varepsilon _{0}}\frac{qQ}{d^{2}}-\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{qQ}{d^{2}}\frac{\sqrt{2}}{4}+\mathit{mg}\\
T_{1}\cos \theta_{1}=\frac{1}{4\pi \varepsilon_{0}}\frac{qQ}{d^{2}}\left(1-\frac{\sqrt{2}}{4}\right)+mg \tag{IV}
\end{gather}
\]
Da mesma maneira no segundo caso, a carga +
q é aproximada da segunda carga +
Q na vertical, na
carga +
q estará atuando a força peso
P, a força de tensão no fio,
T2, a
força de atração entre +
q e −
Q,
F31 e a força de repulsão entre
+
q e +
Q,
F32 (Figura 4-A). As forças na vertical se equilibram restando
apenas a componente horizontal da força de atração
F31 que tira a carga +
q da
posição de equilíbrio, para que o equilíbrio seja restabelecido ela deve ser deslocada para a direita
(Figura 4-B) até ficar na vertical sobre a carga −
Q, neste instante o fio que prende a carga
+
q forma um ângulo θ
2 com a vertical (Figura 4-C).
A força entre as cargas +
q e −
Q,
F31 atua ao longo da diagonal do
quadrado, pela
Lei de Coulomb o módulo dessa força será
\[
\begin{gather}
F_{31}=\frac{1}{4\pi \varepsilon_{0}}\frac{|q_{3}||q_{1}|}{r^{2}}\\F_{31}=\frac{1}{4\pi \varepsilon_{0}}\frac{|q||-Q|}{\left(d\sqrt{2\;}\right)^{2}}\\
F_{31}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{qQ}{2d^{2}} \tag{V}
\end{gather}
\]
A força entre as cargas +
q e +
Q,
F32, será
\[
\begin{gather}
F_{32}=\frac{1}{4\pi \varepsilon_{0}}\frac{|q_{3}||q_{2}|}{r^{2}}\\F_{32}=\frac{1}{4\pi \varepsilon_{0}}\frac{|q||Q|}{d^{2}}\\
F_{32}=\frac{1}{4\pi \varepsilon_{0}}\frac{qQ}{d^{2}} \tag{VI}
\end{gather}
\]
Como a esfera está inicialmente em equilíbrio a somatória das forças que atuam sobre ela é zero,
aplicando esta condição à situação 2 (Figura 5)
\[
{\mathbf{F}}_{32}+{\mathbf{T}}_{1}+{\mathbf{F}}_{31}+\mathbf{P}=0
\]
onde
\( {\mathbf{F}}_{32}=F_{32}\;\mathbf{j} \)
\( {\mathbf{T}}_{2}=T_{2}\operatorname{sen}\theta_{2}\;\mathbf{i}+T_{2}\cos \theta_{2}\;\mathbf{j} \)
\( {\mathbf{F}}_{31}=-F_{31}\cos \dfrac{\pi}{4}\;\mathbf{i}-F_{31}\operatorname{sen}\dfrac{\pi}{4}\;\mathbf{j} \)
\( \mathbf{P}=-\mathit{mg}\;\mathbf{j} \)
Figura 5
substituindo os valores de (V) e (VI)
\[
\begin{gather}
F_{32}\;\mathbf{j}+T_{2}\operatorname{sen}\theta_{2}\;\mathbf{i}+T_{2}\cos \theta_{2}\;\mathbf{j}-F_{31}\cos \frac{\pi}{4}\;\mathbf{i}+F_{31}\operatorname{sen}\frac{\pi}{4}\;\mathbf{j}-mg\;\mathbf{j}=0\\[5pt]
\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{qQ}{d^{2}}\;\mathbf{j}+T_{2}\operatorname{sen}\theta_{2}\;\mathbf{i}+T_{2}\cos \theta_{2}\;\mathbf{j}-\frac{1}{4\pi \varepsilon_{0}}\frac{qQ}{2d^{2}}\frac{\sqrt{2}}{2}\;\mathbf{i}-\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{qQ}{2d^{2}}\frac{\sqrt{2}}{2}\;\mathbf{j}-mg\;\mathbf{j}=0
\end{gather}
\]
separando as componentes
\[
\begin{gather}
-{\frac{1}{4\pi \varepsilon_{0}}\frac{qQ}{2d^{2}}\frac{\sqrt{2}}{2}}+T_{2}\operatorname{sen}\theta_{2}=0\\
T_{2}\operatorname{sen}\theta_{2}=\frac{1}{4\pi \varepsilon_{0}}\frac{qQ}{d^{2}}\frac{\sqrt{2}}{4} \tag{VII}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\frac{1}{4\pi \varepsilon_{0}}\frac{qQ}{d^{2}}+T_{2}\cos \theta_{2}-\frac{1}{4\pi \varepsilon_{0}}\frac{qQ}{2d^{2}}\frac{\sqrt{2\;}}{2}-mg=0\\
T_{2}\cos\theta _{2}=\frac{1}{4\pi \varepsilon_{0}}\frac{qQ}{d^{2}}\frac{\sqrt{2}}{4}-\frac{1}{4\pi \varepsilon_{0}}\frac{qQ}{d^{2}}+mg\\
T_{2}\cos \theta_{2}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{qQ}{d^{2}}\left(\frac{\sqrt{2}}{4}-1\right)+mg \tag{VIII}
\end{gather}
\]
Dividindo a expressão (IV) pela expressão (III)
\[
\begin{gather}
\frac{T_{1}\cos \theta _{1}}{T_{1}\operatorname{sen}\theta_{1}}=\frac{\dfrac{1}{4\pi \varepsilon_{0}}\dfrac{qQ}{d^{2}}\left(1-\dfrac{\sqrt{2}}{4}\right)+mg}{\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{qQ}{d^{2}}\dfrac{\sqrt{2}}{4}}\\[5pt]
\frac{1}{\operatorname{tg}\theta_{1}}=\frac{\cancel{\dfrac{1}{4\pi \varepsilon_{0}}}\cancel{\dfrac{qQ}{d^{2}}}\left(1-\dfrac{\sqrt{2}}{4}\right)}{\cancel{\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}}\cancel{\dfrac{qQ}{d^{2}}}\dfrac{\sqrt{2}}{4}}+\frac{mg}{\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{qQ}{d^{2}}\dfrac{\sqrt{2}}{4}}\\[5pt]
\frac{1}{\operatorname{tg}\theta_{1}}=\left(1-\frac{\sqrt{2}}{4}\right)\frac{4}{\sqrt{2}}+\frac{mg}{\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{qQ}{d^{2}}\dfrac{\sqrt{2}}{4}}\\[5pt]
\frac{1}{\operatorname{tg}\theta_{1}}=\left(\frac{4}{\sqrt{2}}-\frac{\cancel{\sqrt{2}}}{\cancel{4}}\frac{\cancel{4}}{\cancel{\sqrt{2}}}\right)+\frac{mg}{\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{qQ}{d^{2}}\dfrac{\sqrt{2}}{4}}\\[5pt]
\frac{1}{\operatorname{tg}\theta_{1}}=\left(\frac{4}{\sqrt{2}}\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}-1\right)+\frac{mg}{\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{qQ}{d^{2}}\dfrac{\sqrt{2}}{4}}\\[5pt]
\frac{1}{\operatorname{tg}\theta_{1}}=\left(\frac{4\sqrt{2}}{2}-1\right)+\frac{mg}{\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{qQ}{d^{2}}\dfrac{\sqrt{2}}{4}}\\[5pt]
\frac{mg}{\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{qQ}{d^{2}}\dfrac{\sqrt{2}}{4}}=\left(2\sqrt{2}-1\right)-\frac{1}{\operatorname{tg}\theta_{1}} \tag{IX}
\end{gather}
\]
Dividindo a expressão (VIII) pela expressão (VII)
\[
\begin{gather}
\frac{T_{2}\cos \theta_{2}}{T_{2}\operatorname{sen}\theta_{2}}=\frac{\dfrac{1}{4\pi \varepsilon_{0}}\dfrac{qQ}{d^{2}}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{4}-1\right)+mg}{\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{qQ}{d^{2}}\dfrac{\sqrt{2}}{4}}\\[5pt]
\frac{1}{\operatorname{tg}\theta_{2}}=\frac{\cancel{\dfrac{1}{4\pi \varepsilon_{0}}}\cancel{\dfrac{qQ}{d^{2}}}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{4}-1\right)}{\cancel{\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}}\cancel{\dfrac{qQ}{d^{2}}}\dfrac{\sqrt{2}}{4}}+\frac{mg}{\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{qQ}{d^{2}}\dfrac{\sqrt{2}}{4}}\\[5pt]
\frac{1}{\operatorname{tg}\theta_{2}}=\left(\frac{\sqrt{2}}{4}-1\right)\frac{4}{\sqrt{2}}+\frac{mg}{\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{qQ}{d^{2}}\dfrac{\sqrt{2}}{4}}\\[5pt]
\frac{1}{\operatorname{tg}\theta_{2}}=\left(\frac{\cancel{\sqrt{2}}}{\cancel{4}}\frac{\cancel{4}}{\cancel{\sqrt{2}}}-\frac{4}{\sqrt{2}}\right)+\frac{mg}{\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{qQ}{d^{2}}\dfrac{\sqrt{2}}{4}}\\[5pt]
\frac{1}{\operatorname{tg}\theta_{2}}=\left(1-\frac{4}{\sqrt{2}}\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\right)+\frac{mg}{\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{qQ}{d^{2}}\dfrac{\sqrt{2}}{4}}\\[5pt]
\frac{1}{\operatorname{tg}\theta_{2}}=\left(1-\frac{4\sqrt{2}}{2}\right)+\frac{mg}{\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{qQ}{d^{2}}\dfrac{\sqrt{2}}{4}}\\[5pt]
\frac{mg}{\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{qQ}{d^{2}}\dfrac{\sqrt{2}}{4}}=\left(1-2\sqrt{2}\right)-\frac{1}{\operatorname{tg}\theta_{2}} \tag{X}
\end{gather}
\]
Igualando as expressões (IX) e (X)
\[
\begin{gather}
\left(2\sqrt{2}-1\right)-\frac{1}{\operatorname{tg}\theta_{1}}=\left(1-2\sqrt{2}\right)-\frac{1}{\operatorname{tg}\theta_{2}}\\
\frac{1}{\operatorname{tg}\theta _{1}}-\frac{1}{\operatorname{tg}\theta_{2}}=\left(2\sqrt{2}-1\right)-\left(1-2\sqrt{2}\right)\\
\frac{1}{\operatorname{tg}\theta_{1}}-\frac{1}{\operatorname{tg}\theta_{2}}=2\sqrt{2}-1-1+2\sqrt{2}\\
\frac{1}{\operatorname{tg}\theta_{1}}-\frac{1}{\operatorname{tg}\theta_{2}}=4\sqrt{2}-2\\
\frac{1}{\operatorname{tg}\theta_{1}}-\frac{1}{\operatorname{tg}\theta_{2}}=2\left(2\sqrt{2}-1\right)
\end{gather}
\]
Substituindo a condição dada no problema θ
1 = 2θ
2
\[
\frac{1}{\operatorname{tg}2\theta_{2}}-\frac{1}{\operatorname{tg}\theta_{2}}=2\left(2\sqrt{2}-1\right)
\]
Usando a propriedade de trigonometria
\[
\operatorname{tg}(a+b)=\frac{\operatorname{tg}a+\operatorname{tg}b}{1-\operatorname{tg}a\operatorname{tg}b}
\]
sendo
a =
b = θ
2 podemos reescrever
\[
\operatorname{tg}2\theta_{2}=\frac{2\operatorname{tg}\theta_{2}}{1-\operatorname{tg}^{2}\theta_{2}}
\]
\[
\begin{gather}
\frac{1}{\dfrac{2\operatorname{tg}\theta_{2}}{1-\operatorname{tg}^{2}\theta_{2}}}-\frac{1}{\operatorname{tg}\theta_{2}}=2\left(2\sqrt{2}-1\right)\\[8pt]
\frac{1-\operatorname{tg}^{2}\theta_{2}}{2\operatorname{tg}\theta_{2}}-\frac{1}{\operatorname{tg}\theta_{2}}=2\left(2\sqrt{2}-1\right)
\end{gather}
\]
multiplicando toda a equação por 2tgθ
2
\[
\begin{gather}
\qquad \qquad \qquad \frac{1-\operatorname{tg}^{2}\theta_{2}}{2\operatorname{tg}\theta _{2}}-\frac{1}{\operatorname{tg}\theta_{2}}=2\left(2\sqrt{2}-1\right)\qquad (\times\;2\operatorname{tg}\theta_{2})\\[5pt]
\frac{1-\operatorname{tg}^{2}\theta _{2}}{\cancel{2\operatorname{tg}\theta_{2}}}\cancel{2\operatorname{tg}\theta_{2}}-\frac{1}{\cancel{\operatorname{tg}\theta_{2}}}2\cancel{\operatorname{tg}\theta_{2}}=2\left(2\sqrt{2}-1\right)2\operatorname{tg}\theta_{2}\\[5pt]
1-\operatorname{tg}^{2}\theta_{2}-2=4\left(2\sqrt{2}-1\right)\operatorname{tg}\theta_{2}\\[5pt]
-\operatorname{tg}^{2}\theta_{2}-1=4\left(2\sqrt{2}-1\right)\operatorname{tg}\theta_{2}\\[5pt]
\operatorname{tg}^{2}\theta_{2}+4\left(2\sqrt{2}-1\right)\operatorname{tg}\theta_{2}+1=0
\end{gather}
\]
fazendo a mudança de variável
x = tg θ
2 podemos reescrever a equação acima
\[
x^{2}+4\left(2\sqrt{2}-1\right)x+1=0
\]
Solução da
Equação de 2.º Grau \( x^{2}+4\left(2\sqrt{2}-1\right)x+1=0 \)
\[
\begin{array}{l}
\Delta =\left[4(2\sqrt{2\;}-1)\right]^{2}-4.1.1\\
\Delta =16(2\sqrt{2\;}-1)^{2}-4\\
\Delta=16(8-4\sqrt{2\;}+1)-4\\
\Delta =4(35-16\sqrt{2\;})\\[10pt]
x=\dfrac{-4(2\sqrt{2\;}-1)\pm\sqrt{4(35-16\sqrt{2\;})\;}}{2.1}
\end{array}
\]
as duas raízes da equação serão
\[
x_{1}=-0,1394
\\ \quad \text{e} \quad \\
x_{2}=-7,1743
\]
para
x1 teremos θ
2 dado por
\[
\begin{gather}
\operatorname{tg}\theta _{2}=-0,1394\\
\theta_{2}=\operatorname{arc tg}(-0,1394)
\end{gather}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{\theta_{2}=7,94°=7°56'}
\]
da condição do problema temos para θ
1
\[
\theta_{1}=2.7,94
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{\theta_{1}=15,88°=15°52'}
\]
para
x2 teremos θ
2 dado por
\[
\begin{gather}
\operatorname{tg}\theta_{2}=-7,1743\\
\theta_{2}=\operatorname{arc tg}(-7,1743)
\end{gather}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{\theta_{2}=82,06°=82°03'}
\]
da condição do problema temos para θ
1
\[
\theta_{1}=2.82,06
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{\theta_{1}=164,12°=164°04'}
\]