Exercício Resolvido de Força Elétrica e Campo Elétrico
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Duas cargas de mesmo módulo e sinais opostos estão fixas sobre uma linha horizontal a uma distância d uma da outra. Uma esfera, de massa m carregada com uma carga elétrica, presa a um fio é aproximada, primeiro de uma das cargas até ficar em equilíbrio exatamente sobre esta a uma altura d da mesma. A seguir o fio é deslocado em direção a segunda carga até que a carga fique em equilíbrio sobre a segunda carga. Encontrar os ângulos de desvio do fio nas duas situações, sabendo-se, que sobre a primeira carga o ângulo de desvio é duas vezes maior do que o ângulo de desvio sobre a segunda carga.


Dados do problema:
  • Distância entre as cargas na horizontal:    d;
  • Distância entre as cargas na vertical:    d;
  • Massa da esfera:    m;
  • Relação entre os ângulos de desvio:    θ1 = 2θ2.
Esquema do problema:

Vamos adotar que as cargas fixas (cargas 1 e 2 na Figura 1) tem valor −Q e +Q e a carga suspensa pelo fio tem carga +q (carga 3).

Figura 1

Nas situações de equilíbrio temos uma distância d entre as cargas fixas na horizontal, e a carga suspensa está a uma distância d na vertical, o ângulo θ1 é o dobro de θ2, dados do problema.

Solução

Inicialmente a carga +q é aproximada da primeira carga −Q na vertical, na carga +q estará atuando a força peso P, a força de tensão T1, a força elétrica de atração entre +q e −Q, F31, e a força elétrica de repulsão entre +q e +Q, F32 (Figura 2-A). As forças na vertical se equilibram restando apenas a componente horizontal da força de repulsão F32 que tira a carga +q da posição de equilíbrio, para que o equilíbrio seja restabelecido ela deve ser deslocada para a direita (Figura 2-B) até ficar na vertical sobre a carga −Q, neste instante o fio que prende a carga +q forma um ângulo θ1 com a vertical (Figura 2-C).
A força entre as cargas +q e −Q, F31 atua ao longo do lado do quadrado que mede d, pela Lei de Coulomb o módulo dessa força será
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {F_{el}=\frac{1}{4\pi \varepsilon_{0}}\frac{|q_{A}||q_{B}|}{r^{2}}} \]
\[ \begin{gather} F_{31}=\frac{1}{4\pi \varepsilon_{0}}\frac{|q_{3}||q_{1}|}{r^{2}}\\ F_{31}=\frac{1}{4\pi \varepsilon_{0}}\frac{|q||-Q|}{d^{2}}\\ F_{31}=\frac{1}{4\pi \varepsilon_{0}}\frac{qQ}{d^{2}} \tag{I} \end{gather} \]
Figura 2

A força entre as cargas +q e +Q, F32, atua ao longo da diagonal de um quadrado de lado d formado pela distância entre as cargas +Q e −Q, e pela altura da carga +q, a diagonal vale \( d\sqrt{2\;} \) e esta força forma um ângulo de \( \frac{\pi}{4} \) com a horizontal, e o módulo será
\[ \begin{gather} F_{32}=\frac{1}{4\pi \varepsilon_{0}}\frac{|q_{3}||q_{2}|}{r^{2}}\\ F_{32}=\frac{1}{4\pi \varepsilon_{0}}\frac{|q||Q|}{\left(d\sqrt{2\;}\right)^{2}}\\ F_{32}=\frac{1}{4\pi\varepsilon _{0}}\frac{qQ}{2d^{2}} \tag{II} \end{gather} \]
Como a esfera está inicialmente em equilíbrio a somatória das forças que atuam sobre ela é igual a zero
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {\sum \mathbf{F}=0} \]
aplicando esta condição à situação 1 (Figura 3)
\[ {\mathbf{F}}_{32}+{\mathbf{T}}_{1}+{\mathbf{F}}_{31}+\mathbf{P}=0 \]

Figura 3

onde

\( {\mathbf{F}}_{32}=-F_{32}\cos \dfrac{\pi}{4}\;\mathbf{i}+F_{32}\operatorname{sen}\dfrac{\pi}{4}\;\mathbf{j} \)
\( {\mathbf{T}}_{1}=T_{1}\operatorname{sen}\theta_{1}\;\mathbf{i}+T_{1}\cos \theta_{1}\;\mathbf{j} \)
\( {\mathbf{F}}_{31}=-F_{31}\;\mathbf{j} \)
\( \mathbf{P}=-\mathit{mg}\;\mathbf{j} \)

substituindo os valores de (I) e (II)
\[ \begin{gather} -F_{32}\cos \frac{\pi}{4}\;\mathbf{i}+F_{32}\operatorname{sen}\frac{\pi}{4}\;\mathbf{j}+T_{1}\operatorname{sen}\theta_{1}\;\mathbf{i}+T_{1}\cos \theta_{1}\;\mathbf{j}-F_{31}\;\mathbf{j}-\mathit{mg}\;\mathbf{j}=0\\[5pt] -{\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{qQ}{2d^{2}}\frac{\sqrt{2}}{2}}\;\mathbf{i}+\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{qQ}{2d^{2}}\frac{\sqrt{2}}{2}\;\mathbf{j}+T_{1}\operatorname{sen}\theta_{1}\;\mathbf{i}+T_{1}\cos \theta_{1}\;\mathbf{j}-\frac{1}{4\pi \varepsilon_{0}}\frac{qQ}{d^{2}}\;\mathbf{j}-\mathit{mg}\;\mathbf{j}=0 \end{gather} \]
separando as componentes
  • Direção i
\[ \begin{gather} -{\frac{1}{4\pi \varepsilon_{0}}\frac{qQ}{2d^{2}}\frac{\sqrt{2}}{2}}+T_{1}\operatorname{sen}\theta_{1}=0\\ T_{1}\operatorname{sen}\theta_{1}=\frac{1}{4\pi \varepsilon_{0}}\frac{qQ}{d^{2}}\frac{\sqrt{2}}{4} \tag{III} \end{gather} \]
  • Direção j
\[ \begin{gather} \frac{1}{4\pi \varepsilon_{0}}\frac{qQ}{2d^{2}}\frac{\sqrt{2}}{2}+T_{1}\cos \theta_{1}-\frac{1}{4\pi \varepsilon_{0}}\frac{qQ}{d^{2}}-\mathit{mg}=0\\ T_{1}\cos \theta_{1}=\frac{1}{4\pi \varepsilon _{0}}\frac{qQ}{d^{2}}-\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{qQ}{d^{2}}\frac{\sqrt{2}}{4}+\mathit{mg}\\ T_{1}\cos \theta_{1}=\frac{1}{4\pi \varepsilon_{0}}\frac{qQ}{d^{2}}\left(1-\frac{\sqrt{2}}{4}\right)+mg \tag{IV} \end{gather} \]
Da mesma maneira no segundo caso, a carga +q é aproximada da segunda carga +Q na vertical, na carga +q estará atuando a força peso P, a força de tensão no fio, T2, a força de atração entre +q e −Q, F31 e a força de repulsão entre +q e +Q, F32 (Figura 4-A). As forças na vertical se equilibram restando apenas a componente horizontal da força de atração F31 que tira a carga +q da posição de equilíbrio, para que o equilíbrio seja restabelecido ela deve ser deslocada para a direita (Figura 4-B) até ficar na vertical sobre a carga −Q, neste instante o fio que prende a carga +q forma um ângulo θ2 com a vertical (Figura 4-C).
Figura 4

A força entre as cargas +q e −Q, F31 atua ao longo da diagonal do quadrado, pela Lei de Coulomb o módulo dessa força será
\[ \begin{gather} F_{31}=\frac{1}{4\pi \varepsilon_{0}}\frac{|q_{3}||q_{1}|}{r^{2}}\\F_{31}=\frac{1}{4\pi \varepsilon_{0}}\frac{|q||-Q|}{\left(d\sqrt{2\;}\right)^{2}}\\ F_{31}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{qQ}{2d^{2}} \tag{V} \end{gather} \]
A força entre as cargas +q e +Q, F32, será
\[ \begin{gather} F_{32}=\frac{1}{4\pi \varepsilon_{0}}\frac{|q_{3}||q_{2}|}{r^{2}}\\F_{32}=\frac{1}{4\pi \varepsilon_{0}}\frac{|q||Q|}{d^{2}}\\ F_{32}=\frac{1}{4\pi \varepsilon_{0}}\frac{qQ}{d^{2}} \tag{VI} \end{gather} \]
Como a esfera está inicialmente em equilíbrio a somatória das forças que atuam sobre ela é zero, aplicando esta condição à situação 2 (Figura 5)
\[ {\mathbf{F}}_{32}+{\mathbf{T}}_{1}+{\mathbf{F}}_{31}+\mathbf{P}=0 \]
onde

\( {\mathbf{F}}_{32}=F_{32}\;\mathbf{j} \)
\( {\mathbf{T}}_{2}=T_{2}\operatorname{sen}\theta_{2}\;\mathbf{i}+T_{2}\cos \theta_{2}\;\mathbf{j} \)
\( {\mathbf{F}}_{31}=-F_{31}\cos \dfrac{\pi}{4}\;\mathbf{i}-F_{31}\operatorname{sen}\dfrac{\pi}{4}\;\mathbf{j} \)
\( \mathbf{P}=-\mathit{mg}\;\mathbf{j} \)

Figura 5

substituindo os valores de (V) e (VI)
\[ \begin{gather} F_{32}\;\mathbf{j}+T_{2}\operatorname{sen}\theta_{2}\;\mathbf{i}+T_{2}\cos \theta_{2}\;\mathbf{j}-F_{31}\cos \frac{\pi}{4}\;\mathbf{i}+F_{31}\operatorname{sen}\frac{\pi}{4}\;\mathbf{j}-mg\;\mathbf{j}=0\\[5pt] \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{qQ}{d^{2}}\;\mathbf{j}+T_{2}\operatorname{sen}\theta_{2}\;\mathbf{i}+T_{2}\cos \theta_{2}\;\mathbf{j}-\frac{1}{4\pi \varepsilon_{0}}\frac{qQ}{2d^{2}}\frac{\sqrt{2}}{2}\;\mathbf{i}-\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{qQ}{2d^{2}}\frac{\sqrt{2}}{2}\;\mathbf{j}-mg\;\mathbf{j}=0 \end{gather} \]
separando as componentes
  • Direção i
\[ \begin{gather} -{\frac{1}{4\pi \varepsilon_{0}}\frac{qQ}{2d^{2}}\frac{\sqrt{2}}{2}}+T_{2}\operatorname{sen}\theta_{2}=0\\ T_{2}\operatorname{sen}\theta_{2}=\frac{1}{4\pi \varepsilon_{0}}\frac{qQ}{d^{2}}\frac{\sqrt{2}}{4} \tag{VII} \end{gather} \]
  • Direção j
\[ \begin{gather} \frac{1}{4\pi \varepsilon_{0}}\frac{qQ}{d^{2}}+T_{2}\cos \theta_{2}-\frac{1}{4\pi \varepsilon_{0}}\frac{qQ}{2d^{2}}\frac{\sqrt{2\;}}{2}-mg=0\\ T_{2}\cos\theta _{2}=\frac{1}{4\pi \varepsilon_{0}}\frac{qQ}{d^{2}}\frac{\sqrt{2}}{4}-\frac{1}{4\pi \varepsilon_{0}}\frac{qQ}{d^{2}}+mg\\ T_{2}\cos \theta_{2}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{qQ}{d^{2}}\left(\frac{\sqrt{2}}{4}-1\right)+mg \tag{VIII} \end{gather} \]
Dividindo a expressão (IV) pela expressão (III)
\[ \begin{gather} \frac{T_{1}\cos \theta _{1}}{T_{1}\operatorname{sen}\theta_{1}}=\frac{\dfrac{1}{4\pi \varepsilon_{0}}\dfrac{qQ}{d^{2}}\left(1-\dfrac{\sqrt{2}}{4}\right)+mg}{\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{qQ}{d^{2}}\dfrac{\sqrt{2}}{4}}\\[5pt] \frac{1}{\operatorname{tg}\theta_{1}}=\frac{\cancel{\dfrac{1}{4\pi \varepsilon_{0}}}\cancel{\dfrac{qQ}{d^{2}}}\left(1-\dfrac{\sqrt{2}}{4}\right)}{\cancel{\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}}\cancel{\dfrac{qQ}{d^{2}}}\dfrac{\sqrt{2}}{4}}+\frac{mg}{\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{qQ}{d^{2}}\dfrac{\sqrt{2}}{4}}\\[5pt] \frac{1}{\operatorname{tg}\theta_{1}}=\left(1-\frac{\sqrt{2}}{4}\right)\frac{4}{\sqrt{2}}+\frac{mg}{\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{qQ}{d^{2}}\dfrac{\sqrt{2}}{4}}\\[5pt] \frac{1}{\operatorname{tg}\theta_{1}}=\left(\frac{4}{\sqrt{2}}-\frac{\cancel{\sqrt{2}}}{\cancel{4}}\frac{\cancel{4}}{\cancel{\sqrt{2}}}\right)+\frac{mg}{\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{qQ}{d^{2}}\dfrac{\sqrt{2}}{4}}\\[5pt] \frac{1}{\operatorname{tg}\theta_{1}}=\left(\frac{4}{\sqrt{2}}\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}-1\right)+\frac{mg}{\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{qQ}{d^{2}}\dfrac{\sqrt{2}}{4}}\\[5pt] \frac{1}{\operatorname{tg}\theta_{1}}=\left(\frac{4\sqrt{2}}{2}-1\right)+\frac{mg}{\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{qQ}{d^{2}}\dfrac{\sqrt{2}}{4}}\\[5pt] \frac{mg}{\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{qQ}{d^{2}}\dfrac{\sqrt{2}}{4}}=\left(2\sqrt{2}-1\right)-\frac{1}{\operatorname{tg}\theta_{1}} \tag{IX} \end{gather} \]
Dividindo a expressão (VIII) pela expressão (VII)
\[ \begin{gather} \frac{T_{2}\cos \theta_{2}}{T_{2}\operatorname{sen}\theta_{2}}=\frac{\dfrac{1}{4\pi \varepsilon_{0}}\dfrac{qQ}{d^{2}}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{4}-1\right)+mg}{\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{qQ}{d^{2}}\dfrac{\sqrt{2}}{4}}\\[5pt] \frac{1}{\operatorname{tg}\theta_{2}}=\frac{\cancel{\dfrac{1}{4\pi \varepsilon_{0}}}\cancel{\dfrac{qQ}{d^{2}}}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{4}-1\right)}{\cancel{\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}}\cancel{\dfrac{qQ}{d^{2}}}\dfrac{\sqrt{2}}{4}}+\frac{mg}{\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{qQ}{d^{2}}\dfrac{\sqrt{2}}{4}}\\[5pt] \frac{1}{\operatorname{tg}\theta_{2}}=\left(\frac{\sqrt{2}}{4}-1\right)\frac{4}{\sqrt{2}}+\frac{mg}{\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{qQ}{d^{2}}\dfrac{\sqrt{2}}{4}}\\[5pt] \frac{1}{\operatorname{tg}\theta_{2}}=\left(\frac{\cancel{\sqrt{2}}}{\cancel{4}}\frac{\cancel{4}}{\cancel{\sqrt{2}}}-\frac{4}{\sqrt{2}}\right)+\frac{mg}{\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{qQ}{d^{2}}\dfrac{\sqrt{2}}{4}}\\[5pt] \frac{1}{\operatorname{tg}\theta_{2}}=\left(1-\frac{4}{\sqrt{2}}\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\right)+\frac{mg}{\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{qQ}{d^{2}}\dfrac{\sqrt{2}}{4}}\\[5pt] \frac{1}{\operatorname{tg}\theta_{2}}=\left(1-\frac{4\sqrt{2}}{2}\right)+\frac{mg}{\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{qQ}{d^{2}}\dfrac{\sqrt{2}}{4}}\\[5pt] \frac{mg}{\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{qQ}{d^{2}}\dfrac{\sqrt{2}}{4}}=\left(1-2\sqrt{2}\right)-\frac{1}{\operatorname{tg}\theta_{2}} \tag{X} \end{gather} \]
Igualando as expressões (IX) e (X)
\[ \begin{gather} \left(2\sqrt{2}-1\right)-\frac{1}{\operatorname{tg}\theta_{1}}=\left(1-2\sqrt{2}\right)-\frac{1}{\operatorname{tg}\theta_{2}}\\ \frac{1}{\operatorname{tg}\theta _{1}}-\frac{1}{\operatorname{tg}\theta_{2}}=\left(2\sqrt{2}-1\right)-\left(1-2\sqrt{2}\right)\\ \frac{1}{\operatorname{tg}\theta_{1}}-\frac{1}{\operatorname{tg}\theta_{2}}=2\sqrt{2}-1-1+2\sqrt{2}\\ \frac{1}{\operatorname{tg}\theta_{1}}-\frac{1}{\operatorname{tg}\theta_{2}}=4\sqrt{2}-2\\ \frac{1}{\operatorname{tg}\theta_{1}}-\frac{1}{\operatorname{tg}\theta_{2}}=2\left(2\sqrt{2}-1\right) \end{gather} \]
Substituindo a condição dada no problema θ1 = 2θ2
\[ \frac{1}{\operatorname{tg}2\theta_{2}}-\frac{1}{\operatorname{tg}\theta_{2}}=2\left(2\sqrt{2}-1\right) \]
Usando a propriedade de trigonometria
\[ \operatorname{tg}(a+b)=\frac{\operatorname{tg}a+\operatorname{tg}b}{1-\operatorname{tg}a\operatorname{tg}b} \]
sendo a = b = θ2 podemos reescrever
\[ \operatorname{tg}2\theta_{2}=\frac{2\operatorname{tg}\theta_{2}}{1-\operatorname{tg}^{2}\theta_{2}} \]
\[ \begin{gather} \frac{1}{\dfrac{2\operatorname{tg}\theta_{2}}{1-\operatorname{tg}^{2}\theta_{2}}}-\frac{1}{\operatorname{tg}\theta_{2}}=2\left(2\sqrt{2}-1\right)\\[8pt] \frac{1-\operatorname{tg}^{2}\theta_{2}}{2\operatorname{tg}\theta_{2}}-\frac{1}{\operatorname{tg}\theta_{2}}=2\left(2\sqrt{2}-1\right) \end{gather} \]
multiplicando toda a equação por 2tgθ2
\[ \begin{gather} \qquad \qquad \qquad \frac{1-\operatorname{tg}^{2}\theta_{2}}{2\operatorname{tg}\theta _{2}}-\frac{1}{\operatorname{tg}\theta_{2}}=2\left(2\sqrt{2}-1\right)\qquad (\times\;2\operatorname{tg}\theta_{2})\\[5pt] \frac{1-\operatorname{tg}^{2}\theta _{2}}{\cancel{2\operatorname{tg}\theta_{2}}}\cancel{2\operatorname{tg}\theta_{2}}-\frac{1}{\cancel{\operatorname{tg}\theta_{2}}}2\cancel{\operatorname{tg}\theta_{2}}=2\left(2\sqrt{2}-1\right)2\operatorname{tg}\theta_{2}\\[5pt] 1-\operatorname{tg}^{2}\theta_{2}-2=4\left(2\sqrt{2}-1\right)\operatorname{tg}\theta_{2}\\[5pt] -\operatorname{tg}^{2}\theta_{2}-1=4\left(2\sqrt{2}-1\right)\operatorname{tg}\theta_{2}\\[5pt] \operatorname{tg}^{2}\theta_{2}+4\left(2\sqrt{2}-1\right)\operatorname{tg}\theta_{2}+1=0 \end{gather} \]
fazendo a mudança de variável x = tg θ2 podemos reescrever a equação acima
\[ x^{2}+4\left(2\sqrt{2}-1\right)x+1=0 \]
Solução da Equação de 2.º Grau   \( x^{2}+4\left(2\sqrt{2}-1\right)x+1=0 \)
\[ \begin{array}{l} \Delta =\left[4(2\sqrt{2\;}-1)\right]^{2}-4.1.1\\ \Delta =16(2\sqrt{2\;}-1)^{2}-4\\ \Delta=16(8-4\sqrt{2\;}+1)-4\\ \Delta =4(35-16\sqrt{2\;})\\[10pt] x=\dfrac{-4(2\sqrt{2\;}-1)\pm\sqrt{4(35-16\sqrt{2\;})\;}}{2.1} \end{array} \]
as duas raízes da equação serão
\[ x_{1}=-0,1394 \\ \quad \text{e} \quad \\ x_{2}=-7,1743 \]

para x1 teremos θ2 dado por
\[ \begin{gather} \operatorname{tg}\theta _{2}=-0,1394\\ \theta_{2}=\operatorname{arc tg}(-0,1394) \end{gather} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {\theta_{2}=7,94°=7°56'} \]
da condição do problema temos para θ1
\[ \theta_{1}=2.7,94 \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {\theta_{1}=15,88°=15°52'} \]
para x2 teremos θ2 dado por
\[ \begin{gather} \operatorname{tg}\theta_{2}=-7,1743\\ \theta_{2}=\operatorname{arc tg}(-7,1743) \end{gather} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {\theta_{2}=82,06°=82°03'} \]
da condição do problema temos para θ1
\[ \theta_{1}=2.82,06 \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {\theta_{1}=164,12°=164°04'} \]
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