Exercício Resolvido de Força Elétrica e Campo Elétrico
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Duas cargas iguais de mesmo sinal estão separadas por uma distância 2d. O módulo do campo elétrico nos pontos ao longo da mediatriz da reta que une as duas cargas é dado por
\[
\begin{gather}
E=\frac{1}{4\pi \epsilon_0}\frac{2qy}{\left(a^2+y^2\right)^{3/2}}
\end{gather}
\]
Determine:
a) Os pontos ao longo do eixo-y, para os quais o módulo do campo elétrico assume seu valor máximo;
b) O módulo do campo elétrico máximo.
Solução
a) Para encontramos o valor máximo do campo elétrico devemos derivar a função do campo elétrico em função de y, E(y), e igualar a zero
\[
\begin{gather}
\frac{dE}{dy}=0
\end{gather}
\]
Derivada de \( \displaystyle E(y)=\frac{1}{4\pi \epsilon_0}\frac{2qy}{\left(a^2+y^2\right)^{3/2}} \)
A função E(y) é o quociente de dua funções, usando a regra da derivada do quociente
A função E(y) é o quociente de dua funções, usando a regra da derivada do quociente
\[
\begin{gather}
\left(\frac{u}{v}\right)^{'}=\frac{u'v-uv'}{v^2}
\end{gather}
\]
onde
\( u(y)=y \)
e
\( v(y)=\frac{1}{\left(a^2+y^2\right)^{3/2}} \)
\[
\begin{gather}
\frac{dE}{dy}=\frac{2q}{4\pi \epsilon_0}\frac{\dfrac{d(y)}{dy}\left(a^2+y^2\right)^{3/2}-(y)\dfrac{d\left[\left(a^2+y^2\right)^{3/2}\right]}{dy}}{\left[\left(a^2+y^2\right)^{3/2}\right]^2}
\end{gather}
\]
a função v(y) é uma função composta, usando a Regra da Cadeia
\[
\begin{gather}
\frac{dv[w(y)]}{dy}=\frac{dv}{dw}\frac{dw}{dy}
\end{gather}
\]
onde
\( v(w)=w^{3/2} \)
e
\( w(y)=a^2+y^2 \)
\[
\begin{gather}
\frac{dE}{dy}=\frac{2q}{4\pi\epsilon_0}\frac{1\times\left(a^2+y^2\right)^{3/2}-y\left[\dfrac{d\left(w^{3/2}\right)}{dg}\dfrac{d\left(a^2+y^2\right)}{dy}\right]}{\left(a^2+y^2\right)^3}\\[5pt]
\frac{dE}{dy}=\frac{2q}{4\pi\epsilon_0}\frac{\left(a^2+y^2\right)^{3/2}-y\left[\left(\dfrac{3}{\cancel 2}w^{\frac{3}{\cancel 2}-1}\right)(\cancel 2 y)\right]}{\left(a^2+y^2\right)^3}\\[5pt]
\frac{dE}{dy}=\frac{2q}{4\pi\epsilon_0}\frac{\left(a^2+y^2\right)^{3/2}-3\left(a^2+y^2\right)^{1/2}y^2}{\left(a^2+y^2\right)^3}\\[5pt]
\frac{dE}{dy}=\frac{2q}{4\pi\epsilon_0}\left[\frac{\left(a^2+y^2\right)^{3/2}}{\left(a^2+y^2\right)^3}-\frac{3\left(a^2+y^2\right)^{1/2}y^2}{\left(a^2+y^2\right)^3}\right]\\[5pt]
\frac{dE}{dy}=\frac{2q}{4\pi\epsilon_0}\left[\frac{1}{\left(a^2+y^2\right)^3\left(a^2+y^2\right)^{-3/2}}-\frac{3y^2}{\left(a^2+y^2\right)^3\left(a^2+y^2\right)^{-1/2}}\right]\\[5pt]
\frac{dE}{dy}=\frac{2q}{4\pi\epsilon_0}\left[\frac{1}{\left(a^2+y^2\right)^{3/2}}-\frac{3y^2}{\left(a^2+y^2\right)^{5/2}}\right]
\end{gather}
\]
Igualando a derivada a zero
\[
\begin{gather}
\frac{2q}{4\pi\epsilon_0}\left[\frac{1}{\left(a^2+y^2\right)^{3/2}}-\frac{3y^2}{\left(a^2+y^2\right)^{5/2}}\right]=0\\[5pt]
\frac{1}{\left(a^2+y^2\right)^{3/2}}=\frac{3y^2}{\left(a^2+y^2\right)^{5/2}}\\[5pt]
\frac{\left(a^2+y^2\right)^{5/2}}{\left(a^2+y^2\right)^{3/2}}=3y^2\\[5pt]
\left(a^2+y^2\right)^{5/2}\left(a^2+y^2\right)^{-3/2}=3y^2\\[5pt]
\left(a^2+y^2\right)^{\frac{5}{2}-\frac{3}{2}}=3y^2\\[5pt]
\left(a^2+y^2\right)^{\frac{2}{2}}=3y^2\\[5pt]
a^2+y^2=3y^2\\[5pt]
3y^2-y^2=a^2\\[5pt]
y^2=\frac{a^2}{2}\\[5pt]
y=\sqrt{\frac{a^2}{2}}\\[5pt]
y=\pm{\frac{a}{\sqrt 2}\times\frac{\sqrt 2}{\sqrt{2}}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{y=\frac{a\sqrt{2}}{2}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{y=-{\frac{a\sqrt{2}}{2}}}
\end{gather}
\]
b) Substituindo os valores de y encontrados no item (a) na equação dada no problema
\[
\begin{gather}
E\left(\small{\frac{a\sqrt 2}{2}}\right)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{2q\dfrac{a\sqrt 2}{2}}{\left[a^2+\left(\dfrac{a\sqrt 2}{2}\right)^2\right]^{3/2}}\\[5pt]
E\left(\small{\frac{a\sqrt 2}{2}}\right)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{2q}{\left[a^2+\dfrac{a^2}{2}\right]^{3/2}}\frac{a\sqrt 2}{2}\\[5pt]
E\left(\small{\frac{a\sqrt 2}{2}}\right)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{2q}{\left[\dfrac{2a^2+a^2}{2}\right]^{3/2}}\frac{a\sqrt 2}{2}\\[5pt]
E\left(\small{\frac{a\sqrt 2}{2}}\right)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{2q}{\left[\dfrac{3a^2}{2}\right]^{3/2}}\frac{a\sqrt 2}{2}\\[5pt]
E\left(\small{\frac{a\sqrt 2}{2}}\right)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{2q}{\dfrac{3a^2}{2}\left[\dfrac{3a^2}{2}\right]^{1/2}}\frac{a\sqrt 2}{2}\\[5pt]
E\left(\small{\frac{a\sqrt 2}{2}}\right)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{2q}{\dfrac{3a^2}{\cancel 2}\dfrac{\cancel a\sqrt 3}{\sqrt 2}}\frac{\cancel a\sqrt 2}{\cancel 2}\\[5pt]
E\left(\small{\frac{a\sqrt 2}{2}}\right)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{2q}{3a^2\sqrt 3}\sqrt 2\times\sqrt 2
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{E=\frac{1}{4\pi \epsilon _0}\frac{4q}{3\sqrt 3 a^2}}
\end{gather}
\]
Observação: O cálculo feito com o valor
\( y=-{\frac{a\sqrt 2}{2}} \)
dá o resultado
\[
\begin{gather}
E=-{\frac{1}{4\pi\epsilon_0}}\frac{4q}{3\sqrt 3 a^2}
\end{gather}
\]
o sinal de negativo indica que o vetor campo elétrico está apontando na direção oposta ao vetor
unitário j (Figura 1).
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