Determine o vetor campo elétrico de um dipolo nos pontos ao longo da linha reta que une as duas cargas do
dipolo. Verifique a solução para pontos muito afastados do centro do dipolo.
Esquema do problema:
O vetor r localiza o ponto P, onde queremos calcular o campo elétrico em relação à origem e
é escrito como
\( \mathbf r=x\;\mathbf i \).
O vetor r1 vai da origem até a carga −q, é dado por
\( \mathbf r_1=-d\;\mathbf i \).
O vetor r−r1 vai da carga até o ponto P, é dado por
\( \mathbf r-\mathbf r_1=x\;\mathbf i-(-d\;\mathbf i)=(x+d)\;\mathbf i \),
(Figura 1).
O vetor r é o mesmo da situação anterior. O vetor r2 vai da origem até a carga
+q, e é dado por
\( \mathbf r_2=d\;\mathbf i \).
O vetor r−r2 vai da carga até o ponto P, e é dado por
\( \mathbf r-\mathbf r_2=(x-d)\;\mathbf i \),
(Figura 2).
Solução:
O vetor do campo elétrico de um sistema discreto de cargas é calculado por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\mathbf E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\;\sum_{i=1}^{n}\;\frac{q_{i}}{\left|\mathbf r-\mathbf r_{i}\right|^2}\;\frac{\mathbf r-\mathbf r_{i}}{\left|\mathbf r-\mathbf r_{i}\right|}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\mathbf E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\left\{\frac{q_1}{\left|\mathbf r-\mathbf r_1\right|^2}\;\frac{\mathbf r-\mathbf r_1}{\left|\mathbf r-\mathbf r_1\right|}+\frac{q_2}{\left|\mathbf r-\mathbf r_2\right|^2}\;\frac{\mathbf r-\mathbf r_2}{\left|\mathbf r-\mathbf r_2\right|}\right\}
\end{gather}
\]
Os denominadores da equação acima são escritos como
\( \left|\mathbf r-\mathbf r_1\right|=\sqrt{(x+d)^2\;}=x+d \),
\( \left|\mathbf r-\mathbf r_1\right|^2=(x+d)^2 \),
\( \left|\mathbf r-\mathbf r_2\right|=\sqrt{(x-d)^2\;}=x-d \)
e
\( \left|\mathbf r-\mathbf r_2\right|^2=(x-d)^2 \).
\[
\begin{gather}
\mathbf E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\left\{\frac{-q}{\left(x+d\right)^{\cancelto{2}{3}}}\;\cancel{\left(x+d\right)}\;\mathbf i+\frac{q}{\left(x-d\right)^{\cancelto{2}{3}}}\;\cancel{\left(x-d\right)}\;\mathbf i\right\} \\[5pt]
\mathbf E=\frac{q}{4\pi\epsilon_0}\left\{\frac{-1}{\left(x+d\right)^2}+\frac{1}{\left(x-d\right)^2}\right\}\;\mathbf i \\[5pt]
\mathbf E=\frac{q}{4\pi\epsilon_0}\left\{\frac{-\left(x-d\right)^2+\left(x+d\right)^2}{\left(x+d\right)^2\left(x-d\right)^2}\right\}\;\mathbf i\\[10pt]
\mathbf E=\frac{q}{4\pi\epsilon_0}\left\{\frac{-\left(x^2-2xd+d^2\right)+x^2+2xd+d^2}{\left(x+d\right)^2\left(x-d\right)^2}\right\}\;\mathbf i \\[5pt]
\mathbf{\text{E}}=\frac{q}{4\pi\epsilon_0}\left\{\frac{-x^2+2xd-d^2+x^2+2xd+d^2}{\left(x+d\right)^2\left(x-d\right)^2}\right\}\;\mathbf i \\[5pt]
\mathbf E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{4qxd}{\left(x+d\right)^2\left(x-d\right)^2}\;\mathbf i
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{\mathbf E=\frac{1}{\pi\epsilon_0}\frac{qxd}{\left(x+d\right)^2\left(x-d\right)^2}\;\mathbf i}
\end{gather}
\]
Observação 1: Em um problema unidimensional a solução vetorial é igual à solução escalar.
Observação 2: O momento de dipolo
p é dado pelo produto da carga pela distância entre
elas, no resultado acima temos em módulo
\[
\begin{gather}
p=q\times(2d)
\end{gather}
\]
a solução é escrita como
\[
\begin{gather}
\mathbf E=\frac{1}{2\pi\epsilon_0}\frac{px}{\left(x+d\right)^2\left(x-d\right)^2}\;\mathbf i
\end{gather}
\]
Para pontos muito afastados do centro do dipolo temos, x≫d, podemos desprezar o termo em
d2 no denominador e a solução será
\[
\begin{gather}
\mathbf E=\frac{1}{\pi\epsilon_0}\frac{q\cancel{x}d}{x^{\cancelto{3}{4}}}\;\mathbf i
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{\mathbf E=\frac{1}{\pi\epsilon_0}\frac{qd}{x^3}\;\mathbf i}
\end{gather}
\]
Observação: Usando o momento de dipolo a solução é escrita como
\[
\begin{gather}
\mathbf E=\frac{1}{2\pi\epsilon_0}\frac{p}{x^3}\;\mathbf i
\end{gather}
\]
EN
