Determine o vetor campo elétrico de um dipolo nos pontos situados na mediatriz do dipolo. Verifique a
solução para pontos muito afastados do centro do dipolo.
Esquema do problema:
O vetor r localiza o ponto P, onde queremos calcular o campo elétrico, em relação à
origem e é escrito como
\( \mathbf r=d\;\mathbf i+y\;\mathbf j \).
O vetor r1 vai da origem até a carga +q, como a carga está localizada
na origem este vetor é igual à zero,
\( \mathbf r_1=\mathbf{0} \).
O vetor r−r1 vai carga até o ponto P, neste caso
coincide com o vetor r, é dado por
\( \mathbf r-\mathbf r_1=d\;\mathbf i+y\;\mathbf j-\mathbf{0}=d\;\mathbf i+y\;\mathbf j \),
(Figura 1).
O vetor r é o mesmo da situação anterior. O vetor r2 vau da origem
até a carga −q, e é dado por
\( \mathbf r_2=2d\mathbf i \).
O vetor r−r2 vai da carga até o ponto P, e é dado por
\( \mathbf r-\mathbf r_2=d\;\mathbf i+y\;\mathbf j-2d\mathbf i=-d\;\mathbf i+y\;\mathbf j \),
(Figura 2).
Solução:
O vetor do campo elétrico de um sistema discreto de cargas é calculado por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\mathbf E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\;\sum_{i=1}^{n}\;\frac{q_{i}}{\left|\mathbf r-\mathbf r_{i}\right|^2}\;\frac{\mathbf r-\mathbf r_{i}}{\left|\mathbf r-\mathbf r_{i}\right|}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\mathbf E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\left\{\frac{q_1}{\left|\mathbf r-\mathbf r_1\right|^2}\;\frac{\mathbf r-\mathbf r_1}{\left|\mathbf r-\mathbf r_1\right|}+\frac{q_2}{\left|\mathbf r-\mathbf r_2\right|^2}\;\frac{\mathbf r-\mathbf r_2}{\left|\mathbf r-\mathbf r_2\right|}\right\}
\end{gather}
\]
Os denominadores da equação acima são escritos como
\( \left|\mathbf r-\mathbf r_1\right|=\sqrt{d^2+y^2\;} \),
\( \left|\mathbf r-\mathbf r_1\right|^2=d^2+y^2 \),
\( \left|\mathbf r-\mathbf r_2\right|=\sqrt{(-d)^2+y^2\;}=\sqrt{d^2+y^2\;} \).
e
\( \left|\mathbf r-\mathbf r_2\right|^2=d^2+y^2 \)
\[
\begin{gather}
\mathbf E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\left\{\frac{q}{\left(d^2+y^2\right)^{3/2}}\;\left(d\;\mathbf i+y\;\mathbf j\right)+\frac{-q}{\left(d^2+y^2\right)^{3/2}}\;\left(-d\;\mathbf i+y\;\mathbf j\right)\right\} \\[5pt]
\mathbf E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q}{\left(d^2+y^2\right)^{3/2}}\left[d\;\mathbf i+y\;\mathbf j+d\;\mathbf i-y\;\mathbf j\right] \\[5pt]
\mathbf E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{2dq}{\left(d^2+y^2\right)^{3/2}}\;\mathbf i
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{\mathbf E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{2qd}{\left(d^2+y^2\right)^{3/2}}\;\mathbf i}
\end{gather}
\]
Observação: O momento de dipolo
p é dado pelo produto da carga pela distância entre
elas, no resultado acima temos em módulo
\[
\begin{gather}
p=q\times (2d)
\end{gather}
\]
a solução é escrita como
\[
\begin{gather}
\mathbf E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{p}{\left(d^2+y^2\right)^{3/2}}\;\mathbf i
\end{gather}
\]
Para pontos muito afastados do centro do dipolo temos, y≫d, podemos desprezar o termo em
d2 no denominador e a solução será
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{\mathbf E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{2qd}{y^3}\;\mathbf i}
\end{gather}
\]
Observação: Usando o momento de dipolo a solução é escrita como
\[
\begin{gather}
\mathbf E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{p}{y^3}\;\mathbf i
\end{gather}
\]
EN
