Determine o torque que atua sobre um dipolo elétrico imerso num campo elétrico uniforme. Determine também a
energia potência deste dipolo.
Esquema do problema:
O dipolo é formado por cargas de mesmo valor e sinais contrários, +q e −q, colocadas
em um campo elétrico uniforme E. Na carga positiva atua uma força elétrica FE
no mesmo sentido do campo elétrico e na carga negativa atua uma força elétrica mesma intensidade e
sentido oposto ao campo elétrico (Figura 1).
Escolhemos como referência a carga negativa, o vetor posição r aponta em direção a carga
positiva, onde p é o momento de dipolo elétrico do sistema, e θ é o ângulo entre o
segmento que liga as cargas do dipolo e o campo elétrico.
Solução:
Sob a ação do par de forças elétricas este sistema gira sob a ação de um torque dado por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\mathbf N=\mathbf r\times{\mathbf F}}
\end{gather}
\]
a única força que atua no sistema é a força elétrica FE
\[
\begin{gather}
\mathbf N=\mathbf r\times{\mathbf F}_{\small E} \tag{I}
\end{gather}
\]
A força elétrica é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{{\mathbf F}_{\small E}=q\mathbf E} \tag{II}
\end{gather}
\]
substituindo a equação (II) na equação (I)
\[
\begin{gather}
\mathbf N=\mathbf r\times q\mathbf E \\[5pt]
\mathbf N=q\mathbf r\times{\mathbf E} \tag{III}
\end{gather}
\]
O momento de dipolo é dado por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\mathbf{p}=q\mathbf r} \tag{IV}
\end{gather}
\]
substituindo a equação (IV) na equação (III)
\[
\begin{gather}
\mathbf N=\mathbf{p}\times{\mathbf E}
\end{gather}
\]
Usando a definição do
Produto Vetorial
\[
\begin{gather}
\mathbf{c}=\mathbf{a}\times{\mathbf{b}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
|\;c\;|=|\;a\;||\;b\;|\operatorname{sen}\theta
\end{gather}
\]
O torque será
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{N=pE\operatorname{sen}\theta}
\end{gather}
\]
O trabalho de uma força é dado por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{W=\int F\;dr}
\end{gather}
\]
substituindo a força pelo torque, F = N, e o deslocamento pelo deslocamento angular.
dr = dθ
\[
\begin{gather}
W=\int N \;d\theta \\[5pt]
W=\int pE\operatorname{sen}\theta\;d\theta \\[5pt]
W=pE\int_{\theta_0}^{\theta}\operatorname{sen}\theta\;d\theta \\[5pt]
W=pE\left.\left(-\cos\theta\right)\right|_{\;\theta_0}^{\;\theta}\\[5pt]
W=-pE\left(\cos\theta-\cos\theta_0\right)
\end{gather}
\]
O trabalho é armazenado na forma de energia potencial do sistema
\[
\begin{gather}
W=\Delta U \\[5pt]
\Delta U=-pE(\cos\theta-\cos\theta_0)
\end{gather}
\]
escolhendo para situação inicial
\( \theta_0=\frac{\pi}{2}\Rightarrow \cos\theta_0=0 \)
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{U=-pE\cos\theta}
\end{gather}
\]
Usando a definição do
Produto Escalar
\[
\begin{gather}
c=|\;a\;||\;b\;|\cos\theta
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
c=\mathbf{a}\cdot {\mathbf{b}}
\end{gather}
\]
podemos escrever
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{U=-{\mathbf{p}}\cdot {\mathbf E}}
\end{gather}
\]
EN
