Exercício Resolvido de Força Elétrica e Campo Elétrico
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Um disco de raio a está carregado com uma densidade de carga diretamente proporcional a posição
radial. Calcule o vetor campo elétrico em um ponto P sobre o eixo de simetria perpendicular ao
plano do disco a uma distância z do seu centro.
Dados do problema:
- Raio do disco: a;
- Distância ao ponto onde se quer o campo elétrico: z.
Esquema do problema:
A densidade superficial de carga do disco é diretamente proporcional à posição radial da carga (Figura 1)
\[
\begin{gather}
\sigma(r)=\alpha r \tag{I}
\end{gather}
\]
onde α é uma constante que torna a equação dimensionalmente consistente. Assim no centro do
disco onde o raio é nulo a densidade de carga é nula, na borda onde o raio é igual a a, a
densidade de carga vale αa.
O vetor posição r vai de um elemento de carga dq do disco até o ponto P onde se deseja calcular o campo elétrico, o vetor rq localiza o elemento de carga em relação à origem do referencial e o vetor rp localiza o ponto P (Figura 2-A).
\[
\begin{gather}
\mathbf r={\mathbf r}_p-{\mathbf r}_q
\end{gather}
\]
O vetor rq, que está no plano-xy, é escrito como \( {\mathbf r}_q=x\;\mathbf i+y\;\mathbf j \) e o vetor rp só possui componente na direção k, \( {\mathbf r}_p=z\;\mathbf k \), o vetor posição será (Figura 2-B)
\[
\begin{gather}
\mathbf r=z\;\mathbf k-\left(x\;\mathbf i+y\;\mathbf j\right)\\
\mathbf r=-x\;\mathbf i-y\;\mathbf j+z\;\mathbf k \tag{II}
\end{gather}
\]
Da equação (II) o módulo do vetor posição r será
\[
\begin{gather}
r^2=x^2+y^2+z^2 \\[5pt]
r=\left(x^2+y^2+z^2\right)^{\frac{1}{2}} \tag{III}
\end{gather}
\]
fazendo as seguintes definições para x, y e z (Figura 2-B)
\[
\left\{
\begin{array}{l}
x=r_q\cos\theta \\
y=r_q\operatorname{sen}\theta \\
z=z
\end{array}
\right. \tag{IV}
\]
Solução:
O vetor campo elétrico é dado por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\mathbf E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int{\frac{dq}{r^2}\;\frac{\mathbf r}{r}}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\mathbf E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int{\frac{dq}{r^3}\;\mathbf r} \tag{V}
\end{gather}
\]
Da equação da densidade superficial de carga σ obtemos o elemento de carga dq
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\sigma(r)=\frac{dq}{dA}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
dq=\sigma\;dA \tag{VI}
\end{gather}
\]
onde dA é um elemento de área de ângulo dθ do disco (Figura 3)
\[
\begin{gather}
dA=r_q\;dr_q\;d\theta \tag{VII}
\end{gather}
\]
substituindo as equações (I) e (VII) na equação (VI)
\[
\begin{gather}
dq=\alpha r_q^2\;dr_q\;d\theta \tag{VIII}
\end{gather}
\]
Substituindo as equações (II), (III) e (VII) na equação (V), e como a integração é feita sobre a superfície do disco, depende de duas variáveis r e θ, temos uma integral dupla
\[
\begin{gather}
\mathbf E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\iint{\frac{\alpha r_q^2\;dr_q\;d\theta}{\left[\left(x^2+y^2+z^2\right)^{\frac{1}{2}}\right]^3}}\left(-x\;\mathbf i-y\;\mathbf j+z\;\mathbf k\right) \\[5pt]
\mathbf E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\iint{\frac{\alpha r_q^2\;dr_q\;d\theta}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^{\frac{3}{2}}}}\left(-x\;\mathbf i-y\;\mathbf j+z\;\mathbf k\right) \tag{IX}
\end{gather}
\]
substituindo as equações (IV) na equação (VIII)
\[
\begin{gather}
\mathbf E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\iint{\frac{\alpha r_q^2\;dr_q\;d\theta}{\left[\left(r_q\cos\theta\right)^2+\left(r_q\operatorname{sen}\theta\right)^2+z^2\right]^{\frac{3}{2}}}\left(-r_q\cos\theta\;\mathbf i-r_q\operatorname{sen}\theta\;\mathbf j+z\;\mathbf k\right)} \\[5pt]
\mathbf E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\iint{\frac{\alpha r_q^2\;dr_q\;d\theta}{\left[r_q^2\cos^2\theta+r_q^2\operatorname{sen}^2\theta+z^2\right]^{\frac{3}{2}}}\left(-r_q\cos\theta\;\mathbf i-r_q\operatorname{sen}\theta\;\mathbf j+z\;\mathbf k\right)} \\[5pt]
\mathbf E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\iint{\frac{\alpha r_q^2\;dr_q\;d\theta}{\left[r_q^2\left(\underbrace{\cos^2\theta+\operatorname{sen}^2\theta}_1\right)+z^2\right]^{\frac{3}{2}}}\left(-r_q\cos\theta\;\mathbf i-r_q\operatorname{sen}\theta\;\mathbf j+z\;\mathbf k\right)} \\[5pt]
\mathbf E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\iint{\frac{\alpha r_q^2\;dr_q\;d\theta}{\left(r_q^2+z^2\right)^{\frac{3}{2}}}\left(-r_q\cos\theta\;\mathbf i-r_q\operatorname{sen}\theta\;\mathbf j+z\;\mathbf k\right)}
\end{gather}
\]
A constante de proporcionalidade α pode “sair” da integral, e a integral da soma é igual a soma das integrais
\[
\begin{gather}
\mathbf E=\frac{\alpha}{4\pi\epsilon_0}\left(-\iint{\frac{r_q^3\cos\theta\;dr_q\;d\theta}{\left(r_q^2+z^2\right)^{\frac{3}{2}}}}\;\mathbf i-\iint {\frac{r_q^3\;\operatorname{sen}\theta\;dr_q\;d\theta}{\left(r_q^2+z^2\right)^{\frac{3}{2}}}}\;\mathbf j+\iint {\frac{zr_q\;dr_q\;d\theta}{\left(r_q^2+z^2\right)^{\frac{3}{2}}}}\mathbf k\right)
\end{gather}
\]
Os limites de integração vão de 0 a a em drq, ao longo do raio do disco e de 0 e 2π em dθ, uma volta completa no disco, e as integrais podem ser separadas
\[
\begin{align}
\mathbf E=& \frac{\alpha}{4\pi\epsilon_0}\left(-\int_0^a{\frac{r_q^3\;dr_q}{\left(r_q^2+z^2\right)^{\frac{3}{2}}}}\underbrace{\int_0^{2\pi}{\cos\theta\;d\theta}}_0\;\mathbf i-\right. \\
& \left.-\int_0^a{\frac{r_q^3\;dr}{\left(r_q^2+z^2\right)^{\frac{3}{2}}}}\underbrace{\int_0^{2\pi}{\operatorname{sen}\theta\;d\theta}}_0\;\mathbf j+z\int_0^a{\frac{r_q\;dr_q}{\left(r^2+z^2\right)^{\frac{3}{2}}}}\int_0^{2\pi}{d\theta}\;\mathbf k\right)
\end{align}
\]
Integração de
\( \displaystyle \int_0^{2\pi}\cos\theta\;d\theta \)
1.º método
Figura 4
1.º método
\[
\begin{align}
\int_0^{2\pi}\cos\theta\;d\theta &=\left.\operatorname{sen}\theta\;\right|_{\;0}^{\;2\pi}=\operatorname{sen}2\pi-\operatorname{sen}0= \\
&=0-0=0
\end{align}
\]
2.º método
O gráfico de cosseno entre 0 e 2π possui uma área “positiva” acima do eixo-x, entre 0 e \( \frac{\pi}{2} \) e entre \( \frac{3\pi}{2} \) e 2π, e uma área “negativa” abaixo do eixo-x, entre \( \frac{\pi}{2} \) e \( \frac{3\pi}{2} \), estas duas áreas se cancelam no cálculo da integral, sendo o valor da integral zero (Figura 4).
O gráfico de cosseno entre 0 e 2π possui uma área “positiva” acima do eixo-x, entre 0 e \( \frac{\pi}{2} \) e entre \( \frac{3\pi}{2} \) e 2π, e uma área “negativa” abaixo do eixo-x, entre \( \frac{\pi}{2} \) e \( \frac{3\pi}{2} \), estas duas áreas se cancelam no cálculo da integral, sendo o valor da integral zero (Figura 4).
Integração de
\( \displaystyle \int_0^{2\pi}\operatorname{sen}\theta\;d\theta \)
1.º método
Figura 5
Figura 6
1.º método
\[
\begin{align}
\int_0^{2\pi}\operatorname{sen}\theta\;d\theta &=\left.-\cos\theta\;\right|_{\;0}^{\;2\pi}=-(\cos 2\pi-\cos 0)= \\
&=-(1-1)=0
\end{align}
\]
2.º método
O gráfico do seno entre 0 e 2π possui uma área “positiva” acima do eixo-x, entre 0 e π, e uma área “negativa” abaixo do eixo-x, entre π e 2π, estas duas áreas se cancelam no cálculo da integral, sendo o valor da integral zero. nas direções i e j (Figura 5).
O gráfico do seno entre 0 e 2π possui uma área “positiva” acima do eixo-x, entre 0 e π, e uma área “negativa” abaixo do eixo-x, entre π e 2π, estas duas áreas se cancelam no cálculo da integral, sendo o valor da integral zero. nas direções i e j (Figura 5).
Observação: As duas integrais, nas direções i e j, que são nulas
representam o cálculo matemático para a afirmação que se faz usualmente de que as componentes do campo
elétrico paralelas ao plano-xy dEP se anulam. Apenas as
componentes normais ao plano dEN contribuem para o campo elétrico total
(Figura 6). Como as integrais em seno e cosseno são nulas não é preciso fazer a integral do raio.
Integração de
\( \displaystyle \int_{{0}}^a{\frac{r_q\;dr_q}{\left(r_q^2+z^2\right)^{\frac{3}{2}}}} \)
fazendo a mudança de variável
para rq = 0
temos \( u=0^2+z^2\Rightarrow u=z^2 \)
para rq = a
temos \( u=a^2+z^2 \)
fazendo a mudança de variável
\[
\begin{array}{l}
u=r_q^2+z^2 \\[5pt]
\dfrac{du}{dr_q}=2r_q\Rightarrow dr_q=\dfrac{du}{2r_q}
\end{array}
\]
fazendo a mudança dos extremos de integração
para rq = 0
temos \( u=0^2+z^2\Rightarrow u=z^2 \)
para rq = a
temos \( u=a^2+z^2 \)
\[
\begin{align}
\int_{z^2}^{{a^2+z^2}}{\frac{r_q}{u^{\frac{3}{2}}}\;\frac{du}{2r_q}} &\Rightarrow\frac{1}{2}\int_{z^2}^{{a^2+z^2}}{\frac{1}{u^{\frac{3}{2}}}\;du}\Rightarrow\frac{1}{2}\left.\frac{u^{-{\frac{3}{2}+1}}}{-{\frac{3}{2}+1}}\;\right|_{\;z^2}^{\;a^2+z^2}\Rightarrow \\[5pt]
&\Rightarrow\frac{1}{2}\left.\frac{u^{\frac{-3+2}{2}}}{\frac{-{3+2}}{2}}\;\right|_{\;z^2}^{\;a^2+z^2}\Rightarrow\frac{1}{2}\left.\frac{u^{-{\frac{1}{2}}}}{-{\frac{1}{2}}}\;\right|_{\;z^2}^{\;a^2+z^2}\Rightarrow \\[5pt]
&\Rightarrow\left.-u^{-{\frac{1}{2}}}\;\right|_{\;z^2}^{\;a^2+z^2}\Rightarrow\left.-{\frac{1}{u^{\frac{1}{2}}}}\;\right|_{\;z^2}^{\;a^2+z^2}\Rightarrow \\[5pt]
&\Rightarrow-\left(\frac{1}{\sqrt{a^2+z^2}}-\frac{1}{\sqrt{z^2}}\right)\Rightarrow\frac{1}{z}-\frac{1}{\sqrt{a^2+z^2}}
\end{align}
\]
Integral de
\( \displaystyle \int_{{0}}^{{2\pi}}\;d\theta \)
\[
\begin{gather}
\int_{0}^{2\pi}\;d\theta=\left.\theta\;\right|_{\;0}^{\;2\pi}=2\pi-0=2\pi
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\mathbf E=\frac{\alpha}{4\pi\epsilon_0}\left[0\;\mathbf i-0\;\mathbf j+z\;\left(\frac{1}{z}-\frac{1}{\sqrt{a^2+z^2\;}}\right)2\pi\;\mathbf k\right] \\[5pt]
\mathbf E=\frac{\alpha}{\cancelto{2}{4}\cancel{\pi} \epsilon_0}\left[\;\left(\frac{z}{z}-\frac{z}{\sqrt{a^2+z^2}}\right)\cancel{2}\cancel{\pi}\;\mathbf k\right]
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{{\mathbf E}=\frac{\alpha}{2\epsilon_0}\;\left(1-\frac{z}{\sqrt{\;a^2+z^2\;}}\right)\;{\mathbf k}}
\end{gather}
\]
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