Um fio de comprimento L é carregado com uma carga Q distribuída uniformemente. Determinar o
vetor campo elétrico num ponto P da reta que contém o fio, x>L, é a coordenada
do ponto P externa ao fio;
Dados do problema:
- Comprimento do fio: L;
- Carga do fio: Q.
Esquema do problema:
O vetor posição r vai de um elemento de carga dq do fio até o ponto P onde se deseja
calcular o campo elétrico, o vetor rq localiza o elemento de carga em relação à
origem do referencial e o vetor rp localiza o ponto P, o problema é
unidimensional, todos os vetores estão no eixo-x, na Figura 1 os elementos foram desenhados
separados para facilitar a visualização.
\[
\begin{gather}
\mathbf r={\mathbf r}_p-{\mathbf r}_q
\end{gather}
\]
Pela geometria do problema devemos escolher coordenadas cartesianas, escolhemos a origem do sistema na
extremidade direita do fio mais próxima do ponto P, o vetor rq, é
escrito como
\( {\mathbf r}_q=-x_q\;\mathbf i \)
e o vetor rp como
\( {\mathbf r}_p=x_p\;\mathbf i \),
onde xp é a distância ao ponto desejado medido a partir da origem escolhida,
então o vetor posição será
\[
\begin{gather}
\mathbf r=x_p\;\mathbf i-(-x_q\;\mathbf i) \\[5pt]
\mathbf r=(x_p+x_q)\;\mathbf i \tag{I}
\end{gather}
\]
Da equação (I) o módulo do vetor posição r será
\[
\begin{gather}
r^2=(x_p+x_q)^2 \\[5pt]
r=(x_p+x_q) \tag{II}
\end{gather}
\]
Solução:
O vetor campo elétrico do fio é dado por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\mathbf E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int{\frac{dq}{r^2}\;\frac{\mathbf r}{r}}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\mathbf E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int{\frac{dq}{r^3}\;\mathbf r} \tag{III}
\end{gather}
\]
Da equação da densidade linear de carga λ obtemos o elemento de carga dq
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\lambda =\frac{dq}{ds}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
dq=\lambda\;ds \tag{IV}
\end{gather}
\]
onde ds é um elemento de comprimento do fio
\[
\begin{gather}
ds=dx_q \tag{V}
\end{gather}
\]
substituindo a equação (V) na equação (IV)
\[
\begin{gather}
dq=\lambda\;dx_q \tag{VI}
\end{gather}
\]
Substituindo as equações (I), (II) e (VI) na equação (III)
\[
\begin{gather}
\mathbf E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int{\frac{\lambda\;dx_q}{\left(x_p+x_q\right)^{\cancelto{2}{3}}}}\cancel{\left(x_p+x_q\right)}\;\mathbf i \\[5pt]
\mathbf E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int{\frac{\lambda\;dx_q}{\left(x_p+x_q\right)^2}}\;\mathbf i \tag{VII}
\end{gather}
\]
A densidade de carga λ é constante ela pode “sair” da integral
\[
\begin{gather}
\mathbf E=\frac{\lambda}{4\pi\epsilon_0}\int{\frac{dx_q}{\left(x_p+x_q\right)^2}}\;\mathbf i
\end{gather}
\]
Os limites de integração serão 0 e L, o comprimento do fio carregado
\[
\begin{gather}
\mathbf E=\frac{\lambda}{4\pi\epsilon_0}\int_0^{L}{\frac{dx_q}{\left(x_p+x_q\right)^2}}\;\mathbf i
\end{gather}
\]
Integral de
\( \displaystyle \int_0^{L}{\frac{dx_q}{\left(x_p+x_q\right)^2}} \)
fazendo a mudança de variável
\[
\begin{array}{l}
u=x_p+x_q \\[5pt]
\dfrac{du}{dx_q}=1\Rightarrow dx_q=du
\end{array}
\]
fazendo a mudança dos extremos de integração
para
xq = 0
temos
\( u=x_p-0\Rightarrow u=x_p \)
para
xq =
L
temos
\( u=x_p+L \)
\[
\begin{align}
\int_{x_p}^{{x_p+L}}{\frac{du}{u^2}} &\Rightarrow\int_{x_p}^{{x_p+L}}{u^{-2}du}\Rightarrow\left.\frac{u^{-2+1}}{-2+1}\;\right|_{\;x_p}^{\;x_p+L}\Rightarrow \\[5pt]
&\Rightarrow\left.\frac{u^{-1}}{-1}\;\right|_{\;x_p}^{\;x_p+L}\Rightarrow-\left.\frac{1}{u}\;\right|_{\;x_p}^{\;x_p+L}\Rightarrow \\[5pt]
&\Rightarrow-\frac{1}{x_p+L}-\left(-\frac{1}{x_p}\right)\Rightarrow \frac{1}{x_p}-\frac{1}{x_p-L}\Rightarrow \\[5pt]
&\Rightarrow\frac{x_p+L-x_p}{x_p(x_p+L)}\Rightarrow\frac{L}{x_p(x_p+L)}
\end{align}
\]
\[
\begin{gather}
\mathbf E=\frac{\lambda}{4\pi\epsilon_0}\frac{L}{x_p\;(x_p+L)}\;\mathbf i \tag{VIII}
\end{gather}
\]
A densidade linear de carga pode ser escrita
\[
\begin{gather}
\lambda=\frac{Q}{L} \tag{IX}
\end{gather}
\]
substituindo a equação (IX) na equação (VIII)
\[
\begin{gather}
\mathbf E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q}{\cancel{L}}\frac{\cancel{L}}{x_p(x_p+L)}\;\mathbf i
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{\mathbf E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q}{x_p(x_p+L)}\;\mathbf i}
\end{gather}
\]
e o módulo do campo elétrico será
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q}{x_p(x_p+L)}}
\end{gather}
\]
Observação: Como o problema é unidimensional o valor vetorial coincide com o valor escalar
do campo elétrico.
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