Exercício Resolvido de Força Elétrica e Campo Elétrico
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Uma chapa semicircular possui raio externo a e raio interno b. A chapa está carregada com uma carga total Q distribuída de forma não uniforme diretamente proporcional ao ângulo central θ do semicírculo de tal forma que \( 0 \leq \theta \leq \pi \). Calcule o vetor campo elétrico num ponto P sobre o eixo perpendicular ao plano do semicírculo que passa pelo centro de curvatura a uma distância z do seu centro.


Dados do problema:
  • Raio externo do semicírculo:    a;
  • Raio interno do semicírculo:    b;
  • Carga da chapa:    Q;
  • Distância ao ponto onde se quer o campo elétrico:    z.
Esquema do problema:

A densidade superficial de carga do semicírculo é diretamente proporcional à posição angular da carga (Figura 1)
\[ \begin{gather} \sigma (\theta )=\alpha \;\theta \tag{I} \end{gather} \]
onde α é uma constante que torna a expressão dimensionalmente consistente.

Figura 1

O vetor posição r vai de um elemento de carga dq do disco até o ponto P onde se deseja calcular o campo elétrico, o vetor rq localiza o elemento de carga em relação à origem do referencial e o vetor rp localiza o ponto P (Figura 2-A).
\[ \mathbf{r}={\mathbf{r}}_{p}-{\mathbf{r}}_{q} \]
Figura 2

Pela geometria do problema devemos escolher coordenadas cilíndricas (Figura 2-B), o vetor rq, só possui componente na direção er,   \( {\mathbf{r}}_{q}=r_{q}\;\mathbf{e}_{r} \),   e o vetor rp só possui componente na direção ez,   \( {\mathbf{r}}_{p}=r_{p}\;\mathbf{e}_{z} \).   Fazendo a conversão de coordenadas cilíndricas para coordenadas cartesianas x, y e z são dados por
\[ \left\{ \begin{array}{l} x=r_{q}\cos \theta \\ y=r_{q}\operatorname{sen}\theta \\ z=z \end{array} \right. \tag{II} \]

Observação: Na Figura 2-B, i, j e k são os vetores unitários da base do sistema de coordenadas cartesianas, e er, eθ e ez são os vetores unitários da base do sistema de coordenadas cilíndricas.

Depois da conversão o vetor rq, é escrito como   \( {\mathbf{r}}_{q}=x\;\mathbf{i}+y\;\mathbf{j} \),   e o vetor rp como   \( {\mathbf{r}}_{p}=z\;\mathbf{k} \).
O vetor posição será
\[ \begin{gather} \mathbf{r}=z\;\mathbf{k}-\left(x\;\mathbf{i}+y\;\mathbf{j}\right)\\ \mathbf{r}=-x\;\mathbf{i}-y\;\mathbf{j}+z\;\mathbf{k} \tag{III} \end{gather} \]
Da expressão (III) o módulo do vetor posição r será
\[ \begin{gather} r^{2}=(-x)^{2}+(-y)^{2}+z^{2}\\ r=\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{1}{2}} \tag{IV} \end{gather} \]
Solução

O vetor campo elétrico é dado por
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {\mathbf{E}=\frac{1}{4\pi \epsilon_{0}}\int{\frac{dq}{r^{2}}\;\frac{\mathbf{r}}{r}}} \]
\[ \begin{gather} \mathbf{E}=\frac{1}{4\pi \epsilon_{0}}\int{\frac{dq}{r^{3}}\;\mathbf{r}} \tag{V} \end{gather} \]
Da expressão da densidade superficial de carga σ obtemos o elemento de carga dq
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {\sigma =\frac{dq}{dA}} \]
\[ \begin{gather} dq=\sigma(\theta) \;dA \tag{VI} \end{gather} \]
onde dA é um elemento de área.
O elemento de área em coordenadas cartesianas é
\[ dA=dx\;dy \]
para obter o elemento de área em coordenadas polares calculamos o Jacobiano dado pelo determinante
\[ J=\left| \begin{matrix} \;\dfrac{\partial x}{\partial r} &\dfrac{\partial x}{\partial \theta }\;\\ \;\dfrac{\partial y}{\partial r} &\dfrac{\partial y}{\partial \theta }\; \end{matrix}\right| \]
Cálculo das derivadas parciais das funções x e y dadas em (II)

\( x=r_{q}\cos \theta \):

\( \dfrac{\partial x}{\partial r_{q}}=\dfrac{\partial (r_{q}\cos \theta\;)}{\partial r_{q}}=\cos \theta \dfrac{\partial r_{q}}{\partial r_{q}}=\cos \theta .1=\cos \theta \text{, } \)
\[ \dfrac{\partial x}{\partial r_{q}}=\dfrac{\partial (r_{q}\cos \theta\;)}{\partial r_{q}}=\cos \theta \dfrac{\partial r_{q}}{\partial r_{q}}=\cos \theta .1=\cos \theta \]
na derivada em rq o valor de θ é constante e o cosseno sai da derivada.

\( \dfrac{\partial x}{\partial \theta }=\dfrac{\partial (r_{q}\cos \theta)}{\partial \theta }=r_{q}\dfrac{\partial (\cos \theta )}{\partial\theta }=r_{q}(-\operatorname{sen}\theta)=-r_{q}\operatorname{sen}\theta \text{, } \)
\[ \dfrac{\partial x}{\partial \theta }=\dfrac{\partial (r_{q}\cos \theta)}{\partial \theta }=r_{q}\dfrac{\partial (\cos \theta )}{\partial\theta }=r_{q}(-\operatorname{sen}\theta)=-r_{q}\operatorname{sen}\theta \]
na derivada em θ o valor de rq é constante e sai da derivada.

\( y=r_{q}\operatorname{sen}\theta \):

\( \dfrac{\partial y}{\partial r_{q}}=\dfrac{\partial(r_{q}\operatorname{sen}\theta )}{\partial r_{q}}=\operatorname{sen}\theta \dfrac{\partial r_{q}}{\partial r_{q}}=\operatorname{sen}\theta .1=\operatorname{sen}\theta \text{, } \)
\[ \dfrac{\partial y}{\partial r_{q}}=\dfrac{\partial(r_{q}\operatorname{sen}\theta )}{\partial r_{q}}=\operatorname{sen}\theta \dfrac{\partial r_{q}}{\partial r_{q}}=\operatorname{sen}\theta .1=\operatorname{sen}\theta \]
na derivada em r o valor de θ é constante e o seno sai da derivada.

\( \dfrac{\partial y}{\partial \theta }=\dfrac{\partial(r_{q}\operatorname{sen}\theta )}{\partial \theta }=r_{q}\dfrac{\partial(\operatorname{sen}\theta )}{\partial \theta }=r_{q}\cos \theta \text{, } \)
\[ \dfrac{\partial y}{\partial \theta }=\dfrac{\partial(r_{q}\operatorname{sen}\theta )}{\partial \theta }=r_{q}\dfrac{\partial(\operatorname{sen}\theta )}{\partial \theta }=r_{q}\cos \theta \]
na derivada em θ o valor de rq é constante e sai da derivada.
\[ dA=dx\;dy=J\;dr_{q}\;d\theta \]
\[ \begin{gather} J=\left| \begin{matrix} \;\cos \theta & -r_{q}\operatorname{sen}\theta \;\\ \;\operatorname{sen}\theta & r_{q}\cos \theta \end{matrix}\right|\\[5pt] J=\cos \theta .r_{q}\cos \theta-(-r_{q}\operatorname{sen}\theta .\operatorname{sen}\theta)\\[5pt] J=r_{q}\cos ^{2}\theta +r_{q}\operatorname{sen}^{2}\theta\\[5pt] J=r_{q}(\underbrace{\cos ^{2}\theta +\operatorname{sen}^{\;2}\theta}_{1})\\[5pt] J=r_{q} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} dA=r_{q}\;dr_{q}\;d\theta \tag{VII} \end{gather} \]
substituindo as expressões (I) e (VII) na expressão (VI)
\[ \begin{gather} dq=\alpha \theta r_{q}\;dr_{q}\;d\theta \tag{VIII} \end{gather} \]
Substituindo as expressões (III), (IV) e (VIII) na expressão (V), e como a integração é feita sobre a superfície do semicírculo, depende de duas variáveis rq e θ, temos uma integral dupla
\[ \begin{gather} \mathbf{E}=\frac{1}{4\pi \epsilon_{0}}\iint{\frac{\alpha \theta r_{q}\;dr_{q}\;d\theta}{\left[\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{1}{2}}\right]^{3}}}\left(-x\;\mathbf{i}-y\;\mathbf{j}+z\;\mathbf{k}\right)\\ \mathbf{E}=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\iint{\frac{\alpha \theta r_{q}\;dr_{q}\;d\theta}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}}\left(-x\;\mathbf{i}-y\;\mathbf{j}+z\;\mathbf{k}\right) \tag{IX} \end{gather} \]
substituindo as expressões (II) na expressão (IX)
\[ \begin{gather} \mathbf{E}=\frac{1}{4\pi \epsilon_{0}}\iint{\frac{\alpha \theta r_{q}\;dr_{q}\;d\theta}{\left[\left(r_{q}\cos \theta\right)^{2}+\left(r_{q}\operatorname{sen}\theta\right)^{2}+z^{2}\right]^{\frac{3}{2}}}\left(-r_{q}\cos \theta\;\mathbf{i}-r_{q}\operatorname{sen}\theta\;\mathbf{j}+z\;\mathbf{k}\right)}\\[5pt] \mathbf{E}=\frac{1}{4\pi \epsilon_{0}}\iint{\frac{\alpha \theta r_{q}\;dr_{q}\;d\theta}{\left[r_{q}^{2}\cos ^{2}\theta +r_{q}^{2}\operatorname{sen}^{2}\theta+z^{2}\right]^{\frac{3}{2}}}\left(-r_{q}\cos \theta\;\mathbf{i}-r_{q}\operatorname{sen}\theta\;\mathbf{j}+z\;\mathbf{k}\right)}\\[5pt] \mathbf{E}=\frac{1}{4\pi \epsilon_{0}}\iint{\frac{\alpha \theta r_{q}\;dr_{q}\;d\theta}{\left[r_{q}^{2}\underbrace{\left(\cos ^{2}\theta+\operatorname{sen}^{2}\theta\right)}_{1}+z^{2}\right]^{\frac{3}{2}}}\left(-r_{q}\cos \theta\;\mathbf{i}-r_{q}\operatorname{sen}\theta\;\mathbf{j}+z\;\mathbf{k}\right)}\\[5pt] \mathbf{E}=\frac{1}{4\pi \epsilon_{0}}\iint{\frac{\alpha \theta r_{q}\;dr_{q}\;d\theta}{\left(r_{q}^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}\left(-r_{q}\cos \theta\;\mathbf{i}-r_{q}\operatorname{sen}\theta\;\mathbf{j}+z\;\mathbf{k}\right)} \end{gather} \]
Como α é constante ele pode “sair” da integral, e a integral da soma é igual à soma das integrais
\[ \mathbf{E}=\frac{\alpha}{4\pi \epsilon_{0}}\left(-\iint{\frac{r_{q}^{2}\theta \cos \theta \;dr_{q}\;d\theta}{\left(r_{q}^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}}\;\mathbf{i}-\iint{\frac{r_{q}^{2}\theta \operatorname{sen}\theta \;dr_{q}\;d\theta}{\left(r_{q}^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}}\;\mathbf{j}+z\iint{\frac{r_{q}\theta \;dr_{q}\;d\theta}{\left(r_{q}^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}}\;\mathbf{k}\right) \]
Os limites de integração serão de b até a em drq, ao longo do raio do semicírculo, e de 0 e π em dθ, meia volta, e como não existem termos “cruzados“ em rq e θ as integrais podem ser separadas
\[ \begin{split} \mathbf{E}=&\frac{\alpha}{4\pi\epsilon_{0}}\left(-\int_{b}^{a}{\frac{r_{q}^{2}\;dr_{q}}{\left(r_{q}^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}}\int_{0}^{\pi}\theta \cos \theta \;d\theta\;\mathbf{i}-\int_{b}^{a}{\frac{r_{q}^{2}\;dr_{q}}{\left(r_{q}^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}}\int_{0}^{\pi}\theta \operatorname{sen}\theta \;d\theta\;\mathbf{j}+\right.\\ &\left. +z\int_{b}^{a}{\frac{r_{q}\;dr_{q}}{\left(r_{q}^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}}\int_{0}^{\pi}\theta \;d\theta \;\mathbf{k}\right) \end{split} \]
colocando a integral \( \int_{b}^{a}{\frac{r_{q}^{2}\;dr_{q}}{\left(r_{q}^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}} \) em evidência
\[ \mathbf{E}=\frac{\alpha}{4\pi \epsilon_{0}}\int_{b}^{a}{\frac{r_{q}^{2}\;dr_{q}}{\left(r_{q}^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}}\left(-\int_{0}^{\pi}\theta \cos \theta \;d\theta\;\mathbf{i}-\int _{0}^{\pi}\theta\operatorname{sen}\theta \;d\theta \;\mathbf{j}+z\int_{0}^{\pi}\theta \;d\theta \;\mathbf{k}\right) \]
Integração de    \( \displaystyle \int_{b}^{a}{\frac{r_{q}\;dr_{q}}{\left(r_{q}^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}} \)

fazendo a mudança de variável
\[ \begin{array}{l} u=r_{q}^{2}+z^{2}\\ \dfrac{du}{dr_{q}}=2r_{q}\Rightarrow dr_{q}=\dfrac{du}{2r_{q}} \end{array} \]
fazendo a mudança dos extremos de integração

para rq = b
temos \( u=b^{2}+z^{2} \)

para rq = a
temos   \( u=a^{2}+z^{2} \)
\[ \begin{align} \int_{{b^{2}+z^{2}}}^{{a^{2}+z^{2}}}{\frac{r_{q}}{u^{\frac{3}{2}}}\;\frac{du}{2r_{q}}} &\Rightarrow\frac{1}{2}\int_{{b^{2}+z^{2}}}^{{a^{2}+z^{2}}}{\frac{1}{u^{\frac{3}{2}}}\;du}\Rightarrow\;\frac{1}{2}\left.\frac{u^{-{\frac{3}{2}+1}}}{-{\left(\frac{3}{2}+1\right)}}\;\right|_{\;b^{2}+z^{2}}^{\;a^{2}+z^{2}}\Rightarrow \\[5pt] &\Rightarrow\frac{1}{2}\left.\frac{u^{\frac{-3+2}{2}}}{\left(\frac{-{3+2}}{2}\right)}\;\right|_{\;b^{2}+z^{2}}^{\;a^{2}+z^{2}}\Rightarrow \cancel{\frac{1}{2}}\left.\frac{u^{-{\frac{1}{2}}}}{-{\cancel{\frac{1}{2}}}}\;\right|_{\;b^{2}+z^{2}}^{\;a^{2}+z^{2}}\Rightarrow \\[5pt] &\left.-u^{-{\frac{1}{2}}}\;\right|_{\;b^{2}+z^{2}}^{\;a^{2}+z^{2}}\Rightarrow\left.-{\frac{1}{u^{\frac{1}{2}}}}\;\right|_{\;b^{2}+z^{2}}^{\;a^{2}+z^{2}}\Rightarrow \\[5pt] &\Rightarrow-\left(\frac{1}{\sqrt{a^{2}+z^{2}}}-\frac{1}{\sqrt{\;b^{2}+z^{2}}}\right)\Rightarrow\\[5pt] &\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{b^{2}+z^{2}\;}}-\frac{1}{\sqrt{\;a^{2}+z^{2}\;}} \end{align} \]

Integração de    \( \displaystyle \int_{0}^{\pi}\theta \cos \theta \;d\theta \)

Usando Integração por Partes \( \int uv'=uv-\int u'v \), escolhemos
\[ \begin{array}{l} u=\theta \qquad \qquad \; v'=\cos \theta \\ u'=1\qquad \qquad v=\operatorname{sen}\theta \end{array} \]
\[ \begin{align} \int_{0}^{\pi}\theta \cos \theta \;d\theta &=\theta\operatorname{sen}\theta |_{\;0}^{\;\pi}-\int_{0}^{\pi}\operatorname{sen}\theta \;d\theta\Rightarrow\\[5pt] &\Rightarrow\theta \operatorname{sen}\theta \;|_{\;0}^{\;\pi}-\left(-\cos \theta \;|_{\;0}^{\;\pi}\right)\Rightarrow\\[5pt] &\Rightarrow\theta \operatorname{sen}\theta \;|_{\;0}^{\;\pi}+\cos \theta \;|_{\;0}^{\;\pi}\Rightarrow\\[5pt] &\Rightarrow\left(\pi.\operatorname{sen}\pi-0.\operatorname{sen}0\;\right)+\left(\cos \pi -\cos 0\right)\Rightarrow\\[5pt] &\Rightarrow\left(\pi.0-0.0\right)+\left(-1-1\right)\Rightarrow-2 \end{align} \]

Integração de    \( \displaystyle \int_{0}^{\pi}\theta \operatorname{sen}\theta \;d\theta \)

Usando Integração por Partes \( \int uv'=uv-\int u'v \), escolhemos
\[ \begin{array}{l} u=\theta\qquad \qquad \; v'=\operatorname{sen}\theta \\ u'=1\qquad \qquad v=-\cos \theta \end{array} \]
\[ \begin{align} \int_{0}^{\pi}\theta \operatorname{sen}\theta\;d\theta &=-\theta \cos \theta \;|_{\;0}^{\;\pi}-\int_{0}^{\pi}-\cos\theta \;d\theta\Rightarrow\\[5pt] &\Rightarrow-\theta \cos \theta \;|_{\;0}^{\;\pi}+\int_{0}^{\pi}\cos\theta \;d\theta\Rightarrow\\[5pt] &\Rightarrow-\theta \cos \theta \;|_{\;0}^{\;\pi}+\operatorname{sen}\theta \;|_{0}^{\pi}\Rightarrow\\[5pt] &\Rightarrow-\left(\pi .\cos \pi -0.\cos0\right)+\left(\operatorname{sen}\pi -\operatorname{sen}0\right)\Rightarrow\\[5pt] &\Rightarrow-\left[\pi.(-1)-0.1\right]+\left(0-0\right)\Rightarrow\\[5pt] &\Rightarrow\int_{0}^{\pi}\theta \operatorname{sen}\theta\;d\theta \Rightarrow\pi \end{align} \]

Integração de    \( \displaystyle \int_{0}^{\pi}\;d\theta \)
\[ \int_{0}^{\pi}\;d\theta =\left.\theta \;\right|_{\;0}^{\;\pi}=\pi-0=\pi \]

\[ \mathbf{E}=\frac{\alpha}{4\pi \epsilon_{0}}\left(\frac{1}{\sqrt{b^{2}+z^{2}}}-\frac{1}{\sqrt{a^{2}+z^{2}\;}}\right)\left[-(-2)\;\mathbf{i}-\pi\;\mathbf{j}+z\pi \;\mathbf{k}\right] \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {\mathbf{E}=\frac{\alpha}{4\pi \epsilon_{0}}\left(\frac{1}{\sqrt{b^{2}+z^{2}\;}}-\frac{1}{\sqrt{a^{2}+z^{2}\;}}\right)\left(2\;\mathbf{i}-\pi\;\mathbf{j}+z\pi \;\mathbf{k}\right)} \]

Figura 3
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