Exercício Resolvido de Transmissão do Calor
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Uma parede é constituída de chapas alternadas feitas de espessura d de dois materiais diferentes. Os coeficientes de condutibilidade térmica das chapas são iguais k1 e k2. As áreas das seções transversais das chapas são iguais e o número de chapas de cada material são iguais, as temperaturas das superfícies externas das paredes são iguais a T1 e T2 (T1 > T2) e mantêm-se constantes. Determinar o coeficiente de condutibilidade térmica da parede.


Dados do problema:
  • Coeficiente de condutibilidade térmica da chapa 1:    k1;
  • Temperatura externa da chapa 1:    T1;
  • Coeficiente de condutibilidade térmica da chapa 2:    k2;
  • Temperatura externa da chapa 2:    T2.
Solução

a) O fluxo de calor é dado por
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {\phi =kA\frac{\left(t_{1}-t_{2}\right)}{e}} \]
O calor passa do meio de maior temperatura T1 para o meio de menor temperatura T2, sendo n o número de chapas de cada material a área total de cada um será nA. O fluxo através da chapa 1 é dado por
\[ \begin{gather} \phi_{1}=k_{1}nA\frac{\left(T_{1}-T_{2}\right)}{d} \tag{I} \end{gather} \]
o fluxo através da chapa 2 é dado por
\[ \begin{gather} \phi_{2}=k_{2}nA\frac{\left(T_{1}-T_{2}\right)}{d} \tag{II} \end{gather} \]
Figura 1

Como as superfícies são mantidas às temperaturas constantes, o fluxo de calor está em regime estacionário, assim o fluxo total através das duas chapas será a soma do fluxo através de cada chapa (Figura 1-A), somando as expressões (I) e (II)
\[ \begin{gather} \phi _{T}=\phi _{1}+\phi _{2}\\ \phi_{T}=k_{1}nA\frac{\left(T_{1}-T_{2}\right)}{d}+k_{2}nA\frac{\left(T_{1}-T_{2}\right)}{d}\\ \phi_{T}=\left(k_{1}+k_{2}\right)nA\frac{\left(T_{1}-T_{2}\right)}{d} \tag{III} \end{gather} \]
A área de duas chapas consecutivas 1 e 2 será 2A (Figura 1-B) como existem n chapas de cada material a área total da parede será 2nA e o fluxo total através da parede será
\[ \begin{gather} \phi_{T}=k2nA\frac{\left(T_{1}-T_{2}\right)}{d} \tag{IV} \end{gather} \]
igualando as expressões (III) e (IV), obtemos o coeficiente procurado
\[ \begin{gather} 2k\cancel{n}\cancel{A}\frac{\cancel{\left(T_{1}-T_{2}\right)}}{\cancel{d}}=\left(k_{1}+k_{2}\right)\cancel{n}\cancel{A}\frac{\cancel{\left(T_{1}-T_{2}\right)}}{\cancel{d}}\\ 2k=k_{1}+k_{2} \end{gather} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {k=\frac{k_{1}+k_{2}}{2}} \]
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