Exercício Resolvido de Transmissão do Calor

Uma barra metálica de seção constante e comprimento L tem suas extremidades mantidas a temperaturas constantes t₁ e t₂. Determine a temperatura do ponto médio da barra, quando o calor flui através da mesma em regime estacionário. As superfícies laterais da barra estão isoladas termicamente.

Dados do problema:

Temperatura nos extremos da barra: t₁ e t₂;
Comprimento da barra: L.

Esquema do problema:

O problema nos diz que o calor flui em regime estacionário, isto quer dizer que o fluxo de calor que atravessa uma seção transversal da barra é constante.
O comprimento e da barra entre as extremidades é e=L−0=L, e o comprimento entre a extremidade a temperatura t₁ e uma seção transversal qualquer é e=x−0=x (Figura 1).

Figura 1

Solução:

O fluxo de calor é dado por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\phi=kA\frac{\left(t_1-t_2\right)}{e}} \end{gather} \]

Como o fluxo φ é constante, a quantidade de calor que atravessa as extremidades, mantidas às temperaturas t₁ e t₂, é igual à quantidade de calor que atravessa a extremidade à temperatura t₁ e uma seção qualquer a temperatura t_x

\[ \begin{gather} \phi=kA\frac{\left(t_1-t_2\right)}{L}=kA\frac{\left(t_1-t_x\right)}{x} \\[5pt] \frac{t_1-t_2}{L}=\frac{t_1-t_x}{x} \\[5pt] t_1-t_x=x\frac{\left(t_1-t_2\right)}{L} \\[5pt] t_x=t_1-x\frac{\left(t_1-t_2\right)}{L} \end{gather} \]

Genericamente esta equação fornece a temperatura em qualquer ponto x da barra, em particular no nosso caso queremos a temperatura no ponto médio, onde \( x=\frac{1}{2}L \), substituindo este valor

\[ \begin{gather} t_{\frac{11}{2}}=t_1-\frac{1}{2}L\frac{\left(t_1-t_2\right)}{L} \\[5pt] t_{\frac{11}{2}}=t_1-\frac{t_1}{2}+\frac{t_2}{2} \\[5pt] t_{\frac{11}{2}}=\frac{2t_1-t_1}{2}+\frac{t_2}{2} \\[5pt] t_{\frac{11}{2}}=\frac{t_1}{2}+\frac{t_2}{2} \end{gather} \]

\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {t_{\frac{1}{2}}=\frac{t_1+t_2}{2}} \end{gather} \]

A temperatura no ponto médio será a média das temperaturas das extremidades.