Exercício Resolvido de Termodinâmica
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Um motor Diesel aciona uma bomba hidráulica capaz de elevar 300 litros de água por minuto a uma altura de 30 m. O rendimento do motor é de 36% e da bomba de 80%. Se este sistema funcionar por 5 horas, calcular:
a) A energia total absorvida pelo sistema;
b) A potência do motor e da bomba em cavalos-vapor (1 cv = 735,5 W).


Dados do problema:
  • Vazão da bomba:    V = 300 ℓ/min;
  • Altura de elevação da água:    h = 30 m;
  • Rendimento do motor Diesel:    \( \eta_{m}=36\text{%}=\frac{36}{100}=0,36 \);
  • Rendimento da bomba hidráulica:    \( \eta_{b}=80\text{%}=\frac{80}{100}=0,80 \);
  • Tempo de funcionamento:    Δ t = 5 h.
Esquema do problema:

Do calor inicialmente produzido Q1 pelo motor Diesel, uma parte se perde Q2 na forma de calor e barulho, o restante é o trabalho \( {\Large{\tau}}_{1} \) produzido pelo motor. O trabalho transferido do motor é a energia recebida pela bomba Q3, desta, uma parte é perdia Q4 e outra parte é o trabalho \( {\Large{\tau}}_{2} \) realizado pela bomba para elevar a água (Figura 1).

Figura 1

Solução

Em primeiro lugar devemos converter a vazão dada em litros por minuto (ℓ/min) para quilogramas por segundo (kg/s) e o intervalo de tempo de funcionamento da bomba dado em horas (h) para segundos (s).
\[ \begin{gather} V=300.\;\frac{\cancel{\ell}}{\cancel{\text{min}}}.\frac{1\;\text{kg}}{1\;\cancel{\ell}}.\frac{1\;\cancel{\text{min}}}{60\;\text{s}}=5\;\frac{\text{kg}}{\text{s}} \\{\,}\\ \Delta t=5\;\cancel{\text{h}}.\frac{3600\;\text{s}}{1\;\cancel{\text{h}}}=18000\;\text{s} \end{gather} \]
a) O rendimento de uma máquina térmica é dado por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\eta=\frac{{\Large{\tau}}}{Q}} \tag{I} \end{gather} \]
onde \( \Large{\tau} \) é o trabalho realizado pela máquina e Q é a energia proveniente da fonte quente.
Aplicando a expressão (I) o trabalho realizado pelo motor Diesel será
\[ \begin{gather} \eta_{m}=\frac{{\Large{\tau}}_{1}}{Q_{1}}\\ {\Large{\tau}}_{1}=\eta_{m}Q_{1} \tag{II} \end{gather} \]
Aplicando a expressão (I) o trabalho realizado pela bomba será
\[ \begin{gather} \eta_{b}=\frac{{\Large{\tau}}_{2}}{Q_{3}}\\ {\Large{\tau}}_{2}=\eta_{b}Q_{3} \tag{III} \end{gather} \]
O trabalho realizado pelo motor Diesel é a energia que faz a bomba funcionar (a energia que sai do motor é igual à energia que entra na bomba), então temos a condição
\[ \begin{gather} {\Large{\tau}}_{1}=Q_{3} \tag{IV} \end{gather} \]
substituindo a condição (IV) na expressão (III)
\[ \begin{gather} {\Large{\tau}}_{2}=\eta_{b}{\Large{\tau}}_{1} \tag{V} \end{gather} \]
substituindo a expressão (II) na expressão (V)
\[ \begin{gather} {\Large{\tau}}_{2}=\eta_{b}\eta_{m}Q_{1} \tag{VI} \end{gather} \]
Adota-se um Nível de Referência (N.R.) na parte mais baixa de onde a água entra na bomba, então o trabalho realizado pela bomba será igual à Energia Potencial (EP) que a massa total de água vai ganhar ao ser levada até a altura de 30 m.
\[ \begin{gather} {\Large{\tau}}_{2}=E_{P} \tag{VII} \end{gather} \]
A massa de água elevada durante o tempo de funcionamento da bomba será
\[ \begin{gather} m=V\Delta t \tag{VIII} \end{gather} \]
Figura 2
A Energia Potencial é dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {E_{P}=mgh} \tag{IX} \end{gather} \]
substituindo a expressão (VIII) na expressão (IX)
\[ \begin{gather} E_{P}=V\Delta tgh \tag{X} \end{gather} \]
substituindo as expressões (VI) e (X) na condição (VII)
\[ \begin{gather} \eta_{b}\eta_{m}Q_{1}=V\Delta tgh\\ Q_{1}=\frac{V\Delta tgh}{\eta_{b}\eta_{m}} \end{gather} \]
substituindo os valores do problema e adotando para a aceleração da gravidade o valor de 10 m/s2
\[ \begin{gather} Q_{1}=\frac{5.18000.10.30}{0,80.0,36}\\ Q_{1}=\frac{27000000}{0,288} \end{gather} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {Q_{1}=95750000\;\text{J}} \]

b) A potência é dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {P=\frac{\Delta E}{\Delta t}} \tag{XI} \end{gather} \]
Para o motor Diesel a energia será o trabalho (\( \Delta E={\Large{\tau} }_{1} \)) realizado para mover a bomba, usando a expressão (II) na expressão (XI)
\[ \begin{gather} P=\frac{{\Large{\tau} }_{1}}{\Delta t}\\ P=\frac{\eta_{m}Q_{1}}{\Delta t} \end{gather} \]
substituindo os dados do problema e o valor de Q1 obtido no item (a)
\[ \begin{gather} P=\frac{0.36.95750000}{18000}\\ P=\frac{34470000}{18000}\\ P=1915\;\text{W} \end{gather} \]
Usando a equivalência cavalo-vapor e watts dada no problema e fazendo uma “regra de três”
\[ \begin{gather} \frac{1\;\text{cv}}{735,5\;\text{W}}=\frac{P_{m}}{1915\;\text{W}}\\ P_{m}=\frac{1915\;\cancel{\text{W}}.1\;\text{cv}}{735,5\;\cancel{\text{W}}} \end{gather} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {P_{m}=2,6\;\text{cv}} \]
Para a bomba hidráulica a energia será o trabalho \( \Delta E={\Large{\tau}}_{2} \) realizado para elevar a água e este trabalho é igual à Energia Potencial \( {\Large{\tau}}_{2}=E_{\text{P}} \), usando a expressão (X) em (XI)
\[ \begin{gather} P=\frac{{\Large{\tau} }_{2}}{\Delta t}\\ P=\frac{E_{P}}{\Delta t}\\ P=\frac{V\Delta tgh}{\Delta t}\\ P=Vgh \end{gather} \]
substituindo os dados do problema
\[ \begin{gather} P=5.10.30\\ P=1500\;\text{W} \end{gather} \]
Usando a equivalência cavalo-vapor e watts dada no problema e fazendo uma “regra de três”
\[ \begin{gather} \frac{1\;\text{cv}}{735,5\;\text{W}}=\frac{P_{b}}{1500\;\text{W}}\\ P_{b}=\frac{1500\;\cancel{\text{W}}.1\;\text{cv}}{735,5\;\cancel{\text{W}}} \end{gather} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {P_{b}=2\;\text{cv}} \]
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