Um motor Diesel aciona uma bomba hidráulica capaz de elevar 300 litros de água por minuto a uma altura de
30 m. O rendimento do motor é de 36% e da bomba de 80%. Se este sistema funcionar por 5 horas, calcular:
a) A energia total absorvida pelo sistema;
b) A potência do motor e da bomba em cavalos-vapor (1 cv = 735,5 W).
Dados do problema:
- Vazão da bomba: V = 300 ℓ/min;
- Altura de elevação da água: h = 30 m;
- Rendimento do motor Diesel: \( \eta_{m}=36\text{%}=\frac{36}{100}=0,36 \);
- Rendimento da bomba hidráulica: \( \eta_{b}=80\text{%}=\frac{80}{100}=0,80 \);
- Tempo de funcionamento: Δ t = 5 h.
Esquema do problema:
Do calor inicialmente produzido
Q1 pelo motor Diesel, uma parte se perde
Q2 na forma de calor e barulho, o restante é o trabalho
\( {\Large{\tau}}_{1} \)
produzido pelo motor. O trabalho transferido do motor é a energia recebida pela bomba
Q3,
desta, uma parte é perdia Q
4 e outra parte é o trabalho
\( {\Large{\tau}}_{2} \)
realizado pela bomba para elevar a água (Figura 1).
Solução
Em primeiro lugar devemos converter a vazão dada em litros por minuto (ℓ/min) para quilogramas por
segundo (kg/s) e o intervalo de tempo de funcionamento da bomba dado em horas (h) para segundos (s).
\[
\begin{gather}
V=300.\;\frac{\cancel{\ell}}{\cancel{\text{min}}}.\frac{1\;\text{kg}}{1\;\cancel{\ell}}.\frac{1\;\cancel{\text{min}}}{60\;\text{s}}=5\;\frac{\text{kg}}{\text{s}}
\\{\,}\\
\Delta t=5\;\cancel{\text{h}}.\frac{3600\;\text{s}}{1\;\cancel{\text{h}}}=18000\;\text{s}
\end{gather}
\]
a) O rendimento de uma máquina térmica é dado por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\eta=\frac{{\Large{\tau}}}{Q}} \tag{I}
\end{gather}
\]
onde
\( \Large{\tau} \)
é o trabalho realizado pela máquina e
Q é a energia proveniente da fonte quente.
Aplicando a expressão (I) o trabalho realizado pelo motor Diesel será
\[
\begin{gather}
\eta_{m}=\frac{{\Large{\tau}}_{1}}{Q_{1}}\\
{\Large{\tau}}_{1}=\eta_{m}Q_{1} \tag{II}
\end{gather}
\]
Aplicando a expressão (I) o trabalho realizado pela bomba será
\[
\begin{gather}
\eta_{b}=\frac{{\Large{\tau}}_{2}}{Q_{3}}\\
{\Large{\tau}}_{2}=\eta_{b}Q_{3} \tag{III}
\end{gather}
\]
O trabalho realizado pelo motor Diesel é a energia que faz a bomba funcionar (a energia que sai do motor é
igual à energia que entra na bomba), então temos a condição
\[
\begin{gather}
{\Large{\tau}}_{1}=Q_{3} \tag{IV}
\end{gather}
\]
substituindo a condição (IV) na expressão (III)
\[
\begin{gather}
{\Large{\tau}}_{2}=\eta_{b}{\Large{\tau}}_{1} \tag{V}
\end{gather}
\]
substituindo a expressão (II) na expressão (V)
\[
\begin{gather}
{\Large{\tau}}_{2}=\eta_{b}\eta_{m}Q_{1} \tag{VI}
\end{gather}
\]
Adota-se um
Nível de Referência (N.R.) na parte mais baixa de onde a água entra na bomba, então o
trabalho realizado pela bomba será igual à
Energia Potencial (
EP) que a massa
total de água vai ganhar ao ser levada até a altura de 30 m.
\[
\begin{gather}
{\Large{\tau}}_{2}=E_{P} \tag{VII}
\end{gather}
\]
A massa de água elevada durante o tempo de funcionamento da bomba será
\[
\begin{gather}
m=V\Delta t \tag{VIII}
\end{gather}
\]
A
Energia Potencial é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{E_{P}=mgh} \tag{IX}
\end{gather}
\]
substituindo a expressão (VIII) na expressão (IX)
\[
\begin{gather}
E_{P}=V\Delta tgh \tag{X}
\end{gather}
\]
substituindo as expressões (VI) e (X) na condição (VII)
\[
\begin{gather}
\eta_{b}\eta_{m}Q_{1}=V\Delta tgh\\
Q_{1}=\frac{V\Delta tgh}{\eta_{b}\eta_{m}}
\end{gather}
\]
substituindo os valores do problema e adotando para a aceleração da gravidade o valor de 10 m/s
2
\[
\begin{gather}
Q_{1}=\frac{5.18000.10.30}{0,80.0,36}\\
Q_{1}=\frac{27000000}{0,288}
\end{gather}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{Q_{1}=95750000\;\text{J}}
\]
b) A potência é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{P=\frac{\Delta E}{\Delta t}} \tag{XI}
\end{gather}
\]
Para o motor Diesel a energia será o trabalho
(
\( \Delta E={\Large{\tau} }_{1} \))
realizado para mover a bomba, usando a expressão (II) na expressão (XI)
\[
\begin{gather}
P=\frac{{\Large{\tau} }_{1}}{\Delta t}\\
P=\frac{\eta_{m}Q_{1}}{\Delta t}
\end{gather}
\]
substituindo os dados do problema e o valor de
Q1 obtido no item (a)
\[
\begin{gather}
P=\frac{0.36.95750000}{18000}\\
P=\frac{34470000}{18000}\\
P=1915\;\text{W}
\end{gather}
\]
Usando a equivalência cavalo-vapor e watts dada no problema e fazendo uma “regra de três”
\[
\begin{gather}
\frac{1\;\text{cv}}{735,5\;\text{W}}=\frac{P_{m}}{1915\;\text{W}}\\
P_{m}=\frac{1915\;\cancel{\text{W}}.1\;\text{cv}}{735,5\;\cancel{\text{W}}}
\end{gather}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{P_{m}=2,6\;\text{cv}}
\]
Para a bomba hidráulica a energia será o trabalho
\( \Delta E={\Large{\tau}}_{2} \)
realizado para elevar a água e este trabalho é igual à
Energia Potencial
\( {\Large{\tau}}_{2}=E_{\text{P}} \),
usando a expressão (X) em (XI)
\[
\begin{gather}
P=\frac{{\Large{\tau} }_{2}}{\Delta t}\\
P=\frac{E_{P}}{\Delta t}\\
P=\frac{V\Delta tgh}{\Delta t}\\
P=Vgh
\end{gather}
\]
substituindo os dados do problema
\[
\begin{gather}
P=5.10.30\\
P=1500\;\text{W}
\end{gather}
\]
Usando a equivalência cavalo-vapor e watts dada no problema e fazendo uma “regra de três”
\[
\begin{gather}
\frac{1\;\text{cv}}{735,5\;\text{W}}=\frac{P_{b}}{1500\;\text{W}}\\
P_{b}=\frac{1500\;\cancel{\text{W}}.1\;\text{cv}}{735,5\;\cancel{\text{W}}}
\end{gather}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{P_{b}=2\;\text{cv}}
\]