Exercício Resolvido de Termodinâmica
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Um cilindro possui um êmbolo móvel, no seu interior está encerrado 1 g de hidrogênio. O cilindro é aquecido sob pressão constante de 0° C a 100° C. Calcular o trabalho da dilatação para mover o êmbolo. Dados a massa molecular do hidrogênio igual a 2 g/mol e a Constante Universal dos Gases Perfeitos R = 8,32 J/mol.K.


Dados do problema:
  • Massa de H2:    m = 1 g;
  • Massa molar do H2:    M = 2 g/mol;
  • Temperatura inicial:    ti = 0° C;
  • Temperatura final:    tf = 100° C;
  • Constante Universal dos Gases Perfeitos:    R = 8,32 J/mol.K.
Esquema do problema:

O gás possui um volume inicial Vi na temperatura inicial ti = 0° C, quando aquecido até a temperatura final tf = 100° C seu volume aumenta até o volume final Vf. A transformação é feita à pressão constante, transformação isobárica, e como não há mudança na massa do gás o número de mols do gás também permanece constante.
Figura 1

Solução

Em primeiro lugar devemos converter a temperatura do gás dada em graus Celsius para kelvins
\[ \begin{gather} T_{i}=t_{ci}+273=0+273=273\;\text{K}\\[10pt] T_{f}=t_{\mathrm{cf}}+273=100+273=373\;\text{K} \end{gather} \]
O trabalho realizado pelo gás para mover o êmbolo sob pressão constante é dado por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {{\Large{\tau}} =p\,(\,V_{f}-V_{i}\,)} \tag{I} \end{gather} \]
Usando a Equação de Clapeyron
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {pV=nRT} \]
onde n é o número de mols do gás. Escrevendo esta equação para as situações inicial e final do gás
\[ pV_{i}=nRT_{i} \]
\[ pV_{f}=nRT_{f} \]
subtraindo a expressão inicial da expressão final
\[ \frac{ \begin{matrix} pV_{f}=nRT_{f}\\ pV_{i}=nRT_{i} \end{matrix}} {pV_{f}-pV_{i}=nRT_{f}-nRT_{i}} \]
colocando a pressão p em evidência do lado esquerdo da igualdade, e o fator nR do lado direito
\[ \begin{gather} p \left(V_{f}-V_{i} \right)=nR \left(T_{f}-T_{i} \right) \tag{II} \end{gather} \]
o número de mols é dado por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {n=\frac{m}{M}} \tag{III} \end{gather} \]
substituindo a expressão (III) na expressão (II)
\[ \begin{gather} p \left(V_{f}-V_{i} \right)=\frac{m}{M}R \left(T_{f}-T_{i} \right) \tag{IV} \end{gather} \]
substituindo a expressão (IV) na expressão (I)
\[ {\Large{\tau}} =\frac{m}{M}R \left(T_{f}-T_{i} \right) \]
substituindo os valores dados no problema
\[ \begin{gather} {\Large{\tau}} =\frac{1}{2}.8,32.(373-273)\\ {\Large{\tau}}=\frac{1}{2}.8,32.100\\ {\Large{\tau}} =8,32.50 \end{gather} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {{\Large{\tau}} =416\;\text{J}} \]
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