Um cilindro possui um êmbolo móvel, no seu interior está encerrado 1 g de hidrogênio. O cilindro é aquecido
sob pressão constante de 0° C a 100° C. Calcular o trabalho da dilatação para mover o êmbolo. Dados a massa
molecular do hidrogênio igual a 2 g/mol e a
Constante Universal dos Gases Perfeitos
R = 8,32 J/mol.K.
Dados do problema:
- Massa de H2: m = 1 g;
- Massa molar do H2: M = 2 g/mol;
- Temperatura inicial: ti = 0° C;
- Temperatura final: tf = 100° C;
- Constante Universal dos Gases Perfeitos: R = 8,32 J/mol.K.
Esquema do problema:
O gás possui um volume inicial Vi na temperatura inicial ti = 0° C, quando
aquecido até a temperatura final tf = 100° C seu volume aumenta até o volume final
Vf. A transformação é feita à pressão constante,
transformação isobárica,
e como não há mudança na massa do gás o número de mols do gás também permanece constante.
Solução
Em primeiro lugar devemos converter a temperatura do gás dada em graus Celsius para kelvins
\[
\begin{gather}
T_{i}=t_{ci}+273=0+273=273\;\text{K}\\[10pt]
T_{f}=t_{\mathrm{cf}}+273=100+273=373\;\text{K}
\end{gather}
\]
O trabalho realizado pelo gás para mover o êmbolo sob pressão constante é dado por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{{\Large{\tau}} =p\,(\,V_{f}-V_{i}\,)} \tag{I}
\end{gather}
\]
Usando a
Equação de Clapeyron
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{pV=nRT}
\]
onde
n é o número de mols do gás. Escrevendo esta equação para as situações inicial e final do gás
\[
pV_{i}=nRT_{i}
\]
\[
pV_{f}=nRT_{f}
\]
subtraindo a expressão inicial da expressão final
\[
\frac{
\begin{matrix}
pV_{f}=nRT_{f}\\
pV_{i}=nRT_{i}
\end{matrix}}
{pV_{f}-pV_{i}=nRT_{f}-nRT_{i}}
\]
colocando a pressão
p em evidência do lado esquerdo da igualdade, e o fator
nR do lado direito
\[
\begin{gather}
p \left(V_{f}-V_{i} \right)=nR \left(T_{f}-T_{i} \right) \tag{II}
\end{gather}
\]
o número de mols é dado por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{n=\frac{m}{M}} \tag{III}
\end{gather}
\]
substituindo a expressão (III) na expressão (II)
\[
\begin{gather}
p \left(V_{f}-V_{i} \right)=\frac{m}{M}R \left(T_{f}-T_{i} \right) \tag{IV}
\end{gather}
\]
substituindo a expressão (IV) na expressão (I)
\[
{\Large{\tau}} =\frac{m}{M}R \left(T_{f}-T_{i} \right)
\]
substituindo os valores dados no problema
\[
\begin{gather}
{\Large{\tau}} =\frac{1}{2}.8,32.(373-273)\\
{\Large{\tau}}=\frac{1}{2}.8,32.100\\
{\Large{\tau}} =8,32.50
\end{gather}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{{\Large{\tau}} =416\;\text{J}}
\]