Exercício Resolvido de Termodinâmica
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Calcular, em calorias, o trabalho necessário para vencer a pressão atmosférica de uma atmosfera durante a solidificação de 10 kg de água a 0° C. A massa específica do gelo é 0,917 g/cm3 a 0° C e a da água é 1 g/cm3. Adote o equivalente mecânico do calor como sendo 1 cal = 4,18 J.


Dados do problema:
  • Massa de água:    m = 10 kg;
  • Pressão atmosférica:    p = 1 atm;
  • Massa específica do gelo:    μg = 0,917 g/cm3;
  • Massa específica da água:    μa = 1 g/cm3;
  • Equivalência entre caloria e joule:    1 cal = 4,18 J.
Esquema do problema:

No início temos água a 0° C e no final temos gelo a 0° C, como não há mudança de temperatura podemos adotar que o recipiente não sofre mudança de volume durante o congelamento da água. Assim a área A da superfície do líquido será a mesma da superfície do gelo no final da transformação.

Figura 1

A superfície da água sofre uma pressão p da atmosfera devido à força (força peso) da coluna de ar sobre a superfície livre da água; Quando a água se congela ela se expande, como ela está contida pelas paredes laterais e inferior do recipiente ela só pode se expandir para cima, nesta expansão a superfície se desloca de uma altura h, para que este deslocamento ocorra a água deve exercer uma força F contra a pressão atmosférica.

Solução

Em primeiro lugar devemos converter as massas específicas, da água e do gelo, dadas em gramas por centímetro cúbico para quilogramas por metro cúbico e a pressão atmosférica dada em atmosferas para pascal, usadas no Sistema Internacional (S.I.)
\[ \begin{gather} \mu_{g}=0,917\;\frac{\text{g}}{\text{cm}^{3}}.\frac{1\;\text{kg}}{1000\;\text{g}}.\frac{(100\;\text{cm})^{3}}{(1\;\text{m}\,)^{3}}=0,917\;\frac{\cancel{\text{g}}}{\cancel{\text{cm}^{3}}}.\frac{1\;\text{kg}}{1000\;\cancel{\text{g}}}.\frac{1000000\;\cancel{\text{cm}^{3}}}{1\;\text{m}^{3}}\text{=}\\ \text{=}0,917.1000\;\frac{\text{kg}}{\text{m}^{3}}=917\;\frac{\text{kg}}{\text{m}^{3}} \qquad\qquad\qquad\qquad\\[10pt] \mu_{a}=1\;\frac{\text{g}}{\text{cm}^{3}}.\frac{1\;\text{kg}}{1000\;\text{g}}.\frac{(100\;\text{cm})^{3}}{(1\;\text{m})^{3}}=1\;\frac{\cancel{\text{g}}}{\cancel{\text{cm}^{3}}}.\frac{1\;\text{kg}}{1000\;\cancel{\text{g}}}.\frac{1000000\;\cancel{\text{cm}^{3}}}{1\;\text{m}^{3}}\text{=}\\ \text{=}1.1000\;\frac{\text{kg}}{\text{m}^{3}}=1000\;\frac{\text{kg}}{\text{m}^{3}} \qquad\qquad\qquad\qquad\quad\,\\[10pt] p=1\;\text{atm}=1,01.10^{5}\;\text{Pa} \end{gather} \]
O trabalho da força realizada contra a pressão atmosférica é dado por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {_{F}{\Large{\tau }}=Fd} \tag{I} \end{gather} \]
onde o deslocamento (d) é a altura que a superfície da água subiu enquanto se congelava, sendo d=h.
A pressão exercida pela força de expansão é dada por
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {p=\frac{F}{A}} \]
\[ \begin{gather} F=pA \tag{II} \end{gather} \]
substituindo a expressão (II) na expressão (I)
\[ \begin{gather} _{F}{\Large{\tau }}=pAh \tag{III} \end{gather} \]
O termo Ah que aparece na expressão (III) representa a variação de volume ΔV entre o volume final do gelo (Vg) e o volume inicial de água (Va) (Figura 2)
\[ \begin{gather} Ah=\Delta V=V_{g}-V_{a} \tag{IV} \end{gather} \]
Figura 2

substituindo a expressão (IV) na expressão (III)
\[ \begin{gather} _{F}{\Large{\tau}}=p\,\left(\,V_{g}-V_{a}\,\right) \tag{V} \end{gather} \]
A massa específica de um corpo é dada por
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {\mu =\frac{m}{V}} \]
\[ V=\frac{m}{\mu} \]
escrevendo esta expressão para os volumes de água e de gelo
\[ \begin{gather} V_{a}=\frac{m}{\mu_{a}} \tag{VI-a} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} V_{g}=\frac{m}{\mu_{g}} \tag{VI-b} \end{gather} \]
substituindo as expressões (VI-a) e (VI-b) na expressão (V)
\[ _{F}{\Large{\tau }}=p\,\left(\,\frac{m}{\mu_{g}}-\frac{m}{\mu _{a}}\,\right) \]
colocando a massa m em evidência
\[ _{F}{\Large{\tau }}=pm\;\left(\;\frac{1}{\mu_{g}}-\frac{1}{\mu_{a}}\;\right) \]
substituindo os valores dados no problema
\[ \begin{gather} _{F}{|Large{\tau}}=1,01.10^{5}.10.\;\left(\;\frac{1}{917}-\frac{1}{1000}\;\right)\\ _{F}{\Large{\tau}}=1,01.10^{4}.\;\left(\;0,0011-0,0010\;\right)\\ _{F}{\Large{\tau}}=10100.0,0001\\ _{F}{\Large{\tau}}=1,01\;\text{J} \end{gather} \]
Convertendo para calorias usamos a equivalência dada no problema fazendo uma “regra de três”
\[ \begin{gather} \frac{1\;\text{cal}}{4,18\;\text{J}}=\frac{Q}{1,01\;\text{J}}\\ Q=\frac{1\;\text{cal}.(1,01\;\cancel{\text{J}})}{4,18\;\cancel{\text{J}}} \end{gather} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {Q=0,24\;\text{cal}} \]
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