Um tubo capilar de um termômetro de mercúrio graduado de 0 a 100° C tem diâmetro 1/10 mm, seu reservatório
é cilíndrico com 1 cm de comprimento e 2 mm de raio. Determinar o comprimento correspondente a cada grau da
haste. Sendo os coeficientes de dilatação do mercúrio e do vidro respectivamente:
\( \gamma_{\small{Hg}}=\dfrac{1}{5550}\;\mathrm{°C^{-1}} \)
e
\( \gamma_{\small V}=\dfrac{1}{38850}\;\mathrm{°C^{-1}} \)
Dados do problema:
-
Diâmetro do tubo:
\( d_{\small T}=\dfrac{1}{10}\;\mathrm{mm} \);
- Comprimento do reservatório: HR = 1 cm;
- Raio do reservatório: RR = 2 mm;
- Variação da temperatura: Δt = 1 °C;
-
Coeficiente de dilatação volumétrica do mercúrio:
\( \gamma_{\small{Hg}}=\dfrac{1}{5550}\;\mathrm{°C^{-1}} \);
-
Coeficiente de dilatação volumétrica do vidro:
\( \gamma_{\small V}=\dfrac{1}{38850}\;\mathrm{°C^{-1}} \).
Esquema do problema:
Inicialmente o termômetro está numa temperatura t, quando o sistema é aquecido de 1 °C ele passa
a uma temperatura t+1 (Δt = 1 °C) ele se expande em todas as direções, como o mercúrio
possui um coeficiente de dilatação maior que o do vidro ele se expande mais que o reservatório onde está
e sobe um pouco mais pelo capilar (Figura 1)
Quando a temperatura sofre esta variação Δt a altura da coluna de mercúrio sofre uma variação
ΔhT.
Solução:
Em primeiro lugar devemos converter o diâmetro do tubo e o raio do reservatório, dados em milímetros (mm),
e o comprimento do reservatório, dado em centímetros (cm), para metros (m) usado no
Sistema Internacional de Unidades (S.I.)
\[
\begin{gather}
d_{\small T}=\frac{1}{10}\;\mathrm{mm}=0,1\mathrm{mm}=0,1\times 10^{-3}\;\mathrm m=1\times 10^{-1}\times 10^{-3}\;\mathrm m=1\times 10^{-4}\;\mathrm m \\[5pt]
R_{\small R}=2\;\mathrm{mm}=2\times 10^{-3}\;\mathrm m \\[5pt]
H_{\small R}=1\;\mathrm{cm}=1\times 10^{-2}\;\mathrm m
\end{gather}
\]
A variação do volume do mercúrio no tubo (ΔVT, volume aparente) será a diferença
entre a variação total do volume do mercúrio (ΔVHg) e a variação do volume do
reservatório ΔVR
\[
\begin{gather}
\Delta V_{\small T}=\pi\left(\frac{d_{\small T}}{2}\right)^2\Delta h_{\small T} \tag{I}
\end{gather}
\]
A dilatação volumétrica é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{V=V_0(1+\gamma\Delta t)}
\end{gather}
\]
a variação total do volume é dada por
\[
\begin{gather}
V=V_0+V_0\gamma\Delta t \\[5pt]
V-V_0=V_0\gamma\Delta t \\[5pt]
\Delta V=V_0\gamma\Delta t \tag{II}
\end{gather}
\]
Aplicando a equação (II), variação total do volume do mercúrio é dada por
\[
\begin{gather}
\Delta V_{\small{Hg}}=V_{0\small{Hg}}\gamma_{\small{Hg}}\Delta t \tag{III}
\end{gather}
\]
e a variação total do volume do reservatório é dada por
\[
\begin{gather}
\Delta V_{\small R}=V_{0\small R}\gamma_{\small V}\Delta t \tag{IV}
\end{gather}
\]
Substituindo as equações (III) e (IV) na equação (I)
\[
\begin{gather}
\Delta V_{\small T}=V_{0\small{Hg}}\gamma_{\small{Hg}}\Delta t-V_{0\small R}\gamma_{\small V}\Delta t
\end{gather}
\]
como inicialmente o mercúrio ocupa todo o volume do reservatório
V0Hg = V0R
(e uma certa altura do tubo capilar), colocando V0RΔt em evidência
\[
\begin{gather}
\Delta V_{\small T}=V_{0\small R}\gamma_{\small{Hg}}\Delta t-V_{0\small R}\gamma_{\small V}\Delta t \\[5pt]
\Delta V_{\small T}=V_{0\small R}\Delta t(\gamma_{\small{Hg}}-\gamma_{\small V}) \tag{V}
\end{gather}
\]
O volume de um cilindro é dado por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{V=\pi r^2h} \tag{VI}
\end{gather}
\]
a variação do volume do tubo será
\[
\begin{gather}
\Delta V_{\small T}=\pi\left(\frac{d_{\small T}}{2}\right)^2\Delta h_{\small T} \tag{VII}
\end{gather}
\]
o raio do tubo será metade do diâmetro dado no problema
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{r=\frac{d}{2}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
r_{\small T}=\frac{d_{\small T}}{2} \tag{VIII}
\end{gather}
\]
substituindo a equação (VIII) na equação (VII)
\[
\begin{gather}
\Delta V_{\small T}=\pi\left(\frac{d_{\small T}}{2}\right)^2\Delta h_{\small T} \tag{IX}
\end{gather}
\]
O reservatório tem formato cilíndrico, usando a equação (VI) seu volume será
\[
\begin{gather}
V_{0\small R}=\pi R_{\small R}^2H_{\small R} \tag{X}
\end{gather}
\]
Substituindo as equações (VII) e (X) na equação (V)
\[
\begin{gather}
\cancel{\pi} \left(\frac{d_{\small T}}{2}\right)^2\Delta h_{\small T}=\cancel{\pi} R_{\small R}^2H_{\small R}\Delta t(\gamma_{\small{Hg}}-\gamma_{\small V}) \\[5pt]
\Delta h_{\small T}=\frac{R_{\small R}^2H_{\small R}\Delta t(\gamma_{\small{Hg}}-\gamma_{\small V})}{\left(\dfrac{d_{\small T}}{2}\right)^2} \\[5pt]
\Delta h_{\small T}=\frac{R_{\small R}^2H_{\small R}\Delta t(\gamma_{\small{Hg}}-\gamma_{\small V})}{\dfrac{d_{\small T}^2}{4}} \\[5pt]
\Delta h_{\small T}=\frac{4R_{\small R}^2H_{\small R}\Delta t(\gamma_{\small{Hg}}-\gamma_{\small V})}{d_{\small T}^2}
\end{gather}
\]
substituindo os dados do problema
\[
\begin{gather}
\Delta h_{\small T}=\frac{4\times(2\times 10^{-3})^2\times 1\times 10^{-2}\times 1\times\left(\dfrac{1}{5550}-\dfrac{1}{38850}\right)}{(1\times 10^{-4})^2} \\[5pt]
\Delta h_{\small T}=\frac{4\times 4\times 10^{-6}\times 1\times 10^{-2}\times 1\times \left(18\times 10^{-5}-2,6\times 10^{-5}\right)}{1\times 10^{-8}} \\[5pt]
\Delta h_{\small T}=16\times 10^{-8}\times \left(15,4\times 10^{-5}\right)\times 10^{8}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{\Delta h_{\small T}=2,5\times 10^{-3}\;\mathrm m^{3}=2,5\;\mathrm{mm}}
\end{gather}
\]
