Exercício Resolvido de Dilatação

Um tubo capilar de vidro de diâmetro d₀=1/5 mm e comprimento h₀=1 m, medidos a 0 °C, é dividido em 100 partes de mesma altura. Determinar a capacidade do reservatório (a 0 °C) que será preciso soldar em sua extremidade inferior, para que funcione como um termômetro de mercúrio de 0 a 100 °C. Os coeficientes de dilatação volumétrica do mercúrio e do vidro valem respectivamente: \( \gamma_{\small{Hg}}=\dfrac{1}{5550}\mathrm{°C^{-1}} \) e \( \gamma_{\small V}=\dfrac{1}{38850}\mathrm{°C^{-1}} \).

Dados do problema:

Temperatura inicial: t₀ = 0 °C;
Temperatura final: t₁ = 100 °C;
Comprimento do tubo: h₀ = 1 m;
Diâmetro do tubo: \( d_0=\dfrac{1}{5}\;\mathrm{mm} \);
Coeficiente de dilatação volumétrica do mercúrio: \( \gamma_{\small{Hg}}=\dfrac{1}{5550}°\mathrm{C}^{-1} \);
Coeficiente de dilatação volumétrica do vidro: \( \gamma_{\small V}=\dfrac{1}{38850}°\mathrm{C}^{-1} \).

Esquema do problema:

À temperatura de 0 °C o tubo capilar possui um volume V_0T e o reservatório um volume V_0R, inicialmente o mercúrio ocupa todo o volume do reservatório.

Figura 1

A medida que o sistema é aquecido ele se expande em todas as direções, como o mercúrio possui um coeficiente de dilatação maior que o do vidro ele se expande mais que o reservatório onde está e começa a subir pelo capilar. Na temperatura de 100 °C o reservatório vai ter se expandido, como o tubo é um capilar (um tubo muito fino) a sua expansão pode ser desprezada, e o mercúrio vai se expandir até ocupar totalmente o volume do reservatório e do tubo capilar.

Solução:

Convertendo o diâmetro do tubo dado em milímetros (mm) para metros (m) usado no Sistema Internacional de Unidades (S.I.)

\[ \begin{align} d_0 & =\frac{1}{5}\mathrm{mm}=0,2\;\mathrm{\cancel{mm}}\times\frac{1\;\cancel{\mathrm m}}{10^{3}\;\mathrm{mm}}=0,2\times 10^{-3}\;\mathrm{m}=\\ & =2\times 10^{-1}\times 10^{-3}\;\mathrm m=2\times 10^{-4}\;\mathrm m \end{align} \]

A variação do volume do mercúrio no tubo (ΔV_T, volume aparente) será a diferença entre a variação total do volume do mercúrio (ΔV_Hg) e a variação do volume do reservatório (ΔV_R)

\[ \begin{gather} \Delta V_{\small T}=\Delta V_{\small{Hg}}-\Delta V_{\small R} \tag{I} \end{gather} \]

A dilatação volumétrica é dada por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\Delta V=V_0\gamma\Delta t} \end{gather} \]

a variação total do volume do mercúrio é dada por

\[ \begin{gather} \Delta V_{\small{Hg}}=V_{0\small{Hg}}\gamma_{\small{Hg}}\Delta t \tag{II} \end{gather} \]

a variação total do volume do reservatório é dada por

\[ \begin{gather} \Delta V_{\small R}=V_{0\small R}\gamma_{\small V}\Delta t \tag{III} \end{gather} \]

substituindo as equações (II) e (III) na equação (I)

\[ \begin{gather} \Delta V_{\small T}=V_{0\small{Hg}}\gamma_{\small{Hg}}\Delta t-V_{0\small R}\gamma_{\small V}\Delta t \end{gather} \]

como inicialmente o mercúrio ocupa todo o volume do reservatório V_0Hg = V_0R, colocando V_0RΔt em evidência

\[ \begin{gather} \Delta V_{\small T}=V_{0\small R}\Delta t\left(\gamma_{\small{Hg}}-\gamma_{\small V}\right) \tag{IV} \end{gather} \]

A variação do volume do mercúrio no tubo é dado por

\[ \begin{gather} \Delta V_{\small T}=V_{1\small T}-V_{0\small T} \tag{V} \end{gather} \]

quando a temperatura é de 0 °C o volume de mercúrio no tubo é nulo (V_0T = 0, todo o mercúrio está no reservatório), quando a temperatura atinge 100 °C o tubo está cheio de mercúrio e como desprezamos a expansão do tubo de vidro o seu volume é o mesmo que a 0 °C. O tubo tem formato cilíndrico e seu volume é dado por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {V=\pi r^2h} \tag{VI} \end{gather} \]

o raio da base será metade do diâmetro dado no problema

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {r=\frac{d}{2}} \tag{VII} \end{gather} \]

substituindo a equação (VII) na equação (VI) o volume final do tudo será

\[ \begin{gather} V_{1T}=\pi\left(\frac{d_0}{2}\right)^2h_0 \tag{VIII} \end{gather} \]

substituindo a equação (VIII) na equação (V)

\[ \begin{gather} \Delta V_{\small T}=\pi\left(\frac{d_0}{2}\right)^2h_0-V_{0\small T} \tag{IX} \end{gather} \]

substituindo a equação (IX) na equação (IV), e sendo \( \Delta t=t_1-t_0 \)

\[ \begin{gather} \pi \left(\frac{d_0}{2}\right)^2h_0-V_{0\small T}=V_{0\small R}\Delta t\left(\gamma_{\small{Hg}}-\gamma_{\small V}\right) \\[5pt] \pi\left(\frac{d_0}{2}\right)^2h_0-V_{0\small T}=V_{0\small R}\left(t_1-t_0\right)\left(\gamma_{\small{Hg}}-\gamma_{\small V}\right) \\[5pt] V_{0R}=\frac{\pi\left(\dfrac{d_0}{2}\right)^2h_0-V_{0\small T}}{\left(t_1-t_0\right)\left(\gamma_{\small{Hg}}-\gamma_{\small V}\right)} \end{gather} \]

substituindo o valor V_0T obtido acima, os valores dados no problema e adotando π = 3,14

\[ \begin{gather} V_{0\small R}=\frac{3,14\times\left(\dfrac{2\times 10^{-4}}{2}\right)^2\times 1-0}{\left(100-0\right)\times\left(\dfrac{1}{5550}-\dfrac{1}{38850}\right)} \\[5pt] V_{0\small R}=\frac{3,14\times 1\times 10^{-8}}{100\times\left(18\times 10^{-5}-2,6\times 10^{-5}\right)} \\[5pt] V_{0\small R}=\frac{3,14\times 10^{-8}}{100\times 15,4\times 10^{-5}} \\[5pt] V_{0\small R}=\frac{3,14\times 10^{-8}}{15,4\times 10^{-3}} \\[5pt] V_{0\small R}=\frac{3,14\times 10^{-8}\times 10^{3}}{15,4} \\[5pt] V_{0\small R}=\frac{3,14\times 10^{-5}}{15,4} \end{gather} \]

\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {v_{0\small R}=2,04\times 10^{-6}\;\mathrm{m^3}} \end{gather} \]