Exercício Resolvido de Dilatação
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Um tubo capilar de vidro de diâmetro d0 = 1/5 mm e comprimento h0 = 1 m, medidos a 0 °C, é dividido em 100 partes de mesma altura. Determinar a capacidade do reservatório (a 0 °C) que será preciso soldar em sua extremidade inferior, para que funcione como um termômetro de mercúrio de 0 a 100 °C. Os coeficientes de dilatação volumétrica do mercúrio e do vidro valem respectivamente: \( \gamma_{Hg}=\dfrac{1}{5550}°\text{C}^{-1} \) e \( \gamma_{V}=\dfrac{1}{38850}°\text{C}^{-1} \).
Dados do problema:
- Temperatura inicial: t0 = 0 °C;
- Temperatura final: t1 = 100 °C;
- Comprimento do tubo: h0 = 1 m;
- Diâmetro do tubo: \( d_{0}=\dfrac{1}{5}\;\text{mm} \);
- Coeficiente de dilatação volumétrica do mercúrio: \( \gamma_{Hg}=\dfrac{1}{5550}°\text{C}^{-1} \);
- Coeficiente de dilatação volumétrica do vidro: \( \gamma_{V}=\dfrac{1}{38850}°\text{C}^{-1} \).
À temperatura de 0 °C o tubo capilar possui um volume V0T e o reservatório um volume V0R, inicialmente o mercúrio ocupa todo o volume do reservatório.
A medida que o sistema é aquecido ele se expande em todas as direções, como o mercúrio possui um coeficiente de dilatação maior que o do vidro ele se expande mais que o reservatório onde está e começa a subir pelo capilar. Na temperatura de 100 °C o reservatório vai ter se expandido, como o tubo é um capilar (um tubo muito fino) a sua expansão pode ser desprezada, e o mercúrio vai se expandir até ocupar totalmente o volume do reservatório e do tubo capilar.
Solução
Convertendo o diâmetro do tubo dado em milímetros (mm) para metros (m) usado no Sistema Internacional (S.I.)
\[
d_{0}=\frac{1}{5}\text{mm}=0,2\;\cancel{\text{mm}}.\frac{1\;\cancel{\text{m}}}{10^{3}\;\text{mm}}=0,2.10^{-3}\;\text{m}=2.10^{-1}.10^{-3}\;\text{m}=2.10^{-4}\;\text{m}
\]
A variação do volume do mercúrio no tubo (ΔVT, volume aparente) será a diferença
entre a variação total do volume do mercúrio (ΔVHg) e a variação do volume do
reservatório (ΔVR)
\[
\begin{gather}
\Delta V_{T}=\Delta V_{Hg}-\Delta V_{R} \tag{I}
\end{gather}
\]
A dilatação volumétrica é dada por
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{\Delta V=V_{0}\gamma \Delta t}
\]
a variação total do volume do mercúrio é dada por
\[
\begin{gather}
\Delta V_{Hg}=V_{0Hg}\gamma_{Hg}\Delta t \tag{II}
\end{gather}
\]
a variação total do volume do reservatório é dada por
\[
\begin{gather}
\Delta V_{R}=V_{0 R}\gamma_{V}\Delta t \tag{III}
\end{gather}
\]
substituindo as expressões (II) e (III) na expressão (I)
\[
\Delta V_{T}=V_{0 Hg}\gamma_{Hg}\Delta t-V_{0 R}\gamma_{V}\Delta t
\]
como inicialmente o mercúrio ocupa todo o volume do reservatório V0Hg =
V0R, colocando V0RΔt em evidência
\[
\begin{gather}
\Delta V_{T}=V_{0R}\Delta t\left(\gamma_{Hg}-\gamma_{V}\right) \tag{IV}
\end{gather}
\]
A variação do volume do mercúrio no tubo é dado por
\[
\begin{gather}
\Delta V_{T}=V_{1T}-V_{0T} \tag{V}
\end{gather}
\]
quando a temperatura é de 0 °C o volume de mercúrio no tubo é nulo (V0T = 0, todo o
mercúrio está no reservatório), quando a temperatura atinge 100 °C o tubo está cheio de mercúrio e como
desprezamos a expansão do tubo de vidro o seu volume é o mesmo que a 0 °C. O tubo tem formato cilíndrico e
seu volume é dado por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{V=\pi r^{2}h} \tag{VI}
\end{gather}
\]
o raio da base será metade do diâmetro dado no problema
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{r=\frac{d}{2}} \tag{VII}
\end{gather}
\]
substituindo a expressão (VII) na expressão (VI) o volume final do tudo será
\[
\begin{gather}
V_{1T}=\pi \left(\frac{d_{0}}{2}\right)^{2}h_{0} \tag{VIII}
\end{gather}
\]
substituindo a expressão (VIII) na expressão (V)
\[
\begin{gather}
\Delta V_{T}=\pi \left(\frac{d_{0}}{2}\right)^{2}h_{0}-V_{0T} \tag{IX}
\end{gather}
\]
substituindo a expressão (IX) na expressão (IV), e sendo
\( \Delta t=t_{1}-t_{0} \)
\[
\begin{gather}
\pi \left(\frac{d_{0}}{2}\right)^{2}h_{0}-V_{0T}=V_{0R}\Delta t\left(\gamma_{Hg}-\gamma_{V}\right)\\
\pi\left(\frac{d_{0}}{2}\right)^{2}h_{0}-V_{0T}=V_{0R}\left(t_{1}-t_{0}\right)\left(\gamma_{Hg}-\gamma_{V}\right)\\
V_{0R}=\frac{\pi\left(\dfrac{d_{0}}{2}\right)^{2}h_{0}-V_{0T}}{\left(t_{1}-t_{0}\right)\left(\gamma_{Hg}-\gamma_{V}\right)}
\end{gather}
\]
substituindo o valor V0T obtido acima, os valores dados no problema e adotando
π = 3,14
\[
\begin{gather}
V_{0R}=\frac{3,14.\left(\dfrac{2.10^{-4}}{2}\right)^{2}.1-0}{\left(100-0\right).\left(\dfrac{1}{5550}-\dfrac{1}{38850}\right)}\\[5pt]
V_{0R}=\frac{3,14.1.10^{-8}}{100.\left(18.10^{-5}-2,6.10^{-5}\right)}\\[5pt]
V_{0R}=\frac{3,14.10^{-8}}{100.15,4.10^{-5}}\\[5pt]
V_{0R}=\frac{3,14.10^{-8}}{15,4.10^{-3}}\\[5pt]
V_{0R}=\frac{3,14.10^{-8}.10^{3}}{15,4}\\[5pt]
V_{0R}=\frac{3,14.10^{-5}}{15,4}
\end{gather}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{v_{0R}=2,04.10^{-6}\;\text{m}^{3}}
\]
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