Um pêndulo que bate os segundos, a 0 °C tem coeficiente de dilatação linear 0,000019 °C−1.
Calcule quantos segundos atrasará por dia a 40 °C.
Dados do problema:
- Coeficiente de dilatação linear: α = 0,000019 °C−1
- Temperatura inicial do pêndulo: t1 = 0 °C;
- Temperatura final do pêndulo: t2 = 40 °C;
Esquema do problema:
O pêndulo possui um comprimento L0 a uma temperatura t0 e ao ser
aquecido a uma temperatura t1 possui um comprimento L1 (Figura 1).
Solução:
A equação para o período (T) de oscilação do pêndulo é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{T=2\pi\sqrt{\frac{L}{g}\;}} \tag{I}
\end{gather}
\]
onde g é a aceleração local da gravidade.
Com o aumento da temperatura o pêndulo se dilata, seu comprimento aumenta e o período por oscilação fica
maior e há um atraso na marcação do tempo.
Escrevendo a equação (I) para as temperaturas inicial e final do pêndulo
\[
\begin{gather}
T_0=2\pi\sqrt{\frac{L_0}{g}\;}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
T_1=2\pi\sqrt{\frac{L_1}{g}\;}
\end{gather}
\]
dividindo a equação de T1 por T0
\[
\begin{gather}
\frac{T_1}{T_0}=\frac{\cancel{2\pi}\sqrt{\dfrac{L_1}{g}\;}}{\cancel{2\pi}\sqrt{\dfrac{L_0}{g}\;}} \\[5pt]
\frac{T_1}{T_0}=\sqrt{\frac{\dfrac{L_1}{\cancel{g}}\;}{\dfrac{L_0}{\cancel{g}}}} \\[5pt]
\frac{T_1}{T_0}=\sqrt{\frac{L_1}{L_0}\;} \tag{II}
\end{gather}
\]
A equação para a dilatação linear de um corpo é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{L=L_0(1+\alpha\Delta t)} \tag{III}
\end{gather}
\]
sendo L=L1 e
Δt=t1−t0, a equação (III) é reescrita como
\[
\begin{gather}
L_1=L_0[1+\alpha(t_1-t_0)] \tag{IV}
\end{gather}
\]
substituindo a equação (IV) na equação (II)
\[
\begin{gather}
\frac{T_1}{T_0}=\sqrt{\frac{\cancel{L_0}[1+\alpha(t_1-t_0)]}{\cancel{L_0}}} \\[5pt]
T_1=T_0\sqrt{1+\alpha(t_1-t_0)}
\end{gather}
\]
subtraindo T0 de ambos os lados da igualdade
\[
\begin{gather}
T_1-T_0=T_{0}\sqrt{1+\alpha(t_1-t_0)}-T_0
\end{gather}
\]
do lado esquerdo da igualdade ΔT = T1 − T0 é a
diferença de tempo nas duas temperaturas, e do lado direito colocamos T0 em evidência
\[
\begin{gather}
\Delta T=T_0\left(\sqrt{1+\alpha(t_1-t_0)}-1\right)
\end{gather}
\]
Como queremos o atraso em 1 dia T0 será o número de segundos nesse tempo
\[
\begin{gather}
T_0=1\;\cancel{\text{dia}}\times\frac{24\;\mathrm{\cancel h}}{1\;\cancel{\text{dia}}}\times\frac{60\;\mathrm{\cancel{min}}}{1\;\cancel{\mathrm{h}}}\times\frac{60\;\mathrm s}{1\;\mathrm{\cancel{min}}}=86400\;\mathrm s
\end{gather}
\]
substituindo este valor e os dados do problema
\[
\begin{gather}
\Delta T=86400\times\left(\sqrt{1+0,000019\times(40-0)}-1\right) \\[5pt]
\Delta T=86400\times\left(\sqrt{1+0,000019\times 40}-1\right) \\[5pt]
\Delta T=86400\times\left(\sqrt{1,00076}-1\right) \\[5pt]
\Delta T=86400\times\left(1,00038-1\right) \\[5pt]
\Delta T=86400\times 0,00038
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{\Delta T=32,8\;\mathrm s}
\end{gather}
\]
