Exercício Resolvido de Dilatação
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Um pêndulo que bate os segundos, a 0 °C tem coeficiente de dilatação linear 0,000019 °C−1. Calcule quantos segundos atrasará por dia a 40 °C.
Dados do problema:
- Coeficiente de dilatação linear: α = 0,000019 °C−1
- Temperatura inicial do pêndulo: t1 = 0 °C;
- Temperatura final do pêndulo: t2 = 40 °C;
O pêndulo possui um comprimento L0 a uma temperatura t0 e ao ser
aquecido a uma temperatura t1 possui um comprimento L1 (Figura 1).
Figura 1
Solução
A expressão para o período (T) de oscilação do pêndulo é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{T=2\pi \sqrt{\frac{L}{g}\;}} \tag{I}
\end{gather}
\]
onde g é a aceleração local da gravidade.Com o aumento da temperatura o pêndulo se dilata, seu comprimento aumenta e o período por oscilação fica maior e há um atraso na marcação do tempo.
Escrevendo a expressão (I) para as temperaturas inicial e final do pêndulo
\[
T_{0}=2\pi \sqrt{\frac{L_{0}}{g}\;}
\]
\[
T_{1}=2\pi \sqrt{\frac{L_{1}}{g}\;}
\]
dividindo a expressão de T1 por T0
\[
\begin{gather}
\frac{T_{1}}{T_{0}}=\frac{\cancel{2\pi}\sqrt{\dfrac{L_{1}}{g}\;}}{\cancel{2\pi}\sqrt{\dfrac{L_{0}}{g}\;}}\\[8pt]
\frac{T_{1}}{T_{0}}=\sqrt{\frac{\dfrac{L_{1}}{\cancel{g}}\;}{\dfrac{L_{0}}{\cancel{g}}}}\\[8pt]
\frac{T_{1}}{T_{0}}=\sqrt{\frac{L_{1}}{L_{0}}\;} \tag{II}
\end{gather}
\]
A expressão para a dilatação linear de um corpo é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{L=L_{0}(1+\alpha \Delta t)} \tag{III}
\end{gather}
\]
sendo L = L1 e Δt = t1 − t0,
a expressão (III) é reescrita como
\[
\begin{gather}
L_{1}=L_{0}[1+\alpha (t_{1}-t_{0})] \tag{IV}
\end{gather}
\]
substituindo a expressão (IV) na expressão (II)
\[
\begin{gather}
\frac{T_{1}}{T_{0}}=\sqrt{\frac{\cancel{L_{0}}[1+\alpha (t_{1}-t_{0})]}{\cancel{L_{0}}}}\\
T_{1}=T_{0}\sqrt{1+\alpha (t_{1}-t_{0})}
\end{gather}
\]
subtraindo T0 de ambos os lados da igualdade
\[
T_{1}-T_{0}=T_{0}\sqrt{1+\alpha (t_{1}-t_{0})}-T_{0}
\]
do lado esquerdo da igualdade ΔT = T1 − T0 é a
diferença de tempo nas duas temperaturas, e do lado direito colocamos T0 em evidência
\[
\Delta T=T_{0}\left(\sqrt{1+\alpha (t_{1}-t_{0})}-1\right)
\]
Como queremos o atraso em 1 dia T0 será o número de segundos nesse tempo
\[
T_{0}=1\;\cancel{\text{dia}}.\frac{24\;\cancel{\text{h}}}{1\;\cancel{\text{dia}}}.\frac{60\;\cancel{\text{min}}}{1\;\cancel{\text{h}}}.\frac{60\;\text{s}}{1\;\cancel{\text{min}}}=86400\;\text{s}
\]
substituindo este valor e os dados do problema
\[
\begin{gather}
\Delta T=86400.\left(\sqrt{1+0,000019.(40-0)}-1\right)\\[5pt]
\Delta T=86400.\left(\sqrt{1+0,000019.40}-1\right)\\[5pt]
\Delta T=86400.\left(\sqrt{1,00076}-1\right)\\[5pt]
\Delta T=86400.\left(1,00038-1\right)\\[5pt]
\Delta T=86400.0,00038
\end{gather}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{\Delta T=32,8\;\text{s}}
\]
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