Exercício Resolvido de Dilatação
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As retas paralelas mostradas na figura, representam os comprimentos de duas barras A e B em função da temperatura. Compare seus coeficientes de dilatação.


Esquema do problema:

Quando as barras A e B estão a uma temperatura inicial t1 seus comprimentos são L0A e L0B, respectivamente, ao sofrerem uma variação de temperatura até t2, seus comprimentos passam para valores finais de LA e LB. Como as retas são paralelas, as variações dos seus comprimentos, ΔLA e ΔLB, são iguais.
Figura 1

Solução

A variação do comprimento em função da variação da temperatura é dada por
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {\Delta L=L_{0}\alpha \Delta t} \]
Escrevendo esta expressão para cada uma das barras
\[ \begin{gather} \Delta L_{A}=L_{0A}\alpha_{A}\Delta t\\ \alpha_{A}\Delta t=\frac{\Delta L_{A}}{L_{0A}} \tag{I} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \Delta L_{B}=L_{0B}\alpha_{B}\Delta t\\ \alpha_{B}\Delta t=\frac{\Delta L_{B}}{L_{0B}} \tag{II} \end{gather} \]
Dividindo a expressão (I) pela expressão (II)
\[ \frac{\alpha_{A}\cancel{\Delta t}}{\alpha_{B}\cancel{\Delta t}}=\frac{\dfrac{\Delta L_{A}}{L_{0A}}}{\dfrac{\Delta L_{B}}{L_{0B}}} \]
Como ΔLA = ΔLB
\[ \begin{gather} \frac{\alpha_{A}}{\alpha_{B}}=\frac{\cancel{\Delta L_{A}}}{L_{0A}}\frac{L_{0B}}{\cancel{\Delta L_{A}}}\\ \frac{\alpha_{A}}{\alpha_{B}}=\frac{L_{0B}}{L_{0A}} \end{gather} \]
Como L0A > L0B, então \( 0<\dfrac{L_{0B}}{L_{0A}}<1 \), assim para que a igualdade se verifique, para qualquer valor de αB , αA será maior
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {\alpha_{A}<\alpha_{B}} \]
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