Exercício Resolvido de Dilatação
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As retas paralelas mostradas na figura, representam os comprimentos de duas barras A e B
em função da temperatura. Compare seus coeficientes de dilatação.
Esquema do problema:
Quando as barras A e B estão a uma temperatura inicial t1 seus
comprimentos são L0a e L0b, respectivamente, ao
sofrerem uma variação de temperatura até t2, seus comprimentos passam para valores
finais de La e Lb. Como as retas são paralelas, as variações
dos seus comprimentos, ΔLa e ΔLb, são iguais.
Solução:
A variação do comprimento em função da variação da temperatura é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\Delta L=L_0\alpha\Delta t}
\end{gather}
\]
Escrevendo esta equação para cada uma das barras
\[
\begin{gather}
\Delta L_a=L_{0a}\alpha_a\Delta t \\[5pt]
\alpha_a\Delta t=\frac{\Delta L_a}{L_{0a}} \tag{I}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\Delta L_b=L_{0b}\alpha_b\Delta t \\[5pt]
\alpha_b\Delta t=\frac{\Delta L_b}{L_{0b}} \tag{II}
\end{gather}
\]
Dividindo a equação (I) pela equação (II)
\[
\begin{gather}
\frac{\alpha_a\cancel{\Delta t}}{\alpha_b\cancel{\Delta t}}=\frac{\dfrac{\Delta L_a}{L_{0a}}}{\dfrac{\Delta L_b}{L_{0b}}}
\end{gather}
\]
Como ΔLa = ΔLb
\[
\begin{gather}
\frac{\alpha_a}{\alpha_b}=\frac{\cancel{\Delta L_a}}{L_{0a}}\frac{L_{0b}}{\cancel{\Delta L_a}} \\[5pt]
\frac{\alpha_a}{\alpha_b}=\frac{L_{0b}}{L_{0a}}
\end{gather}
\]
Como L0a > L0b, então \( 0<\dfrac{L_{0b}}{L_{0a}}<1 \), assim para que a igualdade se verifique, para qualquer valor de αb, αa será maior
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{\alpha_a<\alpha_b}
\end{gather}
\]
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