Exercício Resolvido de Dilatação

Quatro barras de ferro, tendo todas o mesmo comprimento L a 0° C, formam um losango articulado e uma das diagonais deste losango é constituída por uma barra de latão cujo comprimento é 2L₁ a 0° C. Calcular qual deve ser a relação \( \dfrac{L_1}{L} \) para que distância entre os vértices livres se mantenha constante a qualquer temperatura. É conhecida a razão \( \dfrac{\alpha}{\alpha_1} \), entre os coeficientes de dilatação linear do ferro e do latão, e são desprezíveis os quadrados desses coeficientes.

Dados do problema:

Comprimento das barras de ferro a 0° C: L;
Comprimento da barra de latão a 0° C: 2L₁;
Relação entre os coeficientes de dilatação linear do ferro e do latão: \( \dfrac{\alpha}{\alpha_1} \).

Esquema do problema:

Depois de uma alteração na temperatura (Δt) vamos chamar o comprimento final das barras de ferro de L_f e o comprimento final da barra de latão de L_1f, como queremos que não haja variação na distância entre as extremidades livres do losango chamaremos esta distância de 2x nas duas situações (Figura 1).

Figura 1

Solução:

A partir do sistema de barras mostrado na Figura1 podemos desenhar os triângulos mostrados na figura, onde aplicando o Teorema de Pitágoras às situações inicial e final

\[ \begin{gather} L^2=x^2+L_1^2 \tag{I} \\[10pt] L_f^2=x^2+L_{1f}^2 \tag{II} \end{gather} \]

A dilatação linear é dada por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {L=L_0(1+\alpha\Delta t)} \end{gather} \]

Aplicando esta fórmula para a barra de ferro e a barra de latão

\[ \begin{gather} L_f=L(1+\alpha\Delta t) \tag{III} \end{gather} \]

\[ \begin{gather} L_{1f}=L_1(1+\alpha_1\Delta t) \tag{IV} \end{gather} \]

subtraindo a equação (II) da equação (I)

\[ \begin{gather} \frac{ \begin{matrix} \qquad \qquad L^2=x^2+L_1^2\qquad \qquad \\ (\mathrm -)\quad L_f^2=x^2+L_{1f}^2\qquad \end{matrix}} {L^2-L_f^2=0+L_1^2-L_{1f}^2 } \\[5pt] L^2-L_f^2=L_1^2-L_{1f}^2 \tag{V} \end{gather} \]

substituindo as equações (III) e (IV) na equação (V)

\[ \begin{gather} L^2-\left[L(1+\alpha \Delta t)\right]^2=L_1^2-\left[L_1(1+\alpha_1\Delta t)\right]^2 \\[5pt] L^2-L^2(1+\alpha\Delta t)^2=L_1^2-L_1^2(1+\alpha_1\Delta t)^2 \end{gather} \]

Os termos entre parênteses são Produtos Notáveis da forma

\[ \begin{gather} (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 \end{gather} \]

desenvolvendo os termos entre parênteses

\[ \begin{gather} L^2-L^2(1+2\alpha\Delta t+\alpha^2\Delta t^2)=L_1^2-L_1^2(1+2\alpha_1\Delta t+\alpha_1^2\Delta t^2)\\[5pt] L^2-L^2-2L^2\alpha\Delta t-L^2\alpha^2\Delta t^2=L_1^2-L_1^2-2L_1^2\alpha_1\Delta t-L_1^2\alpha_1^2\Delta t^2\\[5pt] -2L^2\alpha\Delta t-L^2\alpha^2\Delta t^2=-2L_1^2\alpha_1\Delta t-L_1^2\alpha_1^2\Delta t^2\\[5pt] 2L^2\alpha\Delta t+L^2\alpha^2\Delta t^2=2L_1^2\alpha_1\Delta t+L_1^2\alpha_1^2\Delta t^2 \end{gather} \]

o problema nos diz que os quadrados dos coeficientes de dilatação são desprezíveis, então podemos “jogar fora” os termos \( L^2\alpha^2\Delta t^2 \) e \( L_1^2\alpha_1^2\Delta t^2 \) reduzindo a equação acima para

\[ \begin{gather} \cancel 2L^2\alpha\cancel{\Delta t}=\cancel 2L_1^2\alpha_1\cancel{\Delta t} \\[5pt] L^2\alpha=L_1^2\alpha_1 \\[5pt] \frac{L_1^2}{L^2}=\frac{\alpha}{\alpha_1} \\[5pt] \left(\frac{L_1}{L}\right)^2=\frac{\alpha}{\alpha_1} \end{gather} \]

\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {\frac{L_1}{L}=\sqrt{\frac{\alpha}{\alpha_1}\;}} \end{gather} \]