Uma chapa metálica quadrada tem a 0 °C, 2,000 m de lado e um orifício circular de 1,000 mm de diâmetro, o
coeficiente de dilatação linear do metal é 10×10−6 °C−1.
a) Determinar a área da chapa (com buraco e tudo) a 100 ºC.
b) O diâmetro final do orifício.
Dados do problema:
- Lado da chapa: L=2,000 m;
- Diâmetro do orifício: d=1,000 mm ;
- Temperatura inicial: t0 = 0 °C;
- Temperatura final: t1 = 100 °C;
- Coeficiente de dilatação linear: α = 10×10−6 °C−1.
Esquema do problema:
Solução:
a) Em primeiro lugar o problema nos dá o coeficiente de dilatação linear, como queremos achar a área da
chapa o coeficiente de dilatação superficial é dado por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\beta=2\alpha}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\beta=2\times 10\times 10^{-6} \\[5pt]
\beta=20\times 10^{-6}°C^{-1}
\end{gather}
\]
A área inicial (A0) da chapa a 0 °C, para uma chapa quadrada a área será
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{A=L^2}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
A_0=(2,000)^2 \\[5pt]
A_0=4,000\;\mathrm m^2
\end{gather}
\]
A variação da área em função da temperatura é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\Delta A=A_0\beta\Delta t}
\end{gather}
\]
a variação da área é ΔA=A − A0, substituindo na equação acima
\[
\begin{gather}
A-A_0=A_0\beta(t-t_0) \\[5pt]
A=A_0+A_0\beta(t-t_0) \\[5pt]
A=4,000+4,000\times 20\times 10^{-6}\times(100-0) \\[5pt]
A=4,000+4,000\times 2\times 10^{1}\times 10^{-6}\times 10^2 \\[5pt]
A=4,000+8,000\times 10^{-3} \\[5pt]
A=4,000+0,008
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{A=4,008\;\mathrm m^2}
\end{gather}
\]
b) Quando a temperatura aumenta a chapa se expande igualmente em todas as direções (Figura 2). Assim
podemos considerar o buraco no meio da chapa como se fosse um círculo formado pelo mesmo material que
a chapa e sofrendo expansão. Como neste item o problema pede o diâmetro do orifício vamos considerar
este diâmetro como sendo uma pequena barra de comprimento
L0 igual ao diâmetro d do
orifício
L0 =
d = 1,000 mm. O comprimento da barra (diâmetro do orifício)
será obtido por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\Delta L=L_0\alpha\Delta t}
\end{gather}
\]
a variação do comprimento é ΔL=L − L0, substituindo na equação
acima
\[
\begin{gather}
L-L_0=A_0\alpha(t-t_0) \\[5pt]
L=L_0+A_0\alpha(t-t_0) \\[5pt]
L=1,000+1,000\times 10\times 10^{-6}\times (100-0) \\[5pt]
L=1,000+1,000\times 1\times 10^{1}\times 10^{-6}\times 10^2 \\[5pt]
L=1,000+1,000\times 10^{-3} \\[5pt]
L=4,000+0,001
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{L=1,001\;\mathrm{mm}}
\end{gather}
\]
