Um líquido possui peso específico ρL a 0 °C e coeficiente de dilatação
γL. Um sólido de peso específico ρS a 0 °C possui um
coeficiente de dilatação γS,
γS > γL. Calcular a que temperatura este sólido flutuará
no líquido.
Dados do problema:
- Peso específico do líquido a 0 °C: ρL;
- Coeficiente de dilatação do líquido: γL;
- Peso específico do sólido a 0 °C: ρS;
- Coeficiente de dilatação do sólido: γS;
- Temperatura inicial do sistema: t0 = 0 °C;
- Adotando a aceleração da gravidade: g.
Esquema do problema:
Inicialmente o sistema está a uma temperatura de 0 °C, vamos assumir que nesta temperatura o sólido está no
fundo do líquido, seu peso específico é maior que o peso específico do líquido. Seja VL o
volume inicial do líquido e VS o volume inicial do sólido (Figura 1).
Quando o sistema é aquecido até uma temperatura t o líquido e o sólido se expandem, como o
coeficiente de dilatação do sólido é maior que o coeficiente de dilatação do líquido, o volume do sólido
VSt aumenta mais rapidamente que o volume do líquido VLt, e o peso
específico do sólido diminui mais que o peso específico do líquido, fazendo o sólido subir.
Solução:
O peso específico é dado por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\rho =\frac{P}{V}} \tag{I}
\end{gather}
\]
aplicando esta equação ao líquido nas situações inicial e final
\[
\begin{gather}
\rho_{\small L}=\frac{m_{\small L}g}{V_{\small L}} \\[10pt]
\rho_{\small Lt}=\frac{m_{\small L}g}{V_{\small Lt}}
\end{gather}
\]
onde mL é a massa do líquido que permanece constante
\[
\begin{gather}
V_{\small L}=\frac{m_{\small L}g}{\rho_{\small L}} \tag{II-a} \\[10pt]
V_{\small Lt}=\frac{m_{\small L}g}{\rho_{\small Lt}} \tag{II-b}
\end{gather}
\]
A dilatação volumétrica é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{V=V_0(1+\gamma\Delta t)} \tag{III}
\end{gather}
\]
Substituindo as equações (II-a) e (II-b) na equação (III) com V = VLt e
V0 = VL e o valor do coeficiente de dilatação
\[
\begin{gather}
\frac{\cancel{m_{\small L}g}}{\rho_{\small Lt}}=\frac{\cancel{m_{\small L}g}}{\rho_{\small L}}(1+\gamma_{\small L}\Delta t) \\[5pt]
\frac{1}{\rho_{\small Lt}}=\frac{1}{\rho_{\small L}}(1+\gamma_{\small L}\Delta t) \\[5pt]
\rho_{\small Lt}=\frac{\rho_{\small L}}{1+\gamma_{\small L}\Delta t} \tag{IV}
\end{gather}
\]
Aplicando a equação (I) ao sólido nas situações inicial e final
\[
\begin{gather}
\rho_{\small S}=\frac{m_{\small S}g}{V_{\small S}} \\[10pt]
\rho_{\small St}=\frac{m_{\small S}g}{V_{\small St}}
\end{gather}
\]
onde mS é a massa do sólido que permanece constante
\[
\begin{gather}
V_{\small S}=\frac{m_{\small S}g}{\rho_{\small S}} \tag{V-a} \\[10pt]
V_{\small St}=\frac{m_{\small S}g}{\rho_{\small St}} \tag{V-b}
\end{gather}
\]
Substituindo as equações (V-a) e (V-b) na equação (III) com V = VSt e
V0 = VS e o valor do coeficiente de dilatação
\[
\begin{gather}
\frac{\cancel{m_{\small S}g}}{\rho_{\small St}}=\frac{\cancel{m_{\small S}g}}{\rho_{S}}(1+\gamma_{\small S}\Delta t) \\[5pt]
\frac{1}{\rho_{\small St}}=\frac{1}{\rho_{\small S}}(1+\gamma_{\small S}\Delta t) \\[5pt]
\rho_{\small St}=\frac{\rho_{\small S}}{1+\gamma_{\small S}\Delta t} \tag{VI}
\end{gather}
\]
O problema quer saber em que temperatura o sólido flutuará no líquido, para que isso aconteça o peso
específico do sólido, nesta temperatura, devera ser menor que o peso específico do líquido, na mesma
temperatura, então devemos impor a condição
\[
\begin{gather}
\rho_{\small St}<\rho_{\small Lt}
\end{gather}
\]
substituindo as equações (IV) e (VI) nesta condição
\[
\begin{gather}
\frac{\rho_{\small S}}{1+\gamma_{\small S}\Delta t}<\frac{\rho_{\small L}}{1+\gamma_{\small L}\Delta t}
\end{gather}
\]
multiplicando em “cruz'
\[
\begin{gather}
\rho_{\small S}(1+\gamma_{\small L}\Delta t)<\rho_{\small L}(1+\gamma_{\small S}\Delta t) \\[5pt]
\rho_{\small S}+\rho_{S}\gamma_{\small L}\Delta t<\rho_{\small L}+\rho_{\small L}\gamma_{S}\Delta t \\[5pt]
\rho_{\small S}-\rho_{\small L}<\rho_{\small L}\gamma_{\small S}\Delta t-\rho_{\small S}\gamma_{\small L}\Delta t \\[5pt]
\rho_{\small S}-\rho_{\small L}<(\rho_{\small L}\gamma_{\small S}-\rho_{\small S}\gamma_{\small L})\Delta t \\[5pt]
\Delta t>\frac{\rho_{\small S}-\rho_{\small L}}{\rho_{\small L}\gamma_{\small S}-\rho_{\small S}\gamma_{\small L}}
\end{gather}
\]
Como
\( \Delta t=t-t_0 \)
e a temperatura inicial é nula (t0 = 0 °C)
\[
\begin{gather}
t-0>\frac{\rho_{\small S}-\rho_{\small L}}{\rho_{\small L}\gamma_{\small S}-\rho_{\small S}\gamma_{\small L}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{t>\frac{\rho_{\small S}-\rho_{\small L}}{\rho_{\small L}\gamma_{\small S}-\rho_{S}\gamma_{\small L}}}
\end{gather}
\]
