Um líquido de coeficiente de dilatação volumétrica γ está contido num reservatório de volume
Vi a uma temperatura inicial ti. O reservatório é feito de um
material com coeficiente de dilatação linear α. Quando o sistema sofre uma variação de
temperatura de Δt o líquido se expande subindo por um capilar de área transversal A.
Calcule a variação da altura do líquido no capilar.
Dados do problema:
- Área transversal do capilar: A;
- Volume inicial do reservatório: Vi;
- Variação da temperatura: Δt;
- Coeficiente de dilatação volumétrica do líquido: γ;
- Coeficiente de dilatação linear do vidro: α.
Esquema do problema:
Inicialmente o termômetro está a uma temperatura ti, quando o sistema é aquecido de
Δt ele se expande em todas as direções, como o líquido possui um coeficiente de dilatação
maior que o do vidro ele se expande mais do que o reservatório onde está e sobe um pouco pelo capilar
(Figura 1).
Quando a temperatura sofre esta variação Δt a altura da coluna de mercúrio sofre uma
variação ΔhT.
Solução:
A variação do volume do líquido no tubo (ΔVT, volume aparente) será a diferença
entre a variação total do volume do líquido (ΔVL) e a variação do volume do
reservatório ΔVR
\[
\begin{gather}
\Delta V_{\small T}=\Delta V_{\small L}-\Delta V_{\small R} \tag{I}
\end{gather}
\]
A dilatação volumétrica é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{V=V_0(1+\gamma\Delta t)}
\end{gather}
\]
a variação total do volume é dada por
\[
\begin{gather}
V=V_0+V_0\gamma\Delta t \\[5pt]
V-V_0=V_0\gamma\Delta t \\[5pt]
\Delta V=V_0\gamma\Delta t \tag{II}
\end{gather}
\]
aplicando a equação (II), a variação total do volume do líquido é dada por
\[
\begin{gather}
\Delta V_{\small L}=V_{0\small L}\gamma\Delta t \tag{III}
\end{gather}
\]
a variação total do volume do reservatório é dada por
\[
\begin{gather}
\Delta V_{\small R}=V_{0\small R}\gamma_{\small V}\Delta t \tag{IV}
\end{gather}
\]
usando o coeficiente de dilatação linear do vidro, dado no problema, o coeficiente de dilatação
volumétrica do vidro será
\[
\begin{gather}
\gamma_{\small V}=3\alpha \tag{V}
\end{gather}
\]
substituindo a equação (V) na equação (IV)
\[
\begin{gather}
\Delta V_{\small R}=V_{0\small R}3\alpha\Delta t \tag{VI}
\end{gather}
\]
substituindo as equações (III) e (VI) na equação (I)
\[
\begin{gather}
\Delta V_{\small T}=V_{0\small L}\gamma\Delta t-V_{0\small R}3\alpha\Delta t
\end{gather}
\]
como inicialmente o líquido ocupa todo o volume do reservatório
V0L = V0R = Vì, colocando
ViΔt em evidência
\[
\begin{gather}
\Delta V_{\small T}=V_{i}\Delta t\left(\gamma-3\alpha\right) \tag{VII}
\end{gather}
\]
A variação do volume de líquido no tubo será a área transversal multiplicada pela variação da altura da
coluna de líquido
\[
\begin{gather}
\Delta V_{\small T}=A\Delta h \tag{VIII}
\end{gather}
\]
substituindo a equação (VIII) na equação (VII)
\[
\begin{gather}
A\Delta h=V_{i}\Delta t\left(\gamma-3\alpha\right)
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{\Delta h=\frac{V_{i}}{A}\Delta t\left(\gamma-3\alpha\right)}
\end{gather}
\]
