Exercício Resolvido de Dilatação
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Um líquido de coeficiente de dilatação volumétrica γ está contido num reservatório de volume Vi a uma temperatura inicial ti. O reservatório é feito de um material com coeficiente de dilatação linear α. Quando o sistema sofre uma variação de temperatura de Δt o líquido se expande subindo por um capilar de área transversal A. Calcule a variação da altura do líquido no capilar.


Dados do problema:
  • Área transversal do capilar:    A;
  • Volume inicial do reservatório:    Vi;
  • Variação da temperatura:    Δt;
  • Coeficiente de dilatação volumétrica do líquido:    γ;
  • Coeficiente de dilatação linear do vidro:    α.
Esquema do problema:

Inicialmente o termômetro está a uma temperatura ti, quando o sistema é aquecido de Δt ele se expande em todas as direções, como o líquido possui um coeficiente de dilatação maior que o do vidro ele se expande mais do que o reservatório onde está e sobe um pouco pelo capilar (Figura 1).
Quando a temperatura sofre esta variação Δt a altura da coluna de mercúrio sofre uma variação ΔhT.
Figura 1

Solução

A variação do volume do líquido no tubo (ΔVT, volume aparente) será a diferença entre a variação total do volume do líquido (ΔVL) e a variação do volume do reservatório ΔVR
\[ \begin{gather} \Delta V_{T}=\Delta V_{L}-\Delta V_{R} \tag{I} \end{gather} \]
A dilatação volumétrica é dada por
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {V=V_{0}(1+\gamma \Delta t)} \]
a variação total do volume é dada por
\[ \begin{gather} V=V_{0}+V_{0}\gamma \Delta t\\ V-V_{0}=V_{0}\gamma \Delta t\\ \Delta V=V_{0}\gamma \Delta t \tag{II} \end{gather} \]
aplicando a expressão (II), a variação total do volume do líquido é dada por
\[ \begin{gather} \Delta V_{L}=V_{0L}\gamma \Delta t \tag{III} \end{gather} \]
a variação total do volume do reservatório é dada por
\[ \begin{gather} \Delta V_{R}=V_{0R}\gamma_{V}\Delta t \tag{IV} \end{gather} \]
usando o coeficiente de dilatação linear do vidro, dado no problema, o coeficiente de dilatação volumétrica do vidro será
\[ \begin{gather} \gamma_{V}=3\alpha \tag{V} \end{gather} \]
substituindo a expressão (V) na expressão (IV)
\[ \begin{gather} \Delta V_{R}=V_{0R}3\alpha \Delta t \tag{VI} \end{gather} \]
substituindo as expressões (III) e (VI) na expressão (I)
\[ \Delta V_{T}=V_{0L}\gamma \Delta t-V_{0R}3\alpha \Delta t \]
como inicialmente o líquido ocupa todo o volume do reservatório V0L = V0R = Vì, colocando ViΔt em evidência
\[ \begin{gather} \Delta V_{T}=V_{i}\Delta t\left(\gamma -3\alpha \right) \tag{VII} \end{gather} \]
A variação do volume de líquido no tubo será a área transversal multiplicada pela variação da altura da coluna de líquido
\[ \begin{gather} \Delta V_{T}=A\Delta h \tag{VIII} \end{gather} \]
substituindo a expressão (VIII) na expressão (VII)
\[ A\Delta h=V_{i}\Delta t\left(\gamma -3\alpha \right) \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {\Delta h=\frac{V_{i}}{A}\Delta t\left(\gamma -3\alpha \right)} \]
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