Exercício Resolvido de Calorimetria
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Um meteorito de massa 10 kg, ao penetrar na atmosfera terrestre, em um percurso de 3 km, tem sua velocidade reduzida de 400 m/s a 200 m/s, em virtude da resistência do ar. A trajetória nesse trecho pode ser considerada retilínea. Considerando-se desprezível a energia irradiada pelo meteorito e perfeita sua condutibilidade térmica, determine:
a) A força resultante média que atuou no meteorito;
b) O calor gerado pelo atrito durante a entrada na atmosfera;
c) Considerando que todo o calor gerado seja absorvido pelo meteorito e que sua temperatura inicial, seja de 100 K, qual sua temperatura final?
Dados:
Calor específico do material constituinte do meteorito: c = 0,1 kcal/kg.K e 1 kcal = 4200 J.

Dados do problema:

  • Massa do meteorito: m = 10 kg;
  • Velocidade inicial do meteorito: vi = 400 m/s;
  • Velocidade final do meteorito: vf = 200 m/s;
  • Trajeto percorrido na atmosfera: ΔS = 3 km;
  • Calor específico do material constituinte do meteorito: c = 0,1 kcal/kg.K;
  • Equivalente mecênico do calor: 1 kcal = 4200 J.

Esquema do problema:

O meteorito de massa igual à 10 kg penetra na atmosfera, e em deslocamento de 3 km a velocidade diminui de 400 m/s para 200 m/s, e todo o calor Q produzido pelo atrito com a atmosfera é absorvido pelo próprio meteorito (Figura 1).

Figura 1

Solução:

Em primeiro lugar devemos converter o espaço percorrido pelo meteorito dado em quilômetros (km) para metros (m) usado no Sistema Internacional de Unidades (S.I.)

\[ \begin{gather} \Delta S=3\;\mathrm{\cancel{km}}\times\frac{1000\;\mathrm m}{1\;\mathrm{\cancel{km}}}=3000\;\mathrm m \end{gather} \]

a) A força média é dada por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\langle F\rangle=ma} \tag{I} \end{gather} \]

Para determinarmos a aceleração usamos a Equação de Torricelli

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {v^2=v_0^2+2a\Delta S} \end{gather} \]

usando v0 = vi = 400 m/s, v = vf = 200 m/s e ΔS = 3000 m

\[ \begin{gather} 200^2=400^2+2a\times 3000 \\[5pt] 40000=160000+6000a \\[5pt] 6000a=40000-160000 \\[5pt] a=-{\frac{120000}{6000}} \\[5pt] a=-20\;\mathrm{m/s}^2 \tag{II} \end{gather} \]

substituindo a massa dada no problema e a aceleração encontrada acima na equação (I)

\[ \begin{gather} \langle F\rangle =10\times(-20) \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {\langle F\rangle =-200\mathrm N} \end{gather} \]
Observação: O sinal de negativo na aceleração indica que o meteorito está desacelerando e na força indica que o meteorito está sob a ação da força de resistência devido ao atrito com a atmosfera.

b) A variação de energia, ΔE, entre a energia cinética inicial, Eci, e a energia cinética final, Ecf, é igual ao calor produzido pelo atrito.
A Energia Cinética é dada por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {E_c=\frac{mv^2}{2}} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \Delta E=\left|E_{cf}-E_{ci}\right| \\[5pt] \Delta E=\left|\frac{mv_f^2}{2}-\frac{mv_i^2}{2}\right| \\[5pt] \Delta E=\frac{m}{2}\left|v_f^2-v_i^2\right| \\[5pt] \Delta E=\frac{10}{2}\times\left|200^2-400^2\right| \\[5pt] \Delta E=5\times\left|40000-160000\right| \\[5pt] \Delta E=5\times 120000 \\[5pt] \Delta E=600000\;\mathrm J \end{gather} \]

Convertendo a variação da energia de joules (J) para quilocalorias (kcal)

\[ \begin{gather} Q=\Delta E=600000\;\mathrm{\cancel J}\times\frac{1\;\mathrm{kcal}}{4200\;\mathrm{\cancel J}}\approx143\;\mathrm{kcal} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {Q\approx 143\;\mathrm{kcal}} \end{gather} \]

c) Supondo que o calor produzido pelo meteorito, calculado no item (b), seja absorvido por ele, teremos um aumento de temperatura.
O calor sensível é dado por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {Q=mc\left(t_f-t_i\right)} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} 143=10\times 0,1\times\left(t_f-100\right) \\[5pt] 143=1\times\left(t_f-100\right) \\[5pt] 143=t_f-100 \\[5pt] t_f=143+100 \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {t_f=243\;\mathrm K} \end{gather} \]
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