Um meteorito de massa 10 kg, ao penetrar na atmosfera terrestre, em um percurso de 3 km, tem sua velocidade
reduzida de 400 m/s a 200 m/s, em virtude da resistência do ar. A trajetória nesse trecho pode ser
considerada retilínea. Considerando-se desprezível a energia irradiada pelo meteorito e perfeita sua
condutibilidade térmica, determine:
a) A força resultante média que atuou no meteorito;
b) O calor gerado pelo atrito durante a entrada na atmosfera;
c) Considerando que todo o calor gerado seja absorvido pelo meteorito e que sua temperatura inicial, seja
de 100 K, qual sua temperatura final?
Dados:
Calor específico do material constituinte do meteorito:
c = 0,1 kcal/kg.K e 1 kcal = 4200 J.
Dados do problema:
- Massa do meteorito: m = 10 kg;
- Velocidade inicial do meteorito: vi = 400 m/s;
- Velocidade final do meteorito: vf = 200 m/s;
- Trajeto percorrido na atmosfera: ΔS = 3 km;
- Calor específico do material constituinte do meteorito: c = 0,1 kcal/kg.K;
- Equivalente mecênico do calor: 1 kcal = 4200 J.
Esquema do problema:
O meteorito de massa igual à 10 kg penetra na atmosfera, e em deslocamento de 3 km a velocidade diminui de
400 m/s para 200 m/s, e todo o calor
Q produzido pelo atrito com a atmosfera é absorvido pelo próprio
meteorito (Figura 1).
Solução
Em primeiro lugar devemos converter o espaço percorrido pelo meteorito dado em quilômetros (km) para metros
(m) usado no
Sistema Internacional (
S.I.)
\[
\begin{gather}
\Delta S=3\;\cancel{\mathrm{km}}.\frac{1000\;\mathrm{m}}{1\;\cancel{\mathrm{km}}}=3000\;\mathrm{m}
\end{gather}
\]
a) A força média é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\langle F\rangle =ma} \tag{I}
\end{gather}
\]
Para determinarmos a aceleração usamos a
Equação de Torricelli
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{v^{2}=v_{0}^{2}+2a\Delta S}
\end{gather}
\]
usando
v0 =
vi = 400 m/s,
v =
vf = 200 m/s e
Δ
S = 3000 m
\[
\begin{gather}
200^{2}=400^{2}+2a.3000\\[5pt]
40000=160000+6000a\\[5pt]
6000a=40000-160000\\[5pt]
a=-{\frac{120000}{6000}}\\[5pt]
a=-20\;\mathrm{m/s}^{2} \tag{II}
\end{gather}
\]
substituindo a massa dada no problema e a aceleração encontrada acima na equação (I)
\[
\begin{gather}
\langle F\rangle =10.(-20)
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{\langle F\rangle =-200\mathrm{N}}
\end{gather}
\]
Observação: O sinal de negativo na aceleração indica que o meteorito está desacelerando e na
força indica que o meteorito está sob a ação da força de resistência devido ao atrito com a atmosfera.
b) A variação de energia, Δ
E, entre a energia cinética inicial,
Eci, e a
energia cinética final,
Ecf, é igual ao calor produzido pelo atrito.
A energia cinética é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{E_{c}=\frac{mv^{2}}{2}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\Delta E=\left|E_{cf}-E_{ci}\right|\\[5pt]
\Delta E=\left|\frac{mv_{f}^{2}}{2}-\frac{mv_{i}^{2}}{2}\right|\\[5pt]
\Delta E=\frac{m}{2}\left|v_{f}^{2}-v_{i}^{2}\right|\\[5pt]
\Delta E=\frac{10}{2}.\left|200^{2}-400^{2}\right|\\[5pt]
\Delta E=5.\left|40000-160000\right|\\[5pt]
\Delta E=5.120000\\[5pt]
\Delta E=600000\;\mathrm{J}
\end{gather}
\]
Convertendo a variação da energia de joules (J) para quilocalorias (kcal)
\[
\begin{gather}
Q=\Delta E=600000\;\cancel{\mathrm{J}}.\frac{1\;\mathrm{kcal}}{4200\;\cancel{\mathrm{J}}}\approx143\;\mathrm{kcal}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{Q\approx 143\;\mathrm{kcal}}
\end{gather}
\]
c) Supondo que o calor produzido pelo meteorito, calculado no item (b), seja absorvido por ele, teremos um
aumento de temperatura.
O calor sensível é dado por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{Q=mc\left(t_{f}-t_{i}\right)}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
143=10.0,1.\left(t_{f}-100\right)\\[5pt]
143=1.\left(t_{f}-100\right)\\[5pt]
143=t_{f}-100\\[5pt]
t_{f}=143+100
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{t_{f}=243\;\mathrm{K}}
\end{gather}
\]