Exercício Resolvido de Calorimetria
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Um meteorito de massa 10 kg, ao penetrar na atmosfera terrestre, em um percurso de 3 km, tem sua velocidade reduzida de 400 m/s a 200 m/s, em virtude da resistência do ar. A trajetória nesse trecho pode ser considerada retilínea. Considerando-se desprezível a energia irradiada pelo meteorito e perfeita sua condutibilidade térmica, determine:
a) A força resultante média que atuou no meteorito;
b) O calor gerado pelo atrito durante a entrada na atmosfera;
c) Considerando que todo o calor gerado seja absorvido pelo meteorito e que sua temperatura inicial, seja de 100 K, qual sua temperatura final?
Dados:
Calor específico do material constituinte do meteorito: c = 0,1 kcal/kg.K e 1 kcal = 4200 J.


Dados do problema:
  • Massa do meteorito:    m = 10 kg;
  • Velocidade inicial do meteorito:    vi = 400 m/s;
  • Velocidade final do meteorito:    vf = 200 m/s;
  • Trajeto percorrido na atmosfera:    ΔS = 3 km;
  • Calor específico do material constituinte do meteorito:    c = 0,1 kcal/kg.K;
  • Equivalente mecênico do calor:    1 kcal = 4200 J.
Esquema do problema:

O meteorito de massa igual à 10 kg penetra na atmosfera, e em deslocamento de 3 km a velocidade diminui de 400 m/s para 200 m/s, e todo o calor Q produzido pelo atrito com a atmosfera é absorvido pelo próprio meteorito (Figura 1).

Figura 1

Solução

Em primeiro lugar devemos converter o espaço percorrido pelo meteorito dado em quilômetros (km) para metros (m) usado no Sistema Internacional (S.I.)
\[ \begin{gather} \Delta S=3\;\cancel{\mathrm{km}}.\frac{1000\;\mathrm{m}}{1\;\cancel{\mathrm{km}}}=3000\;\mathrm{m} \end{gather} \]

a) A força média é dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\langle F\rangle =ma} \tag{I} \end{gather} \]
Para determinarmos a aceleração usamos a Equação de Torricelli
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {v^{2}=v_{0}^{2}+2a\Delta S} \end{gather} \]
usando v0 = vi = 400 m/s, v = vf = 200 m/s e ΔS = 3000 m
\[ \begin{gather} 200^{2}=400^{2}+2a.3000\\[5pt] 40000=160000+6000a\\[5pt] 6000a=40000-160000\\[5pt] a=-{\frac{120000}{6000}}\\[5pt] a=-20\;\mathrm{m/s}^{2} \tag{II} \end{gather} \]
substituindo a massa dada no problema e a aceleração encontrada acima na equação (I)
\[ \begin{gather} \langle F\rangle =10.(-20) \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {\langle F\rangle =-200\mathrm{N}} \end{gather} \]

Observação: O sinal de negativo na aceleração indica que o meteorito está desacelerando e na força indica que o meteorito está sob a ação da força de resistência devido ao atrito com a atmosfera.


b) A variação de energia, ΔE, entre a energia cinética inicial, Eci, e a energia cinética final, Ecf, é igual ao calor produzido pelo atrito.
A energia cinética é dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {E_{c}=\frac{mv^{2}}{2}} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \Delta E=\left|E_{cf}-E_{ci}\right|\\[5pt] \Delta E=\left|\frac{mv_{f}^{2}}{2}-\frac{mv_{i}^{2}}{2}\right|\\[5pt] \Delta E=\frac{m}{2}\left|v_{f}^{2}-v_{i}^{2}\right|\\[5pt] \Delta E=\frac{10}{2}.\left|200^{2}-400^{2}\right|\\[5pt] \Delta E=5.\left|40000-160000\right|\\[5pt] \Delta E=5.120000\\[5pt] \Delta E=600000\;\mathrm{J} \end{gather} \]
Convertendo a variação da energia de joules (J) para quilocalorias (kcal)
\[ \begin{gather} Q=\Delta E=600000\;\cancel{\mathrm{J}}.\frac{1\;\mathrm{kcal}}{4200\;\cancel{\mathrm{J}}}\approx143\;\mathrm{kcal} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {Q\approx 143\;\mathrm{kcal}} \end{gather} \]

c) Supondo que o calor produzido pelo meteorito, calculado no item (b), seja absorvido por ele, teremos um aumento de temperatura.
O calor sensível é dado por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {Q=mc\left(t_{f}-t_{i}\right)} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} 143=10.0,1.\left(t_{f}-100\right)\\[5pt] 143=1.\left(t_{f}-100\right)\\[5pt] 143=t_{f}-100\\[5pt] t_{f}=143+100 \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {t_{f}=243\;\mathrm{K}} \end{gather} \]
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