Exercício Resolvido de Calorimetria
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Um rapaz comprou um anel onde dizia ter 9 gramas de ouro e 1 grama de cobre. Para comprovar a informação, o rapaz, um estudante de física, aqueceu o anel (que realmente tinha 10 gramas de massa) até 520 °C, que sabia ser inferior ao ponto de fusão dos dois metais. Colocou o anel em um calorímetro de capacidade térmica 20 cal/°C e que continha 80 gramas de água a 18 °C. O equilíbrio térmico se verificou a 20 °C. Supondo que na ligas os calores específicos sejam 0,09 cal/g°C para o cobre e 0,03 cal/g°C para o ouro, determine as massa de cobre e ouro existentes no anel.


Dados do problema:
  • Massa do anel:    M = 10 g;
  • Temperatura inicial do anel:    ta = 520 °C;
  • Calor específico do cobre:    cCu = 0,09 cal/g°C;
  • Calor específico do ouro:    cAu = 0,03 cal/g°C;
  • Capacidade térmica do calorímetro:    C = 20 cal/°C;
  • Temperatura inicial di calorímetro:    tc = 18 °C;
  • Massa de água:    ma = 80 g;
  • Temperatura inicial da água:    ta = 18 °C;
  • Temperatura de equilíbrio:    teq = 20 °C;
  • Adotando o calor específico da água:    ca = 1 cal/g°C.
Esquema do problema:

Figura 1

m(g) c(cal/g°C) ti(°C) teq(°C)
Calorímetro 20 cal/°C 18 20
Água 80 1 18 20
Anel 10 c 520 20

Tabela 1

onde c é o calor específico do anel.

Observação: Não conhecemos a massa e o calor específico do calorímetro, mas conhecemos sua capacidade térmica C, que é dada pelo produto da massa multiplicada pelo calor específico \( C=mc=20\;\text{cal/g°C} \).

Solução

Calores trocados em cada elemento:
  • Calorímetro
Calor recebido pelo calorímetro, o calor sensível é dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {Q=mc\left(t_{eq}-t_{0}\right)} \tag{I} \end{gather} \]
A capacidade térmica é dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {C=mc} \tag{II} \end{gather} \]
substituindo a expressão (II) na expressão (I)
\[ \begin{gather} Q_{C}=C\left(t_{eq}-t_{0}\right)\\ Q_{C}=20.(20-18)\\ Q_{C}=20.2\\ Q_{C}=40\;\text{cal} \end{gather} \]
  • Água
Calor recebido pela água, aplicando a expressão (I)
\[ \begin{gather} Q_{a}=80.1.\left(20-18\right)\\ Q_{a}=80.2\\ Q_{a}=160\;\text{cal/g°C} \end{gather} \]
  • Anel
Calor perdido pelo anel, aplicando a expressão (I)
\[ \begin{gather} Q_{n}=10c\left(20-520\right)\\ Q_{n}=-500.10c\\ Q_{n}=-5000c \end{gather} \]
A somatória dos calores trocados é igual a zero
\[ \begin{gather} \sum Q=0\\ Q_{C}+Q_{a}+Q_{n}=0\\ 40+160-5000c=0\\ 5000c=200\\ c-\frac{200}{5000}\\ c=0,04\;\text{cal/g°C} \end{gather} \tag{III} \]
Este é o calor específico da liga metálica de ouro e cobre. O calor específico da liga, em função dos calores específicos e das frações de massa de cada um dos metais que constituem a liga, é dado por
\[ \begin{gather} c=c_{Au}\frac{m_{Au}}{M}+c_{Cu}\frac{m_{Cu}}{M} \tag{IV} \end{gather} \]
onde M é a massa total da liga metálica
\[ M=m_{Au}+m_{Cu} \]
substituindo a massa total dada no problema e escrendo a massa de ouro em função da massa de cobre
\[ \begin{gather} 10=m_{Au}+m_{Cu}\\ m_{Au}=10-m_{Cu} \tag{V} \end{gather} \]
substituindo o valor encontrado em (III), os dados do problema e a expressão (V) na expressão (IV)
\[ 0,04=0,03.\frac{(10-m_{Cu})}{10}+0,09.\frac{m_{Cu}}{10} \]
multiplicando toda a equação por 10
\[ \begin{gather} \qquad\qquad 0,04=0,03.\frac{(10-m_{Cu})}{10}+0,09.\frac{m_{Cu}}{10}\qquad (\times10)\\ 0,04.10=0,03.\frac{(10-m_{Cu})}{10}.10+0,09.\frac{m_{Cu}}{10}.10\\ 0,4=0,03.(10-m_{Cu})+0,09m_{Cu}\\ 0,4=0,3-0,03m_{Cu}+0,09m_{Cu}\\ 0,06m_{Cu}=0,4-0,3\\ 0,06m_{Cu}=0,1\\ m_{Cu}=\frac{0,1}{0,06} \end{gather} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {m_{Cu}\approx 1,7\;\text{g}} \]
substituindo este resultado na expressão (V)
\[ m_{Au}=10-1,7 \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {m_{Au}\approx 8,3\;\text{g}} \]


Observação: A expressão (IV) é a Lei de Kopp ou regra de Neumann-Kopp para o cálculo do calor específico de uma liga metálica formada por dois elementos. Genericamente para n elementos em uma liga
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {c=\sum _{i=1}^{n}c_{i}f_{i}\ \ \ ,\ \ \ f_{i}=\frac{m_{i}}{m}} \]
onde c é o calor específico da liga metálica, ci é o calor específico do i-ésimo elemento e fi é a fração de massa do i-ésimo elemento (massa do elemento na liga dividido pela massa total da amostra).
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