Três líquidos A, B e C encontram-se respectivamente a 10 °C, 24 °C e 40 °C. Sabe-
se que:
a) Misturando-se massas iguais de A e B a temperatura final é 14 °C;
b) Misturando-se massas de A e C na proporção de
ma:mc = 2:3 a temperatura final é de 30 °C.
Calcular qual será a temperatura de equilíbrio da mistura de B e C na proporção de
mb:mc = 1:2.
Dados do problema:
- Temperatura inicial do líquido A; ta = 10 °C;
- Temperatura inicial do líquido B; tb = 24 °C;
- Temperatura inicial do líquido C; tc = 40 °C;
- Mistura (a):
- Massa do líquido A: ma = m;
- Massa do líquido B: mb = m;
- Temperatura de equilíbrio entre A e B: tab = 14 °C;
- Mistura (b):
- Proporção entre as massas dos líquidos A e C: \( m_a=\frac{2}{3}m_c \);
- Temperatura de equilíbrio entre A e C: tbc = 30 °C.
Solução:
Quando os líquidos são misturados, o líquido mais frio ganha calor e aumenta a temperatura e o líquido mais
quente perde calor para o mais frio, a temperatura diminui até que ambos atinjam a mesma temperatura
(temperatura de equilíbrio), a equação do calor sensível é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{Q=mc\left(t_{eq}-t_0\right)} \tag{I}
\end{gather}
\]
onde c é o calor específico de cada líquido.
Na mistura (a) escrevendo a equação (I) para cada um dos líquidos
\[
\begin{gather}
Q_a=m_ac_a\left(t_{AB}-t_a\right) \\[5pt]
Q_a=mc_a\left(14-10\right) \\[5pt]
Q_a=4mc_a \tag{II}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
Q_b=m_bc_b\left(t_{AB}-t_b\right) \\[5pt]
Q_b=mc_b\left(14-24\right) \\[5pt]
Q_b=-10mc_b \tag{III}
\end{gather}
\]
Considerando as trocas de calor do sistema com o universo desprezíveis, o sistema está isolado e só há
troca de calor entre os líquidos, como o calor é energia em trânsito podemos usar a
Conservação da Energia,
a somatória dos calores trocados é igual a zero num sistema termicamente isolado, com as
equações (II) e (III)
\[
\begin{gather}
\sum Q=0 \\[5pt]
Q_a+Q_b=0 \\[5pt]
4mc_a+\left(-10mc_b\right)=0 \\[5pt]
4mc_a-10mc_b=0 \\[5pt]
4mc_a=10mc_b \\[5pt]
4mc_a=10mc_b \\[5pt]
\frac{c_a}{c_b}=\frac{10\cancel m}{4\cancel m} \\[5pt]
\frac{c_a}{c_b}=\frac{5}{2} \tag{IV}
\end{gather}
\]
Na mistura (b) escrevendo a equação do calor sensível para cada um dos líquidos e usando a proporção de
massas dada no problema
\[
\begin{gather}
Q_a=m_ac_a\left(t_{ac}-t_a\right) \\[5pt]
Q_a=\frac{2}{3}m_cc_a\left(30-10\right) \\[5pt]
Q_a=\frac{2}{3}m_cc_a\times 20 \\[5pt]
Q_a=\frac{40}{3}m_cc_a \tag{V}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
Q_c=m_cc_c\left(t_{ac}-t_c\right) \\[5pt]
Q_c=m_cc_c\left(30-40\right) \\[5pt]
Q_c=-10m_cc_c \tag{VI}
\end{gather}
\]
Usando a Conservação da Energia novamente, aplicando às equações (V) e (VI)
\[
\begin{gather}
\sum Q=0 \\[5pt]
Q_a+Q_c=0 \\[5pt]
\frac{40}{3}m_cc_a+\left(-10m_cc_c\right)=0 \\[5pt]
\frac{40}{3}m_cc_a-10m_cc_c=0 \\[5pt]
\frac{40}{3}m_cc_a=10m_cc_c \\[5pt]
\frac{c_a}{c_c}=\frac{3\times 10m_c}{40m_c} \\[5pt]
\frac{c_a}{c_c}=\frac{30\cancel{m_c}}{40\cancel{m_c}} \\[5pt]
\frac{c_a}{c_c}=\frac{3}{4} \tag{VII}
\end{gather}
\]
Para a mistura dos líquidos B e C, escrevendo a equação do calor sensível, onde a proporção
entre as massas dos líquidos é de
\( m_b=\frac{1}{2}m_c \)
\[
\begin{gather}
Q_b=m_bc_b\left(t_{bc}-t_b\right) \\[5pt]
Q_b=\frac{1}{2}m_cc_b\left(t_{bc}-24\;\right) \tag{VIII}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
Q_c=m_cc_c\left(t_{bc}-t_c\right) \\[5pt]
Q_c=m_cc_c\left(t_{bc}-40\right) \tag{IX}
\end{gather}
\]
Usando a Conservação da Energia novamente, aplicando às equações (VIII) e (IX)
\[
\begin{gather}
\sum Q=0 \\[5pt]
Q_b+Q_c=0 \\[5pt]
\frac{1}{2}m_cc_b\left(t_{bc}-24\right)+m_cc_c\left(t_{bc}-40\right)=0 \\[5pt]
\frac{1}{2}m_cc_b\left(t_{bc}-24\right)=-m_cc_c\left(t_{bc}-40\right) \\[5pt]
\frac{1}{2}m_cc_b\left(t_{bc}-24\right)=m_cc_c\left(40-t_{bc}\right) \tag{X}
\end{gather}
\]
Das equações (IV) e (VII) obtemos os valores dos calores específicos dos líquidos B e C em
função do calor específico do líquido A
\[
\begin{gather}
\frac{c_a}{c_b}=\frac{5}{2}\Rightarrow c_b=\frac{2}{5}c_a
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\frac{c_a}{c_c}=\frac{3}{4}\Rightarrow c_c=\frac{4}{3}c_a
\end{gather}
\]
substituindo estes valores na equação (X)
\[
\begin{gather}
\frac{1}{\cancel{2}}\cancel{m_c}\frac{\cancel{2}}{5}\cancel{c_a}\left(t_{bc}-24\right)=\cancel{m_c}\frac{4}{3}\cancel{c_a}\left(40-t_{bc}\;\right) \\[5pt]
\frac{1}{5}\left(t_{bc}-24\right)=\frac{4}{3}\left(40-t_{bc}\right) \\[5pt]
t_{bc}-24=\frac{5\times 4}{3}\left(40-t_{bc}\right) \\[5pt]
t_{bc}-24=\frac{20}{3}\left(40-t_{bc}\;\right) \\[5pt]
t_{bc}-24=\frac{20}{3}\times 40-\frac{20}{3}t_{bc} \\[5pt]
t_{bc}-24=\frac{800}{3}-\frac{20}{3}t_{bc} \\[5pt]
t_{bc}+\frac{20}{3}t_{bc}=\frac{800}{3}+24
\end{gather}
\]
colocando o valor de tbc em evidência do lado esquerdo da igualdade
\[
\begin{gather}
t_{bc}\left(1+\frac{20}{3}\right)=\frac{800}{3}+24
\end{gather}
\]
do lado esquerdo da igualdade multiplicando e dividindo o primeiro termo entre parênteses por 3 e do lado
direito da igualdade multiplicando e dividindo o segundo termo por 3
\[
\begin{gather}
t_{bc}\left(1\times \frac{3}{3}+\frac{20}{3}\right)=\frac{800}{3}+24\times\frac{3}{3} \\[5pt]
t_{bc}\left(\frac{3+20}{3}\right)=\frac{800+72}{3} \\[5pt]
\frac{23}{\cancel{3}}t_{bc}=\frac{872}{\cancel{3}} \\[5pt]
23t_{bc}=872 \\[5pt]
t_{bc}=\frac{872}{23}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{t_{bc}=37,9\;\mathrm{°C}}
\end{gather}
\]
EN