Três líquidos
A,
B e
C encontram-se respectivamente a 10 °C, 24 °C e 40 °C. Sabe-
se que:
a) Misturando-se massas iguais de
A e
B a temperatura final é 14 °C;
b) Misturando-se massas de
A e
C na proporção de
mA:
mC = 2:3 a temperatura final é de 30 °C.
Calcular qual será a temperatura de equilíbrio da mistura de
B e
C na proporção de
mB:
mC = 1:2.
Dados do problema:
- Temperatura inicial do líquido A; tA = 10 °C;
- Temperatura inicial do líquido B; tB = 24 °C;
- Temperatura inicial do líquido C; tC = 40 °C;
- Mistura (a):
- Massa do líquido A: mA = m;
- Massa do líquido B: mB = m;
- Temperatura de equilíbrio entre A e B: tAB = 14 °C;
- Mistura (b):
- Proporção entre as massas dos líquidos A e C: \( m_{A}=\frac{2}{3}m_{C} \);
- Temperatura de equilíbrio entre A e C: tAC = 30 °C.
Solução
Quando os líquidos são misturados, o líquido mais frio ganha calor e aumenta a temperatura e o líquido mais
quente perde calor para o mais frio, a temperatura diminui até que ambos atinjam a mesma temperatura
(temperatura de equilíbrio), a equação do calor sensível é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{Q=mc\left(t_{eq}-t_{0}\right)} \tag{I}
\end{gather}
\]
onde
c é o calor específico de cada líquido.
Na mistura (a) escrevendo a expressão (I) para cada um dos líquidos
\[
\begin{gather}
Q_{A}=m_{A}c_{A}\left(t_{AB}-t_{A}\right)\\
Q_{A}=mc_{A}\left(14-10\right)\\
Q_{A}=4mc_{A} \tag{II}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
Q_{B}=m_{B}c_{B}\left(t_{AB}-t_{B}\right)\\
Q_{B}=mc_{B}\left(14-24\right)\\
Q_{B}=-10mc_{B} \tag{III}
\end{gather}
\]
Considerando as trocas de calor do sistema com o universo desprezíveis, o sistema está isolado e só há troca
de calor entre os líquidos, como o calor é energia em trânsito podemos usar a
Conservação da Energia,
a somatória dos calores trocados é igual a zero num sistema termicamente isolado, com as
expressões (II) e (III)
\[
\begin{gather}
\sum Q=0\\[5pt]
Q_{A}+Q_{B}=0\\[5pt]
4mc_{A}+\left(-10mc_{B}\right)=0\\[5pt]
4mc_{A}-10mc_{B}=0\\[5pt]
4mc_{A}=10mc_{B}\\[5pt]
4mc_{A}=10mc_{B}\\[5pt]
\frac{c_{A}}{c_{B}}=\frac{10\cancel{m}}{4\cancel{m}}\\[5pt]
\frac{c_{A}}{c_{B}}=\frac{5}{2} \tag{IV}
\end{gather}
\]
Na mistura (b) escrevendo a expressão do calor sensível para cada um dos líquidos e usando a proporção de
massas dada no problema
\[
\begin{gather}
Q_{A}=m_{A}c_{A}\left(t_{AC}-t_{A}\right)\\[5pt]
Q_{A}=\frac{2}{3}m_{C}c_{A}\left(30-10\right)\\[5pt]
Q_{A}=\frac{2}{3}m_{C}c_{A}.20\\[5pt]
Q_{A}=\frac{40}{3}m_{C}c_{A} \tag{V}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
Q_{C}=m_{C}c_{C}\left(t_{AC}-t_{C}\right)\\[5pt]
Q_{C}=m_{C}c_{C}\left(30-40\right)\\[5pt]
Q_{C}=-10m_{C}c_{C} \tag{VI}
\end{gather}
\]
Usando a
Conservação da Energia novamente, aplicando às expressões (V) e (VI)
\[
\begin{gather}
\sum Q=0\\[5pt]
Q_{A}+Q_{C}=0\\[5pt]
\frac{40}{3}m_{C}c_{A}+\left(-10m_{C}c_{C}\right)=0\\[5pt]
\frac{40}{3}m_{C}c_{A}-10m_{C}c_{C}=0\\[5pt]
\frac{40}{3}m_{C}c_{A}=10m_{C}c_{C}\\[5pt]
\frac{c_{A}}{c_{C}}=\frac{3.10m_{C}}{40m_{C}}\\[5pt]
\frac{c_{A}}{c_{C}}=\frac{30\cancel{m_{C}}}{40\cancel{m_{C}}}\\[5pt]
\frac{c_{A}}{c_{C}}=\frac{3}{4} \tag{VII}
\end{gather}
\]
Para a mistura dos líquidos
B e
C, escrevendo a expressão do calor sensível, onde a proporção
entre as massas dos líquidos é de
\( m_{B}=\frac{1}{2}m_{C} \)
\[
\begin{gather}
Q_{B}=m_{B}c_{B}\left(t_{BC}-t_{B}\right)\\
Q_{B}=\frac{1}{2}m_{C}c_{B}\left(t_{BC}-24\;\right) \tag{VIII}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
Q_{C}=m_{C}c_{C}\left(t_{BC}-t_{C}\right)\\
Q_{C}=m_{C}c_{C}\left(t_{BC}-40\right) \tag{IX}
\end{gather}
\]
Usando a
Conservação da Energia novamente, aplicando às expressões (VIII) e (IX)
\[
\begin{gather}
\sum Q=0\\
Q_{B}+Q_{C}=0\\
\frac{1}{2}m_{C}c_{B}\left(t_{BC}-24\right)+m_{C}c_{C}\left(t_{BC}-40\right)=0\\
\frac{1}{2}m_{C}c_{B}\left(t_{BC}-24\right)=-m_{C}c_{C}\left(t_{BC}-40\right)\\
\frac{1}{2}m_{C}c_{B}\left(t_{BC}-24\right)=m_{C}c_{C}\left(40-t_{BC}\right) \tag{X}
\end{gather}
\]
Das expressões (IV) e (VII) obtemos os valores dos calores específicos dos líquidos
B e
C em
função do calor específico do líquido
A
\[
\frac{c_{A}}{c_{B}}=\frac{5}{2}\Rightarrow c_{B}=\frac{2}{5}c_{A}
\]
\[
\frac{c_{A}}{c_{C}}=\frac{3}{4}\Rightarrow c_{C}=\frac{4}{3}c_{A}
\]
substituindo estes valores na expressão (X)
\[
\begin{gather}
\frac{1}{\cancel{2}}\cancel{m_{C}}\frac{\cancel{2}}{5}\cancel{c_{A}}\left(t_{BC}-24\right)=\cancel{m_{C}}\frac{4}{3}\cancel{c_{A}}\left(40-t_{BC}\;\right)\\[5pt]
\frac{1}{5}\left(t_{BC}-24\right)=\frac{4}{3}\left(40-t_{BC}\right)\\[5pt]
t_{BC}-24=\frac{5.4}{3}\left(40-t_{BC}\right)\\[5pt]
t_{BC}-24=\frac{20}{3}\left(40-t_{BC}\;\right)\\[5pt]
t_{BC}-24=\frac{20}{3}.40-\frac{20}{3}t_{BC}\\[5pt]
t_{BC}-24=\frac{800}{3}-\frac{20}{3}t_{BC}\\[5pt]
t_{BC}+\frac{20}{3}t_{BC}=\frac{800}{3}+24
\end{gather}
\]
colocando o valor de
tBC em evidência do lado esquerdo da igualdade
\[
t_{BC}\left(1+\frac{20}{3}\right)=\frac{800}{3}+24
\]
do lado esquerdo da igualdade multiplicando e dividindo o primeiro termo entre parênteses por 3 e do lado
direito da igualdade multiplicando e dividindo o segundo termo por 3
\[
\begin{gather}
t_{BC}\left(1.\frac{3}{3}+\frac{20}{3}\right)=\frac{800}{3}+24.\frac{3}{3}\\
t_{BC}\left(\frac{3+20}{3}\right)=\frac{800+72}{3}\\
\frac{23}{\cancel{3}}t_{BC}=\frac{872}{\cancel{3}}\\
23t_{BC}=872\\
t_{BC}=\frac{872}{23}
\end{gather}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{t_{BC}=37,9 °\text{C}}
\]