Exercício Resolvido de Pêndulos
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Os períodos de oscilações de dois pêndulos de comprimentos respectivamente L1 e L2 diferem entre si de \( \dfrac{1}{n} \) do valor do período do pêndulo de comprimento L1. Determinar o comprimento L2 em função de L1 e n.
Dados do problema:
- Comprimento do pêndulo 1: L1;
- Comprimento do pêndulo 2: L2;
- Diferença entre os períodos dos pêndulos: \( \dfrac{1}{n} T_{1} \).
O período de oscilação de um pêndulo é dado por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{T=2\pi \sqrt{\frac{L}{g}\;}}
\end{gather}
\]
onde g é a aceleração da gravidade, então os períodos dos pêndulos 1 e 2 serão dados por
\[
\begin{gather}
T_{1}=2\pi \sqrt{\frac{L_{1}}{g}\;}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
T_{2}=2\pi \sqrt{\frac{L_{2}}{g}\;}
\end{gather}
\]
Usando a condição dada no problema de que a diferença entre os períodos será de
\( \frac{1}{n}T_{1} \)
\[
\begin{gather}
T_{2}-T_{1}=\frac{1}{n}T_{1}\\[5pt]
T_{2}=T_{1}+\frac{1}{n}T_{1}\\[5pt]
T_{2}=T_{1}\left(1+\frac{1}{n}\right)
\end{gather}
\]
substituindo as expressões do período para cada período
\[
\begin{gather}
\cancel{2\pi} \sqrt{\frac{L_{2}}{g}\;}=\cancel{2\pi}\sqrt{\frac{L_{1}}{g}\;}\left(1+\frac{1}{n}\right)
\end{gather}
\]
elevando ao quadrado dos dois lados da equação
\[
\begin{gather}
\left[\sqrt{\frac{L_{2}}{g}\;}\right]^{2}=\left[\sqrt{\frac{L_{1}}{g}\;}\,\left(1+\frac{1}{n}\right)\right]^{2}\\[5pt]
\frac{L_{2}}{\cancel{g}}=\frac{L_{1}}{\cancel{g}}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{2}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{L_{2}=L_{1}\,\left(\,1+\frac{1}{n}\,\right)^{2}}
\end{gather}
\]
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