Exercício Resolvido de Ondas
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Mostrar que \( y=a\operatorname{sen}(kx-\omega t) \) pode ser escrito como:
a) \( y=a\operatorname{sen}[k(x-vt)] \);
b) \( y=a\operatorname{sen}\left[2\pi \left(\dfrac{x}{\lambda}-\dfrac{t}{T}\right)\right] \).
Solução
a)
\[
y=a\operatorname{sen}(kx-\omega t)
\]
colocando k em evidência
\[
y=a\operatorname{sen}\left[k\left(x-\dfrac{\omega }{k}t\right)\right]
\]
sendo a frequência angular dada por
\( \bbox[#99CCFF,10px] {\omega =\dfrac{2\pi }{T}} \)
e o número de onda dado por
\( \bbox[#99CCFF,10px] {k=\dfrac{2\pi }{\lambda }\Rightarrow \dfrac{1}{k}=\dfrac{\lambda }{2\pi} }\),
substituindo estes valores na expressão acima
\[
\begin{gather}
y=a\operatorname{sen}\left[k\left(x-\dfrac{2\pi }{T}\dfrac{\lambda}{2\pi }t\right)\right]\\[5pt]
y=a\operatorname{sen}\left[k\left(x-\dfrac{\lambda}{T}t\right)\right]
\end{gather}
\]
como a frequência da onda é dada por
\( \bbox[#99CCFF,10px] {f=\frac{1}{T}} \)
temos
\[
y=a\operatorname{sen}\left[k\left(x-f\lambda t\right)\right]
\]
mas a velocidade da onda é
\( \bbox[#99CCFF,10px] {v=\lambda f} \)
então
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{y=a\operatorname{sen}[k(x-vt)]}
\]
b)
\[
y=a\operatorname{sen}(kx-\omega t)
\]
substituindo os valores para k e ω do item (a) na expressão acima, reescrevemos
\[
y=a\operatorname{sen}\left(\frac{2\pi }{\lambda }x-\frac{2\pi }{T}t\right)
\]
colocando 2π em evidência obtemos a resposta
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{y=a\operatorname{sen}\left[2\pi \left(\frac{x}{\lambda}-\frac{t}{T}\right)\right]}
\]
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