Um ponto material executa um Movimento Harmônico Simples, e tem num determinado instante sua
velocidade é de 8 cm/s. Sabendo-se que nesse instante a diferença entre os quadrados de sua amplitude e
de sua elongação é de 36 cm, determinar sua frequência angular.
Dados do problema:
- Velocidade do ponto num instante t: v = 8 cm/s;
- Diferença entre os quadrados da amplitude e da elongação: A2 − x2 = 36.
Solução:
A elongação de um ponto em Movimento Harmônico Simples (M.H.S.) é dado por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{x=A\cos(\omega t-\varphi)} \tag{I}
\end{gather}
\]
elevando a equação (I) ao quadrado de ambos os lados da igualdade
\[
\begin{gather}
x^2=A^2\cos^2(\omega t-\varphi) \tag{II}
\end{gather}
\]
substituindo a equação (II) na condição dada no problema
\[
\begin{gather}
A^2-A^2\cos^2(\omega t-\varphi)=36
\end{gather}
\]
colocando a amplitude ao quadrado (A2) em evidência
\[
\begin{gather}
A^2\left[1-\cos^2(\omega t-\varphi)\right]=36 \tag{III}
\end{gather}
\]
Da
Trigonometria
\[
\begin{gather}
\operatorname{sen}^2a+\cos^2a=1 \\[5pt]
\operatorname{sen}^2a=1-\cos^2a
\end{gather}
\]
usando esta propriedade na equação (III)
\[
\begin{gather}
A^2\operatorname{sen}^2(\omega t-\varphi)=36 \tag{IV}
\end{gather}
\]
A velocidade é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{v=-\omega A\operatorname{sen}(\omega t-\varphi)} \tag{V}
\end{gather}
\]
Elevando a equação (V) ao quadrado de ambos os lados da igualdade
\[
\begin{gather}
v^2=\omega^2A^2\operatorname{sen}^2(\omega t-\varphi) \\[5pt]
A^2\operatorname{sen}^2(\omega t-\varphi)=\frac{v^2}{\omega^2} \tag{VI}
\end{gather}
\]
substituindo a equação (VI) na equação (IV) e o valor da velocidade dada no problema
\[
\begin{gather}
\frac{8^2}{\omega^2}=36 \\[5pt]
\omega^2=\frac{64}{36} \\[5pt]
\omega=\sqrt{\frac{64}{36}\;} \\[5pt]
\omega=\frac{8}{6}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{\omega=\frac{4}{3}\;\mathrm{rad/s}}
\end{gather}
\]