Exercício Resolvido de Movimento Harmônico Simples (M.H.S.)
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O movimento de um corpo sobre o eixo-x obedece a seguinte equação

\[ \begin{gather} x=4\cos\left(\frac{1}{2}\pi t+\pi\right) \end{gather} \]

unidades no S.I. Determinar:
a) A amplitude, a frequência angular e a fase inicial;
b) O período e a frequência do movimento;
c) A equação da velocidade;
d) A equação da aceleração;
e) Os módulos da velocidade máxima e da aceleração máxima;
f) Representar num mesmo gráfico a elongação, a velocidade e a aceleração em função do tempo.

Solução:

A equação da posição é dada por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {x=A\cos\left(\omega t+\phi_0\right)} \end{gather} \]

a) Da equação temos, para a amplitude

\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {A=4\;\mathrm m} \end{gather} \]

para a frequência angular

\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {\omega=\frac{1}{2}\pi\;\mathrm{rad/s}} \end{gather} \]

e para a fase inicial

\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {\phi_0=\pi\;\mathrm{rad}} \end{gather} \]

b) A frequência angular é dada por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\omega=\frac{2\pi}{T}} \end{gather} \]

invertendo esta fórmula temos o período

\[ \begin{gather} T=\frac{2\pi}{\omega} \\[5pt] T=\frac{2\cancel{\pi}}{\dfrac{1}{2}\cancel{\pi}} \\[5pt] T=2\times 2 \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {T=4\;\mathrm s} \end{gather} \]

A frequência do movimento é dada por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {f=\frac{1}{T}} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} f=\frac{1}{4} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {f=0,25\;\mathrm{Hz}} \end{gather} \]

c) A equação da velocidade é dada por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {v=-\omega A\operatorname{sen}\left(\omega t+\phi_0\right)} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} v=-{\frac{1}{2}}\pi\times 4\operatorname{sen}\left(\frac{1}{2}\pi t+\pi\right) \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {v=-2\pi\operatorname{sen}\left(\frac{1}{2}\pi t+\pi\right)} \end{gather} \]

d) A equação da aceleração é dada por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {a=-\omega^2A\cos\left(\omega t+\phi_0\right)} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} a=-\left(\frac{1}{2}\pi\right)^2\times 4\cos\left(\frac{1}{2}\pi t+\pi\right) \\[5pt] a=-{\frac{1}{4}}\pi^2\times 4\cos\left(\frac{1}{2}\pi t+\pi\right) \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {a=-\pi^2\cos\left(\frac{1}{2}\pi t+\pi\right)} \end{gather} \]

e) O módulo da velocidade máxima ocorre quando \( \operatorname{sen}\left(\frac{1}{2}\pi t+\pi\right)=1 \)

\[ \begin{gather} \left|v\right|_{max}=\left|-2\pi\underbrace{\operatorname{sen}\left(\frac{1}{2}\pi t+\pi\right)}_{1}\right| \\[5pt] \left|v\right|_{max}=\left|-2\pi \right| \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {\left|v\right|_{max}=2\pi\;\mathrm{m/s}} \end{gather} \]

O módulo da aceleração máxima ocorre quando \( \cos\left(\frac{1}{2}\pi t+\pi\right)=1 \)

\[ \begin{gather} \left|a\right|_{max}=\left|-\pi^2\underbrace{\cos\left(\frac{1}{2}\pi t+\pi\right)}_{1}\right| \\[5pt] \left|a\right|_{max}=\left|-\pi^2\right| \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {\left|a\right|_{max}=\pi^2} \end{gather} \]

f) Construindo-se uma tabela usando a equação para a posição dada no problema

t \( x=4\cos\left(\frac{1}{2}\pi t+\pi\right) \) x
0 \( 4\cos\left(\frac{1}{2}\pi\times 0+\pi\right) \) −4
1 \( 4\cos\left(\frac{1}{2}\pi\times 1+\pi\right) \) 0
2 \( 4\cos\left(\frac{1}{2}\pi\times 2+\pi\right) \) 4
3 \( 4\cos\left(\frac{1}{2}\pi\times 3+\pi\right) \) 0
4 \( 4\cos\left(\frac{1}{2}\pi\times 4+\pi\right) \) −4
Tabela 1

Colocando os pontos encontrados num gráfico de x em função de t, x = f(t), e ligando os pontos, obtemos o gráfico de uma senóide (Gráfico 1)

Gráfico 1

Construindo-se uma tabela usando a equação para a velocidade obtida no item (c)

t \( v=-2\pi\operatorname{sen}\left(\frac{1}{2}\pi t+\pi\right) \) v
0 \( -2\pi\operatorname{sen}\left(\frac{1}{2}\pi\times 0+\pi\right) \) 0
1 \( -2\pi\operatorname{sen}\left(\frac{1}{2}\pi\times 1+\pi\right) \) 2π
2 \( -2\pi\operatorname{sen}\left(\frac{1}{2}\pi\times 2+\pi\right) \) 0
3 \( -2\pi\operatorname{sen}\left(\frac{1}{2}\pi\times 3+\pi\right) \) −2π
4 \( -2\pi\operatorname{sen}\left(\frac{1}{2}\pi\times 4+\pi\right) \) 0
Tabela 2

Colocando os pontos encontrados num gráfico de v em função de t, v = f(t), e ligando os pontos, obtemos o gráfico de uma senóide (Gráfico 2)

Gráfico 2

Construindo-se uma tabela usando a equação para a aceleração obtida no item (d)

t \( a=-\pi^2\cos\left(\frac{1}{2}\pi t+\pi\right) \) a
0 \( -\pi^2\cos\left(\frac{1}{2}\pi\times 0+\pi\right) \) π²
1 \( -\pi^2\cos\left(\frac{1}{2}\pi\times 1+\pi\right) \) 0
2 \( -\pi^2\cos\left(\frac{1}{2}\pi\times 2+\pi\right) \) −π²
3 \( -\pi^2\cos\left(\frac{1}{2}\pi\times 3+\pi\right) \) 0
4 \( -\pi^2\cos\left(\frac{1}{2}\pi\times 4+\pi\right) \) π²
Tabela 3

Colocando os pontos encontrados num gráfico de a em função de t, a = f(t), e ligando os pontos, obtemos finalmente o gráfico de uma senóide (Gráfico 3)

Gráfico 3
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