Um ponto material de massa m = 0,04 kg oscila em torno da posição O de equilíbrio, com
M.H.S. A energia mecânica total do sistema é 32×10−4 J. Sendo a constante
elástica da mola k = 0,16 N/m e desprezando-se ações dissipativas, determine:
a) O período de oscilação;
b) A frequência angular;
c) A amplitude da oscilação;
d) As funções horárias da posição, velocidade e aceleração, adotando-se o eixo Ox orientado para a
direita e instante inicial t = 0 quando o móvel está na posição extrema P indicada na
figura.
e) O gráfico da posição (x) em função do tempo (t), a partir de t = 0 até
t = 2T, onde T é o período.
Dados do problema:
- Massa do corpo: m = 0,04 kg;
- Energia mecânica total do sistema: Et = 32×10−4 J;
- Constante elástica da mola: k = 0,16 N/m.
Solução:
a) O período de oscilação é dado por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
T=2\pi\sqrt{\frac{0,04}{0,16}} \\[5pt]
T=2\pi\sqrt{\frac{1}{4}} \\[5pt]
T=2\pi\frac{1}{2} \\[5pt]
T=\pi\tag{I}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{T=3,14\;\mathrm s}
\end{gather}
\]
b) A frequência angular é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\omega=\frac{2\pi}{T}}
\end{gather}
\]
usando o período T na forma de (I) do item anterior
\[
\begin{gather}
\omega=\frac{2\cancel{\pi}}{\cancel{\pi}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{\omega=2\;\mathrm{rad/s}}
\end{gather}
\]
c) A amplitude depende da energia mecânica total (energia cinética mais energia potencial, neste caso a
energia potencial elástica da mola)
\[
\begin{gather}
E_m=E_c+E_{pe} \tag{II}
\end{gather}
\]
A Energia Cinética é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{E_c=\frac{mv^2}{2}} \tag{III}
\end{gather}
\]
A Energia Potencial Elástica é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{E_{pe}=\frac{kx^2}{2}} \tag{IV}
\end{gather}
\]
substituindo as equações (III) e (IV) na equação (II)
\[
\begin{gather}
E_m=\frac{mv^2}{2}+\frac{kx^2}{2}
\end{gather}
\]
No pontos de máxima amplitude (+A e −A) a partícula para e inverte o sentido da velocidade, neste
momento a sua velocidade é nula (v = 0), então nestes pontos de máxima amplitude a energia
cinética é zero e a energia mecânica é igual a energia potencial
\[
\begin{gather}
E_m=E_{pe}=\frac{kA^2}{2} \\[5pt]
32\times 10^{-4}=\frac{0,16A^2}{2} \\[5pt]
A^2=\frac{2\times 32\times 10^{-4}}{16\times 10^{-2}} \\[5pt]
A^2=2\times 2\times 10^{-4}\times 10^2 \\[5pt]
A^2=4\times 10^{-2} \\[5pt]
A=\sqrt{4\times 10^{-2}} \\[5pt]
A=2\times 10^{-1}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{A=0,2\;\mathrm m}
\end{gather}
\]
d) As funções horárias da posição (x), velocidade (v) e aceleração (a) serão dadas por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{x=A\cos\left(\omega t+\phi_0\right)} \tag{V}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{v=-\omega A\operatorname{sen}\left(\omega t+\phi_0\right)} \tag{VI}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{a=-\omega^2A\cos\left(\omega t+\phi_0\right)} \tag{VII}
\end{gather}
\]
A frequência angular (ω) e a amplitude (A) foram obtidas nos itens (c) e (d) acima
respectivamente, para a obtenção de φ0 escrevemos a equação (V) com os valores obtidos
\[
\begin{gather}
x=0,2\cos \left(2t+\phi_0\right)
\end{gather}
\]
Observando a Figura 2, temos que em
t = 0 a partícula está em
x = −
A = −0,2 m, substituindo estes valores na equação acima para a posição
\[
\begin{gather}
-0,2=0,2\cos\left(2\times 0+\phi_0\right) \\[5pt]
\cos\phi_0=-{\frac{0,2}{0,2}} \\[5pt]
\cos\phi_0=-1 \\[5pt]
\phi_0=\operatorname{arc}\cos(-1) \\[5pt]
\phi_0=\pi
\end{gather}
\]
Comparando a posição inicial da partícula em t = 0 com uma outra partícula (P), em
Movimento Circular Uniforme (M.C.U.) girando em sentido anti-horário e com o espaço angular
medido a partir do eixo Ox, vemos que quando a partícula oscilante está na posição inicial −A
a partícula P descreve um ângulo de π, este ângulo então será a fase inicial da partícula
oscilante (φ0), substituindo os valores da frequência angular, da amplitude e da
fase inicial nas equações (V), (VI) e (VII)
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{x=0,2\cos\left(2t+\pi\right)}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
v=-2\times 0,2\operatorname{sen}\left(2t+\pi\right)
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{v=-0,4\operatorname{sen}\left(2t+\pi\right)}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
a=-2^2\times 0,2\cos\left(2t+\pi\right) \\[5pt]
a=-4\times 0,2\cos\left(2t+\pi\right)
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{a=-0,8\cos\left(2t+\pi\right)}
\end{gather}
\]
e) Queremos fazer o gráfico de zero até 2T, no item (a) encontramos que T = π, assim vamos
achar os valores da posição, dada pela equação para x no item anterior, entre t = 0 e
t = 2T = 2π, fazendo uma tabela
| t |
\( x=0,2\cos\left(2t+\pi\right) \) |
x |
| 0 |
\( 0,2\cos\left(2\times 0+\pi\right) \) |
-0,2 |
| \( \frac{\pi}{4} \) |
\( 0,2\cos\left(2\times \frac{\pi}{4}+\pi\right) \) |
0 |
| \( \frac{\pi}{2} \) |
\( 0,2\cos\left(2\times \frac{\pi}{2}+\pi\right) \) |
0,2 |
| \( \frac{3\pi}{4} \) |
\( 0,2\cos\left(2\times \frac{3\pi}{4}+\pi\right) \) |
0 |
| \( \pi \) |
\( 0,2\cos\left(2\pi+\pi\right) \) |
-0,2 |
| \( \frac{5\pi}{4} \) |
\( 0,2\cos\left(2\times \frac{5\pi}{4}+\pi\right) \) |
0 |
| \( \frac{3\pi}{2} \) |
\( 0,2\cos\left(2\times \frac{3\pi}{2}+\pi\right) \) |
0,2 |
| \( \frac{7\pi}{4} \) |
\( 0,2\cos\left(2\times \frac{7\pi}{4}+\pi\right) \) |
0 |
| \( 2\pi \) |
\( 0,2\cos\left(2\times 2\pi+\pi\right) \) |
-0,2 |
Tabela 1
Colocando os pontos encontrados num gráfico de x em função de
t, x = f(t), e ligando os pontos, obtemos o gráfico de uma senóide (Gráfico 1).
