Exercício Resolvido de Prismas
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Dois prismas idênticos retangulares ABC e A'B'C', retos em C e C', com ângulos A e A' iguais a α e índice de refração n, são dispostos de tal modo que um raio luminoso que incide normalmente sobre a face AC do primeiro prisma sai normalmente pela face A'C' do segundo. Determine o desvio total do raio luminoso.
Dados do problema:
- Índice de refração do prisma: npr = n;
- adotando-se o meio externo como sendo o ar, índice de refração do ar: nar = 1.
Como o raio luminoso atinge a face AC do prisma perpendicularmente (forma um ângulo de 90°) ele atravessa esta face sem sofrer desvio. Traçando uma normal à face AB, o raio atinge esta face formando um ângulo î1 e é refratado de volta para o ar formando um ângulo \( {\hat{r}}_{1} \) com a normal. O ângulo entre o raio luminoso e a face AB do prisma é \( \hat{\beta} \), como a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180° devemos ter (Figura 1-A)
\[
\begin{gather}
\hat{\alpha}+\hat{\beta}+90°=180°\\
\hat{\beta}=180°-\hat{\alpha}-90°\\
\hat{\beta}=90°-\hat{\alpha}
\end{gather}
\]
Como a soma dos ângulos
\( \hat{\alpha} \)
e
\( \hat{\beta} \)
é o ângulo entre a face AB e a reta normal (Figura 1-B)
\[
\begin{gather}
{\hat{i}}_{1}+\hat{\beta}=90°\\
{\hat{i}}_{1}=90°-\hat{\beta}\\
{\hat{i}}_{1}=90°-(90°-\hat{\alpha})\\
{\hat{i}}_{1}=90°-90°+\hat{\alpha}\\
{\hat{i}}_{1}=\hat{\alpha}
\end{gather}
\]
Prolongando o raio luminoso que atravessa o prisma para fora ele divide o ângulo de refração em duas partes. O ângulo entre a normal e o prolongamento será \( \hat{\alpha} \) (este ângulo é oposto ao ângulo \( \hat{\alpha} \) dentro do prisma), o ângulo entre o prolongamento e o raio refratado será \( \hat{\gamma} \) (Figura 1-C). Das Figuras 1-B e 1-C
\[
\begin{gather}
{\hat{r}}_{1}=\hat{\alpha}+\hat{\gamma}\\
\hat{\gamma}={\hat{r}}_{1}-\hat{\alpha} \tag{I}
\end{gather}
\]
O raio luminoso que sai do primeiro prisma incide na face A'B' do segundo prisma formando um ângulo
î2 de tal modo que, ao ser refratado para o interior do prisma com ângulo
\( {\hat{r}}_{2} \)
saia pela face A'C' perpendicularmente (Figura 2).
Como os dois prismas são semelhantes o ângulo \( \hat{\beta} \) também vale \( 90°-\hat{\alpha} \), o ângulo de refração \( {\hat{r}}_{2} \) será igual ao ângulo de incidência î1 do primeiro prisma, e valerá \( \hat{\alpha} \), e o ângulo de incidência î2 é igual ao ângulo de refração \( {\hat{r}}_{1} \), e portanto, \( \hat{\gamma}={\hat{r}}_{1}-\hat{\alpha} \) (Figura 3).
Prolongando os dois raios luminosos (o raio que sai do primeiro prisma e o raio que incide no segundo) até que se encontrem temos o ângulo Δ que dá o desvio total (Figura 4).
Solução
O ângulo de desvio será dado por
\[
\begin{gather}
\Delta =\hat{\gamma}+\hat{\gamma}\\
\Delta=2\hat{\gamma} \tag{II}
\end{gather}
\]
Substituindo a expressão (I) na expressão (II)
\[
\begin{gather}
\Delta =2({\hat{r}}_{1}-\hat{\alpha }) \tag{III}
\end{gather}
\]
Aplicando a Lei de Snell-Descartes (leia-se isnél-decárte) ao primeiro prisma
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{n_{1}\operatorname{sen}\theta_{1}=n_{2}\operatorname{sen}\theta_{2}}
\]
\[
\begin{gather}
n_{pr}\operatorname{sen}\hat{i}_{1}=n_{ar}\operatorname{sen}{\hat{r}}_{1}\\
n\operatorname{sen}\hat{\alpha}=1.\operatorname{sen}{\hat{r}}_{1}\\
\operatorname{sen}{\hat{r}}_{1}=n\operatorname{sen}\hat{\alpha}\\
{\hat{r}}_{1}=\operatorname{arc sen}(n\operatorname{sen}\hat{\alpha }) \tag{IV}
\end{gather}
\]
substituindo a expressão (IV) na expressão (III)
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{\Delta =2[\operatorname{arc sen}(n\operatorname{sen}\alpha)-\hat{\alpha}]}
\]
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