Um prisma de vidro de índice de refração
\( \sqrt{2\;} \)
tem por seção principal um triângulo retângulo isósceles ABC e tem por base a hipotenusa BC
suposta horizontal. Contra a face AB é aplicada uma cuba igualmente prismática ABD cuja
face BD é vertical e que contém um líquido de índice de refração
\( \sqrt{3\;} \).
Um raio de luz monocromática LI atinge normalmente a face BD e penetra na cuba.
Verificar:
a) Se este raio penetrará no prisma de vidro;
b) Em caso afirmativo, por que face sairá;
c) Que ângulo o raio emergente final do prisma fará com o raio incidente LI.
Dados do problema:
- Índice de refração do prisma: \( n_{P}=\sqrt{2\;} \);
- Índice de refração do líquido: \( n_{L}=\sqrt{3\;} \);
- Adotando que todo o sistema está imerso no ar, o índice de refração do ar é nA = 1.
Solução
a) O prisma possui a forma de um triângulo retângulo isósceles com hipotenusa
BC, como o triângulo é
retângulo, o ângulo
\( B\hat{A}C \)
(oposto a hipotenusa) é reto (90°) e como é isósceles (possui dois lados congruentes) os lados
AC e
AB são iguais, então os ângulos
\( A\hat{B}C \)
e
\( A\hat{C}B \)
devem ser iguais, como os ângulos internos de um triângulo devem somar 180°, então estes ângulos medem 45°
cada. A face
BD da cuba é vertical, então o ângulo
\( A\hat{B}D \)
mede 45° (Figura 1).
O raio de luz
LI penetra na cuba perpendicularmente à face
BD ele não sofre desvio e atinge a
face
AB do prisma no ponto
P, traçando uma reta normal a face
AB no ponto
P
temos que o ângulo
\( I\hat{P}B \)
mede 45°, este ângulo e o ângulo de incidência (
î1) são complementares (somam 90°)
\[
{\hat i}_{1}=45°
\]
O índice de refração do líquido é maior que o prisma (
nL >
nP), o
raio pode penetrar no prisma (sofrer refração) ou ser desviado de volta para cuba (reflexão total), o ângulo
limite (λ) para que ocorra reflexão total será dado por
\[
\begin{gather}
\operatorname{sen}\lambda=\frac{n_{L}}{n_{P}}=\frac{\sqrt{2\;}}{\sqrt{3\;}}=\sqrt{\frac{2}{3}}\\
\lambda=\operatorname{arc sen}\left(\frac{2}{3}\right)\simeq 54°
\end{gather}
\]
A condição para que ocorra reflexão total é que
o ângulo de incidência seja maior que o ângulo limite
\[
{\hat{i}}_{1}>\lambda
\]
mas no caso temos que o ângulo de incidência é menor que o ângulo limite
45º < 54º
então o raio de luz penetrará no prisma.
b) O raio de luz é refratado para dentro do prisma, para encontrarmos o ângulo
(
\( {\hat{r}}_{1} \))
que ele forma com a normal à face
AB aplicamos a
Lei de Snell-Descartes (leia-se isnél-decarte),
Figura 2
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{n_{1}\operatorname{sen}\theta_{1}=n_{2}\operatorname{sen}\theta_{2}}
\]
\[
\begin{gather}
n_{L}\operatorname{sen}{\hat{i}}_{1}=n_{P}\operatorname{sen}{\hat{r}}_{1}\\
\sqrt{3\;}\operatorname{sen}45°=\sqrt{2\;}\operatorname{sen}{\hat{r}}_{1}
\end{gather}
\]
sendo
\( \operatorname{sen}45°=\dfrac{\sqrt{2\;}}{2} \)
\[
\begin{gather}
\sqrt{3\;}\frac{\sqrt{2\;}}{2}=\sqrt{2\;}\operatorname{sen}{\hat{r}}_{1}\\
\operatorname{sen}{\hat{r}}_{1}=\sqrt{3\;}\frac{\sqrt{2\;}}{2\sqrt{2\;}}\\
\operatorname{sen}{\hat{r}}_{1}=\frac{\sqrt{3\;}}{2}\\
{\hat{r}}_{1}=\operatorname{arc sen}\left(\frac{\sqrt{3\;}}{2}\right)\\
{\hat{r}}_{1}=60°
\end{gather}
\]
O ângulo
\( {\hat{r}}_{1} \)
e o ângulo
\( A\hat{P}P' \)
são complementares, então com o valor de
\( {\hat{r}}_{1} \)
encontrado acima temos que
\( A\hat{P}P'=30° \).
O raio atravessa o prisma e atinge a face
AC no ponto
P’, neste ponto traçamos a normal a face
AC, o triângulo Δ
APP’ é reto em
A, como a soma dos ângulos internos deve ser 180°,
temos que o ângulo
\( A\hat{P}'P=60° \)
(Figura 3).
O ângulo que o raio de luz forma com a normal neste ponto é
\( {\hat{r}}_{2} \),
este ângulo e o ângulo
\( A\hat{P}'P \)
são complementares, então
\( {\hat{r}}_{2}=30° \).
Aplicando novamente a
Lei de Snell-Descartes encontramos o ângulo
î2 com que o raio
de luz emerge na face
AC.
\[
\begin{gather}
n_{P}\operatorname{sen}{\hat{r}}_{2}=n_{A}\operatorname{sen}{\hat{i}}_{2}\\
\sqrt{2\;}\operatorname{sen}30°=1.\operatorname{sen}{\hat{i}}_{2}
\end{gather}
\]
sendo
\( \operatorname{sen}30°=\dfrac{1}{2} \)
\[
\begin{gather}
\sqrt{2\;}\frac{1}{2}=\operatorname{sen}{\hat{i}}_{2}\\
\operatorname{sen}{\hat{i}}_{2}=\frac{\sqrt{2\;}}{2}\\
{\hat{i}}_{2}=\operatorname{arc sen}\left(\frac{\sqrt{2\;}}{2}\right)\\
{\hat{i}}_{2}=45°
\end{gather}
\]
O raio de luz sai pela face
AC
formando um ângulo de 45º com a normal.
c) O ângulo que o raio emergente faz com o raio incidente é o desvio total (Δ) que é dado por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\delta ={\hat{i}}_{1}+{\hat{i}}_{2}-\hat{A}} \tag{I}
\end{gather}
\]
onde
 é o ângulo de refringência do prisma dado por
\[
\begin{gather}
\hat{A}={\hat{r}}_{1}+{\hat{r}}_{2} \tag{II}
\end{gather}
\]
substituindo a expressão (II) na expressão (I), temos para o desvio
\[
\delta ={\hat{i}}_{1}+{\hat{i}}_{2}-({\hat{r}}_{1}+{\hat{r}}_{2})
\]
substituindo os valores encontrados para
î1,
î2,
\( {\hat{r}}_{1} \)
e
\( {\hat{r}}_{2} \)
\[
\delta =45°+45°-(60°+30°)
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{\delta =0°}
\]